四川省绵阳市三台县三台中学校2023-2024学年高二上学期12月教学质量检测数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 四川省绵阳市三台县三台中学校2023-2024学年高二上学期12月教学质量检测数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 848.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-06 22:04:10 | ||
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文档简介
三台中学高2022级高二上期12月教学质量检测
数学试题
第1卷（选择题，共60分）
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表：
AQI指数值 0~50 51~100 101~150 151~200 201-~300 >300
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日至10月20日AQI的数据并绘成折线图如下，下列叙述正确的是（ ）
A．这20天中AQI的中位数略大于150
B．10月4日到10月11日，空气质量越来越好
C．这20天中的空气质量为优的天数占
D．10月上旬AQI的极差大于中旬AQI的极差
3．向量，若共面，则x等于（ ）
A．0 B． C．2 D．1
4．已知F是双曲线的右焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线FD， 垂足为D，若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
7．当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．一组数据从小到大为5，6，7，8，y，11，若这组数据的平均数是8，则（ ）
A． B．极差为6 C．分位数为7 D．方差为5
10．若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（ ）
A．若，则C为椭圆 B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则
C．曲线C可能是圆 D．若C为双曲线，则
11．如图，四边形ABCD，ABEF都是边长为2的正方形，平面平面ABEF，P，Q分别是线段AE，BD的中点，则（ ）
A． B．异面直线AQ，PF所成角为
C．点P到直线DF的距离为 D．的面积是
12．我们把离心率为的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线是理想双曲线，左右顶点分别为，虚轴的上端点为B，左焦点为F，离心率为e，则（ ）
A． B．顶点到渐近线的距离为e
C． D．的外接圆的面积为
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填在答卷中的横线上。
13．若与是两条平行的直线，则实数_________．
14．如图所示，电路原件正常工作的概率分别为，则电路能正常工作的概率为__________．
15．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，，则截口BAC所在椭圆的离心率为__________．
16．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点（M在第二象限），过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为，若，则_________．
四、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a、b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的第60百分位数（精确到0.1）；
18．（12分）某国家队要从男子短道速滑1500米的两名种子选手甲、乙中选派一人参加2022年的北京冬季奥运会，他们近期六次训练成绩如下表：
次序（i） 1 2 3 4 5 6
甲（秒） 142 140 139 138 141 140
乙（秒） 138 142 137 139 143 141
（1）分别计算甲、乙两人这六次训练的平均成绩，偏优均差；
（2）若，则称甲、乙这次训练的水平相当，现从这六次训练中随机抽取3次，求有两次甲、乙水平相当的概率．
注：若数据中的最优数据为m，定义为偏优均差．本题中的最优数据即最短时间．
19．（12分）己知直三棱柱中，D为的中点．
（1）从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
①；②；③．
（2）若，求直线与平面ABD所成角的正弦值．
20．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线l交抛物线于B，C两点，求的大小．
21．（12分）己知圆，两点．
（1）若，直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的方程；
（2）若圆C上存在点P，使得，求圆C半径r的取值范围．
22．（12分）己知焦距为2的椭圆分别为其左右焦点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，的周长为8．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于C，D两点且满足，求四边形ACBD面积的最小值．
三台中学高2022级高二上期12月教学质量检测
数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C A B D A D B BC AD ACD ACD
7．解：，即，是圆的下半部分，直线过定点，且，画出图像，如图所示：
当直线与半圆相切且斜率存在时，圆心到直线的距离，解得，根据图像知：．
8．解：如图由M为椭圆C上任意一点，则，
又N为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号），，
，当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立．
由题意知，，则，
的最小值为，故答案为：．
12．解：因为，所以，解得；
对于A，，A正确；
对于B，渐近线的方程为，右顶点到渐近线的距离为，B不正确；
对于C，设双曲线的焦距为，由得，因为，所以，C正确；
对于D，由可知，的外接圆的半径为，
所以面积为，D正确．故选：ACD．
二、填空题：
13．1 14． 15． 16．3
16．解：如图，的焦点为，
由抛物线的定义，知，又，所以是等边三角形，所以，，直线MN的方程为，
设，联立方程得，
所以．由，得
，解得．
三、解答题
17．解：（1）第三、四、五组的频率之和为0．7，，
解得， 2分
所以前两组的频率之和为，即，所以； 5分
（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第60百分位数在第三组，设第60百分位数为x，则，解得，故第60百分位数为71.7． 10分
18．解（1）由题可知， 1分
， 1分
， 4分
． 6分
（2）六次训练中只有第4，6次甲、乙水平相当，从六次中任选三次的结果有
，
共20种，其中有两次甲、乙水平相当的结果有4种，故所求概率． 12分
19．解（1）连接，如下所示：
选择①，②，证明③如下：
因为面，
故面，又面，故可得．又为直三棱柱，故面，因为面，故；
又面，故面，又面，故可得，因为D为的中点，故可得在平面中，垂直平分则．
选择①，③，证明②如下：
因为D为的中点，且，在中，由三线合一可知；
又为直三棱柱，故面，因为面，故；
又面，故面，又面，故；又面，故面面，故．
选择②，③，证明①如下：
因为D为的中点，且，在中，由三线合一可知；
又为直三棱柱，故面，因为面，故；
又面，故面，又面，故；又面，故面，因为面，
故． 6分
（2）因为，则，故，则，又为直棱柱，故面面，故，故两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下所示：
设，则，
故，因为，故，得， 8分
故，，
设平面ABD的法向量，则，即，取，解得，
则 10分
又，设直线与平面ABD所成角为，则．
即直线与平面ABD所成角的正弦值为． 12分
20．解（1）由题可设抛物线方程为，则，
因为点A的横坐标为2，由于抛物线的对称性，不妨设A在x轴上方，则，
所以，所以，解得，
所以抛物线的方程为 6分
（2）显然直线l的斜率不为0，设方程为，设，
联立方程，可得，则，
， 8分
则， 10分
所以．即． 12分
21．解（1）解：当时，圆C的标准方程为，圆心为，
因为直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，则圆心C到直线l的距离为
， 2分
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为9，不合乎题意；
所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，则
解得, 4分
所以，直线l的方程为或．即或
6分
（2）解：设点，则,
整理可得, 8分
因为点P在圆C上，则圆C与圆有公共点，
且圆的圆心为，半径为2，则，且，
故，因为，解得，故r的取值范围是． 12分
22．解（1）设因为过点的直线与椭圆交于A，B两点，
的周长为8所以则有所以所以
所以M的方程为 4分
（2）（i）斜率不存在时．方程为，方程为，则有，
所以 6分
（ii）斜率为0时．方程为，此时无法构成，不符合题意；
（iii）斜率存在且不为0时．设方程为
则方程为
所以
由得所以
8分
所以
同理，设
， 10分
代入并化简可得．所以
即…令则
即所以此时当时，面积最小， 12分
数学试题
第1卷（选择题，共60分）
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表：
AQI指数值 0~50 51~100 101~150 151~200 201-~300 >300
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日至10月20日AQI的数据并绘成折线图如下，下列叙述正确的是（ ）
A．这20天中AQI的中位数略大于150
B．10月4日到10月11日，空气质量越来越好
C．这20天中的空气质量为优的天数占
D．10月上旬AQI的极差大于中旬AQI的极差
3．向量，若共面，则x等于（ ）
A．0 B． C．2 D．1
4．已知F是双曲线的右焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线FD， 垂足为D，若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
7．当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．一组数据从小到大为5，6，7，8，y，11，若这组数据的平均数是8，则（ ）
A． B．极差为6 C．分位数为7 D．方差为5
10．若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（ ）
A．若，则C为椭圆 B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则
C．曲线C可能是圆 D．若C为双曲线，则
11．如图，四边形ABCD，ABEF都是边长为2的正方形，平面平面ABEF，P，Q分别是线段AE，BD的中点，则（ ）
A． B．异面直线AQ，PF所成角为
C．点P到直线DF的距离为 D．的面积是
12．我们把离心率为的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线是理想双曲线，左右顶点分别为，虚轴的上端点为B，左焦点为F，离心率为e，则（ ）
A． B．顶点到渐近线的距离为e
C． D．的外接圆的面积为
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填在答卷中的横线上。
13．若与是两条平行的直线，则实数_________．
14．如图所示，电路原件正常工作的概率分别为，则电路能正常工作的概率为__________．
15．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，，则截口BAC所在椭圆的离心率为__________．
16．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点（M在第二象限），过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为，若，则_________．
四、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a、b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的第60百分位数（精确到0.1）；
18．（12分）某国家队要从男子短道速滑1500米的两名种子选手甲、乙中选派一人参加2022年的北京冬季奥运会，他们近期六次训练成绩如下表：
次序（i） 1 2 3 4 5 6
甲（秒） 142 140 139 138 141 140
乙（秒） 138 142 137 139 143 141
（1）分别计算甲、乙两人这六次训练的平均成绩，偏优均差；
（2）若，则称甲、乙这次训练的水平相当，现从这六次训练中随机抽取3次，求有两次甲、乙水平相当的概率．
注：若数据中的最优数据为m，定义为偏优均差．本题中的最优数据即最短时间．
19．（12分）己知直三棱柱中，D为的中点．
（1）从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
①；②；③．
（2）若，求直线与平面ABD所成角的正弦值．
20．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线l交抛物线于B，C两点，求的大小．
21．（12分）己知圆，两点．
（1）若，直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的方程；
（2）若圆C上存在点P，使得，求圆C半径r的取值范围．
22．（12分）己知焦距为2的椭圆分别为其左右焦点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，的周长为8．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于C，D两点且满足，求四边形ACBD面积的最小值．
三台中学高2022级高二上期12月教学质量检测
数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C A B D A D B BC AD ACD ACD
7．解：，即，是圆的下半部分，直线过定点，且，画出图像，如图所示：
当直线与半圆相切且斜率存在时，圆心到直线的距离，解得，根据图像知：．
8．解：如图由M为椭圆C上任意一点，则，
又N为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号），，
，当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立．
由题意知，，则，
的最小值为，故答案为：．
12．解：因为，所以，解得；
对于A，，A正确；
对于B，渐近线的方程为，右顶点到渐近线的距离为，B不正确；
对于C，设双曲线的焦距为，由得，因为，所以，C正确；
对于D，由可知，的外接圆的半径为，
所以面积为，D正确．故选：ACD．
二、填空题：
13．1 14． 15． 16．3
16．解：如图，的焦点为，
由抛物线的定义，知，又，所以是等边三角形，所以，，直线MN的方程为，
设，联立方程得，
所以．由，得
，解得．
三、解答题
17．解：（1）第三、四、五组的频率之和为0．7，，
解得， 2分
所以前两组的频率之和为，即，所以； 5分
（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第60百分位数在第三组，设第60百分位数为x，则，解得，故第60百分位数为71.7． 10分
18．解（1）由题可知， 1分
， 1分
， 4分
． 6分
（2）六次训练中只有第4，6次甲、乙水平相当，从六次中任选三次的结果有
，
共20种，其中有两次甲、乙水平相当的结果有4种，故所求概率． 12分
19．解（1）连接，如下所示：
选择①，②，证明③如下：
因为面，
故面，又面，故可得．又为直三棱柱，故面，因为面，故；
又面，故面，又面，故可得，因为D为的中点，故可得在平面中，垂直平分则．
选择①，③，证明②如下：
因为D为的中点，且，在中，由三线合一可知；
又为直三棱柱，故面，因为面，故；
又面，故面，又面，故；又面，故面面，故．
选择②，③，证明①如下：
因为D为的中点，且，在中，由三线合一可知；
又为直三棱柱，故面，因为面，故；
又面，故面，又面，故；又面，故面，因为面，
故． 6分
（2）因为，则，故，则，又为直棱柱，故面面，故，故两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下所示：
设，则，
故，因为，故，得， 8分
故，，
设平面ABD的法向量，则，即，取，解得，
则 10分
又，设直线与平面ABD所成角为，则．
即直线与平面ABD所成角的正弦值为． 12分
20．解（1）由题可设抛物线方程为，则，
因为点A的横坐标为2，由于抛物线的对称性，不妨设A在x轴上方，则，
所以，所以，解得，
所以抛物线的方程为 6分
（2）显然直线l的斜率不为0，设方程为，设，
联立方程，可得，则，
， 8分
则， 10分
所以．即． 12分
21．解（1）解：当时，圆C的标准方程为，圆心为，
因为直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，则圆心C到直线l的距离为
， 2分
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为9，不合乎题意；
所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，则
解得, 4分
所以，直线l的方程为或．即或
6分
（2）解：设点，则,
整理可得, 8分
因为点P在圆C上，则圆C与圆有公共点，
且圆的圆心为，半径为2，则，且，
故，因为，解得，故r的取值范围是． 12分
22．解（1）设因为过点的直线与椭圆交于A，B两点，
的周长为8所以则有所以所以
所以M的方程为 4分
（2）（i）斜率不存在时．方程为，方程为，则有，
所以 6分
（ii）斜率为0时．方程为，此时无法构成，不符合题意；
（iii）斜率存在且不为0时．设方程为
则方程为
所以
由得所以
8分
所以
同理，设
， 10分
代入并化简可得．所以
即…令则
即所以此时当时，面积最小， 12分
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