2023-2024学年第一学期福州市教学联盟1月联考
高一数学试卷
完卷时间：120分钟；满分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。）
1．已知集合,，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
4．“且”是“的终边在第二象限”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
5．已知，则等于（ ）
A． B．2 C．0 D．
6．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为（ ）天．（结果保留一位小数．参考数据：）
A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．19
7．已知命题：为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
一、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的。）
9．已知实数，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．在区间上有两个零点
11．下列说法错误的是（ ）
A．若终边上一点的坐标为，则
B．若角为锐角，则为钝角
C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
D．若，且，则
12．若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的对称轴方程为，
C．存在实数，使得对任意的，都存在且，满足，
D．若函数，，（是实常数），有奇数个零点，
则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）
13．已知函数是定义在上的偶函数，则等于 .
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是 .
15．设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 .
16．若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分。除第17小题10分以外，每小题12分。）
17．已知：实数满足，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)已知：实数满足.若存在实数，使得是的必要不充分条件，则求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
18．已知.
(1)化简；
(2)已知，求的值.
19．已知函数（且，为常数）的图象经过点，.
(1)求的值；
(2)设函数，求在上的值域.
20．近几年，随着网络的不断发展和进步，直播平台作为一种新型的学习方式，正逐渐受到越来越多人们关注和喜爱．某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2020到2023年，该平台会员每年年末的人数如下表所示（注：第4年数据为截止2023年10月底的数据）
建立平台第年 1 2 3 4
会员人数（千人） 28 40 58 82
(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2023年年末会员人数：
①，②（且），③（且）；
为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值．
21．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
22．若函数在定义域上满足，且时,定义域为的为偶函数.
(1)求证：函数在定义域上单调递增.
(2)若在区间上，；在上的图象关于点对称.
（i）求函数和函数在区间上的解析式.
（ii）若关于x的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于a的函数关系.2023-2024学年第一学期福州市教学联盟1月联考高一数学答案解析
选择题部分：1-8小题为单项选择题，每小题5分，共40分；9-12小题为多项选择题，每小题5分，共20分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A C D A D A
题号 9 10 11 12
答案 ACD ABD AB AD
1．C
【分析】根据集合的并集运算求解即可.
【详解】根据集合的并集运算，得.
故选：C.
2．B
【分析】选项A，不等式两边同乘一个正数才能保证不等号不变；
选项B，不等式成立，默认，两边同乘，不等号不变；
选项C，从不等式到不等式，是不等式两边同乘，但不一定是正数；
选项D，对于结论，实际上是，但，无法保证同向相加.
【详解】选项A：若，则不成立，即A错误；
选项B：由不等式性质可知：若，则有，即B正确；
选项C：当时，由，可得，即C错误；
选项D：当时，有成立，
但此时，，由可知，不成立，即D错误.
故选：B.
3．A
【分析】由函数的定义域排除C，由函数的奇偶性排除D，由特殊的函数值排除B，结合奇偶性和单调性判断A.
【详解】由得，则函数的定义域为，排除选项C；
又，所以为偶函数，则图象关于y轴对称，排除选项D；
当时，，排除选项B，
因为为偶函数，且当时，函数单调递减，
选项A中图象符合.
故选：A
4．C
【分析】根据三角函数的定义及充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】在角终边上任取点（异于原点）其坐标为，，
若且，
所以，且，
可得，
所以的终边在第二象限，
所以“且”是“的终边在第二象限”的充分条件，
若的终边在第二象限，则，
所以，且，
所以“且”是“的终边在第二象限”的必要条件，
综上“且”是“的终边在第二象限”的充要条件.
故选：C.
5．D
【分析】根据齐次式问题分析求解.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
6．A
【分析】根据题意，利用结定的函数模型求得，进而利用对数的运算法则列式即可得解.
【详解】因为，，，所以，解得，
设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍的时间为，
则
（天．
故选：A.
7．D
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：为真命题，讨论a是否为0，结合时，解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知命题：为假命题，
则命题：为真命题，
故当时，，即为，符合题意；
当时，需满足，解得，
综合可得实数的取值范围是，
故选：D
8．A
【分析】由已知奇偶性质得到的周期性与对称性，借助已知条件与待定系数，再利用周期性得，由对称性转化为，代入解析式求解即得.
【详解】由为奇函数，得，
故①，函数的图象关于点对称；
由为偶函数，得②，
则函数的图象关于直线对称；
由①②得，
则，
故的周期为，所以，
由，令得，即③，
已知，
由函数的图象关于直线对称，得，
又函数的图象关于点对称，得
所以，即，
所以④，联立③④解得
故时，，
由关于对称，可得.
故选：A.
9．ACD
【分析】A选项，根据 单调递增，得到；
B选项，根据单调性得到，，，结合换底公式得到B错误；
C选项，根据的单调性得到；
D选项，根据和的单调性，结合中间值比较大小.
【详解】A选项，因为 单调递增，又，所以，A正确；
B选项，因为在单调递增，因为，
所以，，故，，即，B错误；
C选项，在上单调递减，而，所以，C正确；
D选项，因为在单调递减，而，故，
因为单调递减，而，故，所以，D正确.
故选：ACD
10．ABD
【分析】对于A：利用周期公式判断；对于B：通过计算判断；对于C：通过计算判断；对于D：将看成一个整体，通过函数的图象性质来判断.
【详解】对于A：，A正确；
对于B：，B正确；
对于C：，C错误；
对于D：当时，，函数在上有两个零点，故在区间上有两个零点，D正确.
故选：ABD.
11．AB
【分析】由三角函数的定义可判断A；取可判断B；由扇形的面积公式可判断C；对两边同时平方可得，可得或，再由可判断D.
【详解】对于A，到原点的距离为，
若时，；若时，，故A错误；
对于B，若，则B错误；
对于C，设扇形的半径为，则，解得：，
所以扇形面积，故C正确；
对于D，因为，则，
所以，
所以，解得或.
因为，，且，
所以，所以，故D正确.
故选：AB.
12．AD
【分析】由题设得，根据三角形函数与的周期、对称轴变化性质判断最小正周期和对称轴，根据方程恒能成立有，且使 能成立求a的范围即可，利用在的图象，根据零点个数确定b的范围，结合对称性求零点的和.
【详解】由题设，
所以，故，
由的最小正周期为，则的最小正周期为，
同理的最小正周期为，则的最小正周期为，A正确；
对于，令，则对称轴方程为且，B错误；
对任意有，，且满足 且，而的图象如下：
所以，则，
所以或，无解，即不存在这样的a，C错误；
由可转化为与交点横坐标，而上图象如下：
函数有奇数个零点，由图知：，此时共有9个零点，
、、、、、、，，
所以，D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：求得的解析式，应用类比思想，根据与最小正周期、对称轴的关系得到的周期和对称轴；由对任意有，，且满足 且，进而转化为集合的包含关系求a范围；由的区间图象及其对称性求零点的和.
填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）
4 12. 13. 14.
13．
【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数的单调性与值域，即可得出答案.
【详解】因为，定义域为，
因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递减，
当时，；
当时，，即；
当时，；
所以，当时，则，于是；
当时，则，于是；
当时，.
综上所述，的值域为.
故答案为：.
15．/
【分析】由三角函数的定义及角所在象限、终边上的点列方程求参数，进而求正切值.
【详解】由题设，则且，可得，
所以. 故答案为：
16．
【分析】由函数解析式求出含参单调区间，根据，结合角的范围确定是那个单调区间的子区间，即可列不等式解除答案.
【详解】函数，
令，解得：，
令，解得：
则的单调递增区间为，单调递减区间为，
若函数在区间上是单调递增函数，
则，
是一个三角形的内角，
，，
，
要使，
只能令，得，且，
此时，
则，
则，解得，
是一个三角形的内角，
，
若函数在区间上是单调递减函数，
则，
，，
要使，
只能令，得，且，
此时，
则，
则，解得，与矛盾，
函数在区间上是不能是单调递减函数，
综上所述，，
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，满分70分。除第17小题10分以外，每小题12分。）
17．(1)
(2)
【分析】（1）代入的值，求解一元二次不等式即得；
（2）先求出命题表示的范围，再根据是的必要不充分条件推得两个范围之间的包含关系，继而求得的取值范围.
【详解】（1）时，由不等式可得：，即实数的取值范围为.
（2）由不等式可得：，因，故，则有：，
因是的必要不充分条件，故，则 ，故得：
即实数的取值范围为.
18．(1)；
(2)3.
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得；
（2）根据同角关系式结合条件即得.
【详解】（1）
.
（2）因为，所以，
∴ .
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.
【详解】（1）因为的图象经过点，，
所以，两式相减得，
又且，解得或（舍去），则.
（2）由（1）得，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，
，
故在上的值域为.
20．(1)函数模型解析式为，千人
(2)
【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将代入函数模型解析式，即可得解；
（2）由已知可得出，令，则，令，，求出函数在上的最大值，即可得实数的最小值.
【详解】（1）解：由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适，
由表格中的数据可得，解得，
所以，函数模型的解析式为，
预测年年末的会员人数为千人.
（2）解：由题意可得，
令，则，则，
令，，则函数在上单调递增，
所以，，故，
故的最小值为.
21．（1）当时，在上是单调增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）
【分析】（1）由题意有，分和进行分类讨论得出函数的单调性.
（2）不等式恒成立，即，（1）可得，当时，，即在时恒成立，令，，求出单调性，得出的最大值即可得出答案.
【详解】（1），
.
当时，，在上是单调增函数；
当时，.
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上是单调增函数；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可得，当时，.
由不等式恒成立，得恒成立，
即在时恒成立.
令，，则.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以的最大值为.得，所以实数的取值范围是.
【点睛】本题考查含参数的单调性的求解和恒成立求参数的问题，考查构造函数决绝问题的能力，考查等价转化的能力，属于中档题.
22．(1)证明见解析；
(2)（i），；（ii）.
【分析】（1）令，应用作差法判断的符号，即可证单调性；
（2）（i）由题设函数为奇函数，且，即可求上，再应用奇偶性、对称性求区间上的解析式；
（ii）根据题设可得在上单调递减，写出的分段形式，结合二次函数性质，讨论、求的最大值关于a的函数关系.
【详解】（1）任取，使，则
，
因为，所以，则，故
所以函数在定义域上单调递增.
（2）（i）令中，则，.
令，，即且函数定义域为R，
所以函数为奇函数.
由，则，
联立两式，可得，
所以，且，而，
令，则，故；
令，则，故；
综上，，
对在的部分，存在，其中，
则，所以对均成立.
（ii），化简得，
则在上单调递减，，
若，即，此时在上递减，故，
若，即，此时，，
即在定义域上单调递减，所以.
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：第二问，（i）应用方程法求解析式，再应用奇偶对称性求区间上的解析式；（ii）利用已知得到在上单调递减为关键.
答案第1页，共2页
