项目化学习应用题目集（含解析）
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项目化学习应用题目集
一．解答题（共60小题）
1．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：组员：，，
工具 皮尺等
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离．
测量数据 测量项目 数值
图1中的长度 1米
图2中的长度 5.2米
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度．
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．
2．天王寺善济塔位于河南省新乡市，修建于元朝至元四年，为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位．某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在善济塔前的一棵树底部处测得塔顶处的仰角为，在塔底部处测得大树顶部处的仰角为，测得树高为．为了减小测量误差，小组在测量两个仰角的度数时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题 测量天王寺善济塔的高度
测量示意图 说明：线段表示大树，线段表示天王寺善济塔，点，在同一条直线上，且点，，，都在同一竖直平面内
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
任务一：表中 ．
任务二：请你帮小组的同学求出天王寺善济塔的高度．（结果精确到．参考数据，，
任务三：该小组要写一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一条即可）
3．根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围．（2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
4．根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中支架，
素材2 已知大棚共有支架400根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，素材2调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为60元米（接口忽略不计），现有改造经费32000元
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式
任务2 拟定最化方案 只考虑经费情况下，求出的最大值
5．根据下列素材，探索完成任务：
如何加固蔬菜大棚？
素材1 农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型（如图），一端固定在距离地面1米的墙体1处．另一端固定在距离地面2米的对面墙体处，两墙体的水平距离为6米．大棚离地面的最高点与的水平距离为3.5米．
素材2 为了使大棚更牢固，在此横截面内竖立若干根与地面垂直的竹竿连接到大棚的边缘．要求相邻竹竿之间的水平距离为2米，靠近墙体的竹竿与墙体的水平距离不超过2米．
问题解决
任务1 确定大棚形状 结合素材1，在图中建立合适的直角坐标系，求大棚横截面所对应的抛物线解析式（不需写自变量取值范围）．
任务2 探索加固方案 请你设计一个符合要求的竹竿竖立方案，方案内容包括：①从何处立第一根竹竿；②共需多少根竹竿；③所霄竹竿的总长度 （写出计算过程）．
6．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图，某景观公园内人工湖里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为米，到湖面的垂直高度为米．当喷头位于起始位置时，测量得与的四组数据如下：（米0234（米121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求关于的表达式．
任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
7．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼询问距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
8．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．
素材2：种植苗木时，每棵苗木高，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．
问题解决
任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，求抛物线的函数关系式．
任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．
任务3：拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标．
9．综合实践：
项目主题 “亚运主题”草坪设计
项目情境 为了迎亚会，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案
驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关糸？①直观猜想：我认为 ； 请用简洁的语言或代数式表达你的猜想）②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ；③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ．
活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三 为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图．
驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长．①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示关于的函数关系．②数学之星小明提出一个问题：若米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗？请说明理由．
10．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：
任务一：了解风筝：“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案 ．任务二：设计风筝：设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．任务三：制作风筝：传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为 ．任务四：放飞风筝：同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．
项目反思：同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识 ．
11．《诗经》有云：“蒹葭苍苍，白露为霜．所谓伊人，在水一方．”学校项目学习小组为了解园林中某片水域的宽度，实地进行了有关测量，记录如下：
项目主题 测量水域的宽度
测量工具 激光笔、测角仪、卷尺、标杆等
测量方案示意图
测量步骤 1．在水域一侧的点处，将激光笔放置在与该水域垂直的方向上，激光笔光线指向了对岸的点处；2．从点出发，沿与垂直的方向走到点处，在点处竖直立起一根标杆后，继续沿该方向走同样的距离到达点处；3．再从点出发，沿与垂直的方向走到恰好被标杆遮挡，看不见点时的点处．
测量数据 ，，
（1）该项目学习小组能否知道该片水域的宽度？如果能，请求出水域的宽度；如果不能，请说明理由；
（2）你认为在实地测量时，可能会遇到哪些困难？
12．根据以下素材．探索完成任务．
杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅．
素材1 某快递公司规定：（1）从当地寄送杨梅到市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收元千克．（2）寄送杨梅重量均为整数千克．
素材2 电子存单1托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司计量重量：7千克件数：1总费用：32元 电子存单2托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司计量重量：12千克件数：1总费用：44元 电子存单3托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司计量重量：15千克件数：1总费用：62元
问题解决
任务1 分析变量关系 根据以上信息，请确定的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用（元关于杨梅重量（千克）之间的函数关系式．
任务2 计算最省费用 若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用．
任务3 探索最大重量 小聪想在当地梅企购买一批价格为50元千克的杨梅并全部寄送给在市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式．
13．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定木板分配方案？
素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为，．
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子．
素材3 义卖时的售价如标签所示：
问题解决
任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．
14．根据以下素材，探索解决任务．
确定什锦糖的销售量
素材1 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元千克，20元千克．
素材2 商店将两种糖果混合形成型什锦糖如图所示，小温根据个人需要，另外混合配制成型什锦糖，每份重5千克，价格80元．
素材3 小温恰好用870元各买了若干份，型什锦糖．
问题解决
任务1 确定型单价 每份什锦糖需要多少元？
任务2 确定型配比 每份什锦糖中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？
任务3 确定销售量 本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？
15．根据以下素材，探索完成任务．
制作检测酒精的漂浮吸管
素材1 如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．
素材2 小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数与液体密度之间的几组数据如下表：19.81816.513.2密度1.01.11.21.5
素材3 浓度为的酒精密度（酒精与水的密度分别为，
问题解决
任务1 求关于的函数表达式．
任务2 由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度，图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测酒精的吸管位置．（精确到
16．根据以下素材，探索完成任务：
素材一：图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中，遮阳蓬可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，，米．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：时刻12点13点14点15点角的正切值421
素材3：小明身高（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明所站的位置离墙角的距离为1.2米．
问题解决
任务1 确定高度 这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，请求固定点到墙角的距离的长．
任务2 判断是否碰到篷面 如图2，为不被阳光照射到，旋转摇臂，的对应点为，使得离墙壁距离为1.2米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判断他的头顶是否会碰到遮阳蓬面？
任务3 探究合理范围 如图3，不改变的位置，小明打算在这天点之间在遮阳蓬下休息，为使得全程不被阳光照射到，又不会碰到遮阳蓬面，求小明所站位置离墙角距离的范围．
17．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计打印图纸方案？
素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ构成．已知，点，分别在和上，且，设．
素材2 为了打印精准，拟在图2中的边上设置一排间距为的定位坐标为坐标原点），计算机可根据点的定位坐标精准打印出图案．
问题解决
任务1 确定关系 用的代数式表示：区域Ⅰ的面积 ；区域Ⅱ的面积 ．
任务2 拟定方案 为了美观，拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是含边的三角形，求所有方案中乙的面积或者函数表达式．
任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内（包括两端）的整数时，此时的点为最佳定位点，请写出所有的最佳定位点的坐标．
18．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．
素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元．
素材3 已知明信片的进价为5元套，吉祥物钥匙扣的进价为18元个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额．
问题解决
任务1 假设明信片的售价为元套，钥匙扣的售价为元个，请协助解决右边问题． 问： （用含的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
19．根据以下素材，探索完成任务．
如何设置“绿波带”？
素材1：某市为新路段设置“绿波带”，车辆驶入绿波带后，若以一定速度行驶，到达下个路口时会遇到绿灯，可节约能源．如图，，两路口停车线之间距离为900米，两个交通信号灯的绿灯持续时间均为秒，处绿灯亮起53秒后处绿灯第一次亮起．
素材2：第1辆车的车头与停车线平齐，后面相邻两车的车头相距5米，绿灯亮起时第一辆车立即启动，后面每一辆车在前一辆车启动2秒后再启动，车辆启动后，先加速，到一定速度后匀速行驶，在加速阶段，汽车的速度与时间的关系如下表所示，行驶路程与速度、时间的关系满足．
（秒 1 2 3 4
（米秒） 3 6 9 12
素材路口车流量显示：绿灯持续时间应少于25秒为整数），每一次绿灯一个车道内能通过的等候车辆数为10辆（车头超过停车线即为通过），且每辆车加速通过路口．
任务1：用含的代数式表示，并求关于的函数表达式．
任务2：求第10辆车从启动到车头到达停车线的时间以及绿灯持续时间的值．
任务路口绿灯亮起后，第一辆车的匀速车速处于什么范围时，可在路口绿灯第一次亮起期间通过停车线2？
20．根据以下素材，探索完成任务
如何调整电梯球、落叶球的发球方向
素材1 如图是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在处向门柱一侧发球，点正对门柱（即，，足球运动的路线是抛物线的一部分．
素材2 如图，当足球运动到最高点时，高度为，即，此时水平距离，以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系．
问题解决
任务1 足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此时足球能否入网？
任务2 小梅改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角处再入网？
上述任务1、任务2中球落在门柱边线视同球入网
21．根据以下素材，探索完成任务：
如何制定订餐方案？
素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有、两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示：套餐类别套餐单价团体订购优惠方案：米饭套餐30 元方案一：套餐满20份及以上打9折；方案二：套餐满12份及以上打8折；方案三：总费用满850元立减110元．：面食套餐25 元温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用．
素材2 该班级共31位同学，每人都从、两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？
任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可斐然同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式．
任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则、套餐应各订多少份？并求出最低总费用．
22．根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图，他们通过自制的测倾仪（如图在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点 和点 ．
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度．
任务3 换算高度 楼房实际宽度为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到．
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何制定大棚间作方案？
素材1 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量．如图1是一个长18米，宽10米的大棚，如图2，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚．
素材2 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在，花生的单位产量与垄宽有近似的二次函数关系如图3所示，种植时，要求花生单位产量不低于．
问题解决
任务1 确定函数关系 求花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式．
任务2 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围．
任务3 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和．花生垄个数： ；木薯垄个数： ；产量之和： ．
24．根据以下素材，完成任务．
解决挖掘机的租用和保养问题
素材1 “迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造．施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表：型号挖掘土石方量（单位：台时）租金（单位：元台时）甲型160190乙型240260
素材2 为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换．现预估保养费用为元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用还缺25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用还剩15元．
问题解决
任务1 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量．甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？
任务2 探究租用方案 若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？
任务3 确定保养费用 基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为 元（用含的代数式表示）．
25．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽的为 ．
目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
26．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为． （裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．方法一：裁切靠背16张和座垫0张．方法二：裁切靠背 张和坐垫 张．方法三：裁切靠背 张和坐垫 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有1张座垫和11张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
27．根据以下素材，操作探索以下任务：
素材1 六边形就是所求的正六边形．
素材2 如图是一张边长为的正方形纸片，将正方形作如图折叠：①沿对角线折叠，得到折痕．②把折叠，得到折痕，使点落在上，记为点．③沿的中垂线折叠，得到折痕，分别是该折痕与，的交点）．
根据提供的素材2，解决问题：
任务 确定角度 求出的度数；
任务 探索比值 求出的值（结果保留根号）；
任务 思考方法 根据素材2的方法，，就是正八边形的两个顶点，类似地，我们可以折出正八边形的其余六个顶点．深入思考：请利用正方形的对称性思考，将正方形纸片折出正八边形的八个顶点，最少需要 次折叠．
28．根据以下素材，探索完成任务
如何设计购买方案？
素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买1张场馆门票和1张场馆门票共需90元，购买3张场馆门票和2张场馆门票共需230元．场馆门票为每张15元．
素材2 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票．
问题解决
任务1 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格．
任务2 探究经费的使用 若购买场馆的门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务3 拟定购买方案 若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案．购买方案门票类型购买数量
29．根据以下素材，探索完成任务．
如何合理搭配消费券？
素材一 温州市人民政府决定，发放2023年“春暖瓯越温享生活”消费券（如图），一人可领取的消费券有：型消费券（满25减10元）2张，型消费券（满58减20元）2张，型消费券（满168减60元）1张．
素材二 在此次活动中，小明一家5人都领到了消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了380元，请完成以下任务．
任务一 若小明一家用了2张型消费券，6张型的消费券，则用了 张型的消费券，此时实际消费的最少为 元．
任务二 若小明一家用12张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用消费券张数最少，并求出此时消费券的搭配方案．
30．根据以下素材，探索完成任务．
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
素材 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
问题解决
任务1 确定心形叶片的形状 如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标
任务2 研究心形叶片的尺寸 如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于，两点，直线分别交抛物线和直线于点，，点，是叶片上的一对对称点，交直线与点．求叶片此处的宽度．
任务3 探究幼苗叶片的生长 小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线与水平线的夹角为．三天后，点长到与点同一水平位置的点时，叶尖落在射线上（如图5所示）．求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．
31．
如何裁剪出符合要求的长方形纸片？
素材1 如图1，是腰长为的等腰直角三角形卡纸，校艺术节上，甲、乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的长方形纸片，并使长方形的四个顶点都在的边上．
素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的的长方形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的的长方形纸片，丙同学想裁出面积最大的长方形纸片．
任务1 计算纸片周长 请帮甲同学计算此长方形纸片的周长．
任务2 判断裁剪方案 请帮乙同学判断此裁剪方案是否能够实现，说明理由．
任务3 计算最大面积 请帮丙同学计算出长方形纸片面积的最大值．
32．根据以下素材，探索完成任务．
项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究．
素材一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数学示意图，其中第一排电池板位置固定，第二排位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，，所在的直线垂直于水平线，坡面，，，， 参考数据：，，
素材二 上午太阳光线与水平线的夹角范围为，为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点要落在阴影外面．
问题解决
任务一 计算角度 当等于时， ．
任务二 探究影长 求在斜坡上的阴影的取值范围（精确到．
任务三 方案选择（选择其中的一种方案进行研究） 方案一：若在该斜坡上安装3排的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板之间的最大间距为多少（精确到．方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来长的电池板最大可以定制多长（精确到．
33．探究奖项设置和奖品采购的方案．
素材1：如图，某学校举办“中国传统文化”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品．已知一盒水笔比一本笔记本的单价高9元，10盒水笔和10本笔记本的总价为210元．
素材2：为提高今后参赛积极性，学校将原定的获奖级别及人数进行调整，如表：
获奖级别 一等奖 二等奖 三等奖
调整前人数（单位：个） 5 15 30
调整后人数（单位：个） 20
调整前后获奖总人数不变．调整前一、二、三等奖的平均分数分别为94分、80分、71分，调整后一、二、三等奖的平均分数分别为90分、75分、70分．
素材3：调整后开始采购，学校有活动经费690元和30张“吉祥超市”的兑换券，一张兑换券兑换3盒水笔或者7本笔记本（一张兑换券只能兑换一种商品）．
【任务1】分别求一盒水笔和一本笔记本的单价．
【任务2】求，的值．
【任务3】学校计划将活动经费用完，所需奖品全部在“吉祥超市”采购，请你设计一个最佳采购方案．
34．根据以下信息，探索完成任务．
如何设计种植方案？
素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践，现有、两种作物的相关信息如下表所示：作物作物每平方米种植株树（株210单株产量（千克）1.20.5
素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植作物每增加1株，作物的单株产量减少0.1千克．
素材3 若同时种植、两种作物，实行分区域种植．
问题解决
单一种植（全部种植作物） 任务1：明确数量关系 设每平方米增加株作物为正整数），则每平方米有 株，单株产量为 千克． （用含的代数式表示）
任务2：计算产量 要使作物每平方米产量为4.8千克，则每平方米应种植多少株？
分区种植（种植、两种作物） 任务3：规划种植方案 设这100平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米10株种植作物，当这100平方米总产量不低于496千克时，则的取值范围是
35．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计跳长绳方案
素材1 图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米．
素材2 某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米
问题解决
任务1 确定长绳形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式
任务2 探究站队方式 当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？
任务3 拟定位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．
36．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如素材一的图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．
素材2 若准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高，宽，侧面用大理石包围，长方形是花坛截面，如图．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1 确定喷灌器的位置 求出喷灌器与围墙的距离．
任务2 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
37．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计宣传牌？
素材1 如图1是长方形宣传牌，长，宽，拟在上面书写24个字．（1）中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍．（2）四周空白部分的宽度相等．
素材2 如图2，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左、中、右三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中逢间距相等．
素材3 如图3，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为．
问题解决
任务1 分析数量关系 设四周宽度为，用含的代数式分别表示设计部分的长和宽．
任务2 确定四周宽度 求出四周宽度的值．
任务3 确定栏目大小 （1）求每个栏目的水平宽度．（2）求长方形栏目与栏目之间中缝的间距．
38．探究通过维修路段的最短时长．
素材1：如图1，某路段段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在，处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯）．
素材2：甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图2所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是．
素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入段的车辆都能及时通过该路段．
任务求段的总路程和甲车经过段的速度．
任务在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图象．
任务丙车沿方向行驶，经段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯的车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，问丙车在段从开始等待至离开点至少需要几秒钟？
39．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图1，湖中有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为米，到湖面的垂直高度为米．当喷头位于起始位置时，测量得与的四组数据如下：（米0234（米121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图2，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求关于的表达式．
任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
40．某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．
下面是两个方案及测量数据：
项目 测量某塔的高度
方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角
测量示意图
测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
测量数据
（1）根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ；
（2）根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，
41．近几年，我国快递市场跟随电商经历了爆发式增长，快递已成为人们生活的一部分．越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢？以此为驱动问题，某校八年级开展了项目学习．如表是李华同学帮家人选择更优惠的快递公司的活动报告（不完整），请仔细阅读并完成相应任务．
为家人选择更优惠的快递公司活动报告一、收集信息经了解我家附近有甲、乙两个不同的快递公司代办点，服务质量同等，爸爸妈妈邮寄快递通常是随机去其中的一个代办点，他们邮寄的快递都是省外且在以内，体积一般较小．快递费通常是由首重费和续重费组成，以为单位计费，不足按计费．取实际重量和体积重量（长宽高，单位中两者较大值作为物品重量计费．甲、乙两个代办点省外邮寄费用标准如下：甲：首重收费8元，续重5元；（即所寄物品重量不超过时收费8元，重量超过时超过部分按每千克加收5元计费）乙：首重收费10元，续重4元．二、建立模型1．发现所寄物品的快递费用（元与物品重量之间存在函数关系，与之间的关系式为：，．2．在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象（如图，不完整），两图象交于点．三、解决问题我们可以根据图象推断哪个快递公司更优惠，结论如下：
任务：
（1）直接将函数图象补充完整（在图中画出函数图象）（不需要过程）．
（2）写出点的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义．
（3）根据图象推断哪个快递公司更优惠．
42．图1是某校篮球架实物图，图2是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”兴趣组将分成两个小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，两个小组设计了如下测量方案：
课题 测量篮球架篮板高度
组名 第一组 第二组
成员 组长：小明 组员：小亮，小丽，小辉 组长：小红 组员：小玲，小文，小海
工具 竹竿，皮尺，测角仪 竹竿，皮尺
测量示意图
测量方法 将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的点处观察篮板底部点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数，接着将观察点沿着竹竿向上移动到点，使得从点观察篮板顶部点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注点的位置，测量的长度． 将一根竹竿靠在篮板上，竹竿的一端与篮板顶部点重合，竹竿另一端点落在地面点正前方的点处，并在地面上标注点的位置，接着将竹竿与点重合的一端沿着篮板下滑，直到该端点与篮板底部点重合，此时，另一端点落在地面点正前方的点处，并在地面上标注点的位置，测量和的长度
测量数据 测量项目 数值 测量项目 数值
的度数 竹竿的长度
的度数 的长度 3
的长度 1米 的长度 4
（1）小明说：“的长度就是篮板的高”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由；
（2）第二小组记录的测量数据中“竹竿长度”的数值不小心被墨水污染后看不清楚，请你结合两个小组记录的测量数据计算第二小组使用的竹竿长度．
43．根据以下素材，探索完成任务．
圆柱体外包装的材料损耗率问题研究
素材1 厂商在生产产品时，对产品外包装的材料，通常要考虑尽可能地合理利用，减少浪费．圆柱体形状的物品，它的外包装盒通常都是长方体，且上下底面为正方形．
素材2 设计产品外包装时，我们把裁剪掉的废料部分的面积与原图形的面积之比称为材料的损耗率．一种材料利用率较高的裁剪方式如图所示，采用正方形纸板裁剪，只需剪掉四条边上的四个小三角形．按这种方式包装一个底面直径为2，高为1的圆柱体（接缝处的材料损耗不计），损耗率只有．
问题解决
任务1 现采用一张边长为的正方形纸，按如图所示的裁剪方式剪掉各边上的四个三角形后，可恰好无缝地做成一个圆柱体的外包装盒．设圆柱体的底面半径为，则它的高 （用的代数式表示）．
任务2 在图中，若已知该圆柱体外包装盒的材料损耗率为，求这个圆柱体的底面半径．
任务3 现利用两块同样大小的正方形纸板，按如图方式裁剪后，可包装两个高分别为4和2的圆柱体，发现这两个圆柱体的体积恰好相等．求第一个圆柱体的底面半径．（圆柱体的体积底面积高）
44．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 定义：如图1，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点．
素材2 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线．
素材3 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图2中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形（如图．
问题解决
任务1 问题1：如图3，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由．问题2：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论： ．
任务2 请在图3探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由．
任务3 兴趣小组探索图2时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
任务4 兴趣小组探索图2时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明．
45．
如何设计计算油漆用量的方案？
素材1 小明家的一面墙壁由边长为1分米的小正方形密铺而成，上面画了如图所示的心形图案．他现在准备将心形图案的内部刷上红色的油漆，已知刷1平方分米需要0.02升的油漆． 图1
素材2 奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式，格点多边形的面积与格点多边形内的格点数和边界上的格点数有关，面积公式可表示为（其中，为常数）．示例：如图2，格点多边形内的格点数，边界上的格点数，格点多边形的面积． 图2
问题解决
任务1 在图3中画一个格点多边形，并计算它的格点多边形内的格点数，边界上的格点数和面积． ； ； ．图3
任务2 得出格点多边形的面积公式 根据图2和图3的数据，求常数，的值．
任务3 计算油漆的用量 求需要红色油漆多少升？
46．根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷．素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）；素材2：小浩查阅资料，计算出，，，如图；素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变．
【任务1】如图2，求，的长；
【任务2】如图3，求弧的弓高；
【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）．
47．根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离．
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米与货船增加的载重量（吨满足函数关系式．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
48．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水池喷头的安装方案？
素材1 图1中有一个直径为的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心处立着一个直径为的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，如图2，水柱距水池中心处到达最高，高度为．
素材2 如图3，拟在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头（喷射水柱竖直向上，高度均为；相邻两个直线型喷头的间距均为，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，任选一条抛物线求函数表达式．
任务2 确定石柱高度 在你所建立的坐标系中，确定水柱汇合点的纵坐标．
任务3 拟定设计方案 请给出符合所有要求的直线型喷头的安装数量，并根据你所建立的直角坐标系，求出离中心最远的两个直线型喷头的坐标．
49．我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究．结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质．
探索数的神秘性质
素材 尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数的立方都可以写成个连续奇数之和． 举例论证：；；；请你按规律写出： ．
规律总结 当是奇数7时，则等号右边式子中的中间数（即第4个数）为 ； 当为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）为 ．
综合应用 利用上面结论计算：．
拓展延伸 我们还发现以下规律：已知，，且，均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”：若（且，均为不大于7的正整数）的分解中有奇数31，则的值为 ．
50．某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图，相关信息如下：
素材 内容
素材1 高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，，抛物线（实线部分），线段，线段绕轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）．图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，，抛物线（虚线部分）绕轴旋转形成的立体图形．
素材3 已知，图2坐标系中，，记为，，，，．
根据以上素材内容，尝试求解以下问题：
（1）求抛物线和抛物线的解析式；
（2）当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？（结果保留
（3）当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？
51．根据以下思考，探索完成任务．
曼哈顿距离的思考
问题背景 很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线．定义城市内街道上两点，，，之间的距离为，称为曼哈顿距离（简称为曼距），曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼闵可夫斯基提出来的．
素材1 如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，可得矩形上及内部的任意格点（坐标为整数的点）为，都有．
素材2 在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示（如图）．该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站，其中格点位置四通八达．
任务1 探求消防站位置 若火警高危点，消防站的坐标为，且与点的曼距，请求出消防站的位置；
任务2 选择最适合位置 若火警高危点，，按设计要求最小，则下列5个点中最适合设为消防站的是 ；（写出所有正确的序号）．．．．．
任务3 拟定最短曼距方案 如图，一条笔直的公路起点为，点为公路上一点．若消防站在原点处，请探究消防站到公路（即射线上一点的曼距的最小值．
52．根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度（度907560453015参考数据：．
素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点．
问题解决
任务1 确定影子长度 某一时刻测得米．请求出此时影子的长度
任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？
任务3 探究合理范围 小明打算在这天露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围．
53．根据以下素材，探索完成任务．
如何拟定计时器的计时方案？
问题背景 “漏刻”是我国古代的一种计时工具（如图，它是中国古代人民对函数思想的创造性应用．
素材1 为了提高计时的准确度，需稳定“漏水壶”的水位．如图2，若打开出水口，水位就稳定在位置，随着“受水壶”内的水逐渐增加，读出“受水壶”的刻度，就可以确定时间．小明想根据“漏刻”的原理制作一个简易计时器．
素材2 实验发现，当打开不同的出水口时，水位可以稳定在相应的高度，从而调节计时时长（即“受水壶”到达最高位的总时间）．右表是记录“漏水壶”水位高度与“受水壶”每分钟上升高度的部分数据，已知关于的函数表达式为：． 72162288101520
问题解决
任务1 确定函数关系 求关于的函数表达式．
任务2 探索计时时长 “漏水壶”水位定在时，求计时器的计时时长．
任务3 拟定计时方案 小明想要设计出“漏水壶”水位高度和计时时长都是整数的计时器，且“漏水壶”水位需满足（含，．请求出所有符合要求的方案．
54．根据以下素材，探索完成任务．
如何给桥护栏挂小彩灯
素材1 图1是桥的护栏实物图，护栏长200米，高1.6米，图2是桥护栏示意图，为了使彩灯挂起来整齐美观，设计小组首先制作了外缘呈抛物线型模板，然后用该模板在图纸上绘制抛物线图案，彩灯沿抛物线摆放．
素材2 方案一：护栏中间正好可以摆5具模板，绘制5条抛物线图案连成一条波浪线，每条抛物线的顶点落在护栏的上下边．方案二：将模板一部分放入护栏，绘制若干条抛物线图案，靠上下两边连成两条波浪线，每条抛物线的高度都相等，相对两条抛物线的顶点之间的距离为0.7米．方案三：将方案一和方案二中的抛物线图案各若干条，沿护栏下边摆放，大的图案摆在中间，小的图案摆两边，连成一条波浪线，且整个小彩灯图案呈轴对称图形，每条抛物线图案保持完整，两边能摆尽摆，可以有空余．
任务 问题解决
一 确定抛物线形状 求出模板抛物线的函数解析式；
二 确定方案二中一条抛物线图案的宽度和摆放方案 求出其中一条抛物线图案的宽度，每边这样的图案最多可以摆放几个？
三 设计方案三摆放方案 确定大小抛物线图案各需多少个，并给出摆放方案．
55．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水装置的高度？
素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，为水池中心，喷头、之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为1.8米．
素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，并从点向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件：①水柱的最高点与点的高度差为；②不能碰到图2中的水柱；③落水点，的间距满足：．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中以点为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点的坐标．
任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置的高度．
56．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计花边绘制的方案？
素材 某中学美工社团计划用一“抛物线型”模具设计花边，图1为模具的形状，其高度为．现将该模具完全放入长、宽分别为，的矩形纸片中（如图，发现恰好能绘制出一幅有5个连续花边组成的图案．
问题解决
任务1 确定模具形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求出最中间花边的函数表达式．
任务2 设计过程一 如图3，将模具的一部分放入纸片，恰好绘制出一排含有20个连续花边的图案（花边高度一致），求花边高度的值．
设计过程二 为了环保，将原矩形纸片四等分，得到的矩形纸片，并在该纸片上进行绘制：为了增加美观性，要求绘制时满足以下条件：①花边高度．②每两个相邻花边之间需要有的间隔．③要求在符合条件处均进行绘制，且绘制后的花边图案成轴对称分布．给出一种符合所有绘制条件的花边数量，并求出花边图案的左端与纸片左边缘的水平距离．
57．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计高架桥的限高及车道宽方案？
素材1 图1高架桥是一段圆弧拱形结构，图2是它的示意图．经测量，拱形跨度，拱顶离地面．
素材2 如图3，某道路规划部门计划将左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，每条机动车道宽均．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度）
素材3 如图4，由于城市道路绿化需求，道路规划部门确定新方案为在非机动车道和机动车道一之间增加一条宽为的绿化带，中间绿化带宽度不变，每条机动车道道宽均不小于且相等，非机动车道最高高度不小于．
问题解决
任务1 确定桥拱所在圆弧的半径． 在图2中补好图形，标注字母、数据等信息，求出桥拱所在圆弧的半径长．
任务2 探究原计划该高架桥下方机动车道一的限高要求． 在图3中画出图形，标注字母、数据等信息，计算确定机动车道一的限高高度．
任务3 拟定新方案下非机动车道和机动车车道宽度． 给出一对符合新方案要求的非机动车道和机动车道的道宽值．（参考数值：，
58．
如何确定隧道中警示灯带的安装方案？
素材1 2022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，如图1，隧道底部宽为10，高为5．
素材2 货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为20的警示灯带，沿抛物线安装．（如图．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为0.8（灯带宽度可忽略）；普通货车的高度大约为2.5（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50．灯带安装好后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定隧道形状 在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究安装范围 在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系，求出最右边一条灯带安装点的横坐标．
59．旋转的图形带来结论的奥秘．已知，将绕点逆时针旋转得到△．
初步探索 素材如图①，连接对应点，，则． 素材如图②，以为圆心，边上的高为半径作，则与相切．
问题解决 （1）（ⅰ）请证明素材1所发现的结论．（ⅱ）如图2，过点作，垂足为．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
深入研究 （2）在满足，，，是的中点，绕点逆时针旋转得△．（ⅰ）如图③，当边恰好经过点时，连接，则的长为 ．（ⅱ）若边所在直线恰好经过点，于图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线．（只保留作图痕迹）（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线，交于点，求的最大值为 ．
60．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定隧道的限高？
素材1 从小清家到附近山区的一条双行线公路上有一个隧道，在隧道口有一个限高标志（如图，表示禁止装载高度（车顶最高处到地面）超过的车辆通行．那么这个限高是如何确定的呢？
素材2 小清通过实地调查和查阅相关资料，获得以下信息：①隧道的横截面成轴对称，由一个矩形和一个弓形构成．②隧道内的总宽度为，双行车道宽度为，隧道圆拱内壁最高处距路面，矩形的高为，车道两侧的人行道宽．③为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道圆拱内壁在竖直方向上的高度差相差最少．
问题解决
任务1 计算半径 求图1中弓形所在圆的半径．
任务2 确定限高 如图2，在安全的条件下，的限高是如何确定的？请通过计算说明理由．（参考数据：，结果保留一位小数）
任务3 尝试设计 如果要使高度不超过，宽为的货车能顺利通过这个隧道，且不改变隧道内的总宽度和矩形的高，如何设计隧道的弓形部分（求弓形所在圆的半径至少为多少米？（参考数据：，结果保留一位小数）
参考答案与试题解析
一．解答题（共60小题）
1．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：组员：，，
工具 皮尺等
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离．
测量数据 测量项目 数值
图1中的长度 1米
图2中的长度 5.2米
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度．
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．
【解答】解：（1）由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米，
设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米
由图2可得，在中，，
，
解得，，
答：旗杆的高度为13.02米．
（2）旗杆的高度．（不唯一，合理即可）．
2．天王寺善济塔位于河南省新乡市，修建于元朝至元四年，为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位．某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在善济塔前的一棵树底部处测得塔顶处的仰角为，在塔底部处测得大树顶部处的仰角为，测得树高为．为了减小测量误差，小组在测量两个仰角的度数时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题 测量天王寺善济塔的高度
测量示意图 说明：线段表示大树，线段表示天王寺善济塔，点，在同一条直线上，且点，，，都在同一竖直平面内
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
任务一：表中 ．
任务二：请你帮小组的同学求出天王寺善济塔的高度．（结果精确到．参考数据，，
任务三：该小组要写一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一条即可）
【解答】解：任务一：．
故答案为：；
任务二：在中，，
；
在中，，
；
任务三：还需要补充的项目可为：测量工具（计算过程，人员分工，指导教师等）．（答案不唯一）．
3．根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围．（2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
【解答】解：（1）道路宽度不超过12米，且不小于5米，
纵向道路宽度的取值范围为；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
符合题意，
路面设置的宽度符合要求；
（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下：
假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又，
符合题意，
假设成立，
即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．
4．根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中支架，
素材2 已知大棚共有支架400根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，素材2调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为60元米（接口忽略不计），现有改造经费32000元
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式
任务2 拟定最化方案 只考虑经费情况下，求出的最大值
【解答】解：（1）如图，以为原点，建立如图1所示的坐标系，
，，
设抛物线解析式为，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，将代入解析式得，，
．
（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
，
为，
改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为，
将代入解析式得，
，
为，为，
，
共需改造经费，
能完成改造．
图2
（3）如图2，设改造后抛物线解析式为，
则为，为，
，
由题意可列不等式，，解得，
，
时，的值最大，为1.6米．
5．根据下列素材，探索完成任务：
如何加固蔬菜大棚？
素材1 农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型（如图），一端固定在距离地面1米的墙体1处．另一端固定在距离地面2米的对面墙体处，两墙体的水平距离为6米．大棚离地面的最高点与的水平距离为3.5米．
素材2 为了使大棚更牢固，在此横截面内竖立若干根与地面垂直的竹竿连接到大棚的边缘．要求相邻竹竿之间的水平距离为2米，靠近墙体的竹竿与墙体的水平距离不超过2米．
问题解决
任务1 确定大棚形状 结合素材1，在图中建立合适的直角坐标系，求大棚横截面所对应的抛物线解析式（不需写自变量取值范围）．
任务2 探索加固方案 请你设计一个符合要求的竹竿竖立方案，方案内容包括：①从何处立第一根竹竿；②共需多少根竹竿；③所霄竹竿的总长度 （写出计算过程）．
【解答】解：（1）建立直角坐标系如图（答案不唯一）
由已知可得，，顶点的横坐标为3.5，
设大棚横截面所对应的抛物线解析式为，
，
解得，
大棚横截面所对应的抛物线解析式为；
（2）符合要求的方案（答案不唯一）
从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，
共需2根竹竿，
当时，，
当时，，
所需竹竿总长度为（米．
6．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图，某景观公园内人工湖里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为米，到湖面的垂直高度为米．当喷头位于起始位置时，测量得与的四组数据如下：（米0234（米121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求关于的表达式．
任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
【解答】解：任务1：分析表格数据，可得该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
设该抛物线的解析式为，将点代入，得，则，
该抛物线的解析式为，
任务2：设调节后的水管喷出抛物线的解析式为，
由题意，当时，，
，解得，
喷头至少向上调节（米，
（米，
答：喷头距离湖面高度的最小值为1.89米．
7．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼询问距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【解答】解：任务
以拱顶为原点，建立直角坐标系，如图，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
，
该抛物线的函数表达式是；
任务
水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
悬挂点的纵坐标，
悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，解得或，
悬挂点的横坐标的取值范围是；
任务3：有两种设计方案（答出一种即可），
方案一：从顶点处开始悬挂灯笼．
，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
若顶点一侧挂10盏灯笼，则，
若顶点一侧挂9盏灯笼，则，
顶点一侧最多可挂9盏灯笼．
挂满灯笼后成轴对称分布，
共可挂19盏灯笼，
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是；
方案二：从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
若顶点一侧挂10盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
顶点一侧最多可挂9盏灯笼．
挂满灯笼后成轴对称分布，
共可挂18盏灯笼．
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
8．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．
素材2：种植苗木时，每棵苗木高，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．
问题解决
任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，求抛物线的函数关系式．
任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．
任务3：拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标．
【解答】解：任务1：根据图中的坐标系以及题意可得，点的坐标为，点的坐标为，
抛物线的顶点坐标为点，
可设抛物线的解析式为：，
把点代入可得：，解得：，
抛物线的函数关系式为：；
任务种植苗木时，每棵苗木高，
当时，解得：，，
苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布，
种植点的横坐标的取值范围为：；
任务3：根据题中所知，种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔，
在距离轴的两则开始种植，最前排可种植：（棵，
则最左边一棵苗木种植点的横坐标．
答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为．
9．综合实践：
项目主题 “亚运主题”草坪设计
项目情境 为了迎亚会，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案
驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关糸？①直观猜想：我认为 四种方案小路面积的大小相等 ； 请用简洁的语言或代数式表达你的猜想）②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ；③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ．
活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三 为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图．
驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长．①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示关于的函数关系．②数学之星小明提出一个问题：若米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗？请说明理由．
【解答】解：（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等，
故答案为：四种方案小路面积的大小相等；
②甲：；
乙：，
故答案为：，；
③甲：，
乙：，
故答案为：，；
（2）设小路的宽为，则，
解得：或（不合题意，舍去），
答：小路的宽为；
（3）①方法，，
方法，；
②由题意得：，
设方程的两个根分别为，，则，且△，
则：，，
，
，
故甲和乙的说法都不正确．
10．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：
任务一：了解风筝：“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案 ．任务二：设计风筝：设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．任务三：制作风筝：传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为 ．任务四：放飞风筝：同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．
项目反思：同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识 ．
【解答】解：任务一：不是轴对称图形的风筝图案是，
故答案为：；
任务二：如图所示，即为所求；
任务三：，，
，
竹条的长为，
故答案为：60；
项目反思：在项目实施的过程中用到的数学知识：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）．
11．《诗经》有云：“蒹葭苍苍，白露为霜．所谓伊人，在水一方．”学校项目学习小组为了解园林中某片水域的宽度，实地进行了有关测量，记录如下：
项目主题 测量水域的宽度
测量工具 激光笔、测角仪、卷尺、标杆等
测量方案示意图
测量步骤 1．在水域一侧的点处，将激光笔放置在与该水域垂直的方向上，激光笔光线指向了对岸的点处；2．从点出发，沿与垂直的方向走到点处，在点处竖直立起一根标杆后，继续沿该方向走同样的距离到达点处；3．再从点出发，沿与垂直的方向走到恰好被标杆遮挡，看不见点时的点处．
测量数据 ，，
（1）该项目学习小组能否知道该片水域的宽度？如果能，请求出水域的宽度；如果不能，请说明理由；
（2）你认为在实地测量时，可能会遇到哪些困难？
【解答】解：（1）该项目学习小组能知道该片水域的宽度，
理由：，，
，
在和中，
，
，
，
水域的宽度为；
（2）我认为在实地测量时，水域两岸可能不是规则的直线，所以测量时垂直不易把握，测量数据有误差．
12．根据以下素材．探索完成任务．
杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅．
素材1 某快递公司规定：（1）从当地寄送杨梅到市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收元千克．（2）寄送杨梅重量均为整数千克．
素材2 电子存单1托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司计量重量：7千克件数：1总费用：32元 电子存单2托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司计量重量：12千克件数：1总费用：44元 电子存单3托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司计量重量：15千克件数：1总费用：62元
问题解决
任务1 分析变量关系 根据以上信息，请确定的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用（元关于杨梅重量（千克）之间的函数关系式．
任务2 计算最省费用 若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用．
任务3 探索最大重量 小聪想在当地梅企购买一批价格为50元千克的杨梅并全部寄送给在市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式．
【解答】解：（1）由题意得，，
，
；
（2）当元，
若单件寄送，则需寄费元，
若分两件寄送，则需寄费元，
若分三件寄送，则需寄费元，
，
寄送杨梅的最省费用为94元；
（3）设有杨梅需要寄送，设的余数为，
当时，，
当时，，
当时，采用超过的寄送方式最省钱，当，采用分两件不超过的寄送方式省钱，
设小聪购买的杨梅一共分件不超过的寄送方式，
由题意得，，
解得，
又时正整数，
最大值为9，
还剩下元，
的余数小于5，
最省钱的寄送方式应该是8件不超过的寄送，一件超过的寄送，
件不超过的寄送的寄费为元，，，，，
一件超过的寄送的杨梅数量是，
小聪最多可以购买杨梅，寄送方式为8件，1件．
13．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定木板分配方案？
素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为，．
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子．
素材3 义卖时的售价如标签所示：
问题解决
任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．
【解答】解：任务1：设长方体的高度为，
则：，
解得：，
答：长方体的高度为；
任务2：设张木板制作无盖的收纳盒，
则：，
解得：，
的整数解有：76，77，78，79，
共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；
②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；
③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；
④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖；
任务3：设：张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元，
由题意得：，
即：，
的整数解有：76，77，78，79，
当时，有最大值，为：，
答：76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为2504元．
14．根据以下素材，探索解决任务．
确定什锦糖的销售量
素材1 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元千克，20元千克．
素材2 商店将两种糖果混合形成型什锦糖如图所示，小温根据个人需要，另外混合配制成型什锦糖，每份重5千克，价格80元．
素材3 小温恰好用870元各买了若干份，型什锦糖．
问题解决
任务1 确定型单价 每份什锦糖需要多少元？
任务2 确定型配比 每份什锦糖中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？
任务3 确定销售量 本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？
【解答】解：任务一：每份什锦糖的单价为（元千克），
答：每份什锦糖的单价为17.5元；
任务二：设每份什锦糖需要甲糖果千克，需要乙糖果千克，由题意得，
，
解得，
即每份什锦糖需要甲糖果4千克，需要乙糖果1千克；
任务三：设什锦糖买份，什锦糖买份，由题意得，
，
由于、均为正整数，
所以，或，，
当，时，甲糖果：（千克），乙糖果：（千克）；
当，时，甲糖果：（千克），乙糖果：（千克）；
答：本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果208千克、58千克或132千克、87千克．
15．根据以下素材，探索完成任务．
制作检测酒精的漂浮吸管
素材1 如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．
素材2 小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数与液体密度之间的几组数据如下表：19.81816.513.2密度1.01.11.21.5
素材3 浓度为的酒精密度（酒精与水的密度分别为，
问题解决
任务1 求关于的函数表达式．
任务2 由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度，图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测酒精的吸管位置．（精确到
【解答】解：（任务通过计算可知，表格中密度与对应吸管的示数的乘积为定值19.8，即．
故关于的函数表达式为．
（任务．
，
（厘米）．
答：关于的函数表达式为，检测酒精的吸管位置在23.3厘米处．
16．根据以下素材，探索完成任务：
素材一：图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中，遮阳蓬可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，，米．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：时刻12点13点14点15点角的正切值421
素材3：小明身高（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明所站的位置离墙角的距离为1.2米．
问题解决
任务1 确定高度 这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，请求固定点到墙角的距离的长．
任务2 判断是否碰到篷面 如图2，为不被阳光照射到，旋转摇臂，的对应点为，使得离墙壁距离为1.2米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判断他的头顶是否会碰到遮阳蓬面？
任务3 探究合理范围 如图3，不改变的位置，小明打算在这天点之间在遮阳蓬下休息，为使得全程不被阳光照射到，又不会碰到遮阳蓬面，求小明所站位置离墙角距离的范围．
【解答】解：任务1，作于，
所以，四边形是矩形，
根据题意得，米，
米，
米，
点太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值是4，
，
解得米．
任务2，作于，，交于，于，
米，米，
米，
米，
米，
由辅助线作法可知，四边形是矩形，
米，
，
，
米，
米，
米米，
他的头顶会碰到遮阳蓬面．
任务3，由任务2可得，米，
．
米，
，
米，
设小明在点位置时，头顶刚好碰到遮阳蓬面，
米米，
米，
米，
．
米，
米，
的求值范围是米，
17．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计打印图纸方案？
素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ构成．已知，点，分别在和上，且，设．
素材2 为了打印精准，拟在图2中的边上设置一排间距为的定位坐标为坐标原点），计算机可根据点的定位坐标精准打印出图案．
问题解决
任务1 确定关系 用的代数式表示：区域Ⅰ的面积 ；区域Ⅱ的面积 ．
任务2 拟定方案 为了美观，拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是含边的三角形，求所有方案中乙的面积或者函数表达式．
任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内（包括两端）的整数时，此时的点为最佳定位点，请写出所有的最佳定位点的坐标．
【解答】解：任务
，
区块Ⅰ的面积：．
，，
，
区块Ⅱ的面积：．
区块Ⅲ的面积：．
任务2：①如图1若连接，
，
不可能为等腰三角形，
，
为等腰三角形，
．
②如图2连接，，则为的中点，
．
任务
且面积范围为，
结合函数图象得整数解为，这两个的定位坐标满足题意．
有2个最佳定位点，分别为，．
故答案为：任务1：区块Ⅰ的面积：，区块Ⅱ的面积：，区块Ⅲ的面积：；
任务或；
任务3：有2个最佳定位点，分别为，．
18．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．
素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元．
素材3 已知明信片的进价为5元套，吉祥物钥匙扣的进价为18元个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额．
问题解决
任务1 假设明信片的售价为元套，钥匙扣的售价为元个，请协助解决右边问题． 问： （用含的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
【解答】解：任务
一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，
；
故答案为：；
任务
小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，
，
解得，
，
答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；
任务
设购买吉祥物钥匙扣个，明信片张，
根据题意得：，
，
，是非负整数，
或或或或或，
吉祥物钥匙扣每件利润为（元，明信片每张利润为（元，
购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60张，商家获利300元；
购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张，商家获利270元；
购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36张，商家获利240元；
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24张，商家获利210元；
购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12张，商家获利180元；
购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0张，商家获利150元；
答：可行的购买方案有：购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60张或购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张，或购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36张或购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24张或购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12张或购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0张；其中购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60张商家获利最高．
19．根据以下素材，探索完成任务．
如何设置“绿波带”？
素材1：某市为新路段设置“绿波带”，车辆驶入绿波带后，若以一定速度行驶，到达下个路口时会遇到
项目化学习应用题目集
一．解答题（共60小题）
1．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：组员：，，
工具 皮尺等
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离．
测量数据 测量项目 数值
图1中的长度 1米
图2中的长度 5.2米
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度．
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．
2．天王寺善济塔位于河南省新乡市，修建于元朝至元四年，为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位．某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在善济塔前的一棵树底部处测得塔顶处的仰角为，在塔底部处测得大树顶部处的仰角为，测得树高为．为了减小测量误差，小组在测量两个仰角的度数时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题 测量天王寺善济塔的高度
测量示意图 说明：线段表示大树，线段表示天王寺善济塔，点，在同一条直线上，且点，，，都在同一竖直平面内
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
任务一：表中 ．
任务二：请你帮小组的同学求出天王寺善济塔的高度．（结果精确到．参考数据，，
任务三：该小组要写一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一条即可）
3．根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围．（2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
4．根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中支架，
素材2 已知大棚共有支架400根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，素材2调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为60元米（接口忽略不计），现有改造经费32000元
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式
任务2 拟定最化方案 只考虑经费情况下，求出的最大值
5．根据下列素材，探索完成任务：
如何加固蔬菜大棚？
素材1 农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型（如图），一端固定在距离地面1米的墙体1处．另一端固定在距离地面2米的对面墙体处，两墙体的水平距离为6米．大棚离地面的最高点与的水平距离为3.5米．
素材2 为了使大棚更牢固，在此横截面内竖立若干根与地面垂直的竹竿连接到大棚的边缘．要求相邻竹竿之间的水平距离为2米，靠近墙体的竹竿与墙体的水平距离不超过2米．
问题解决
任务1 确定大棚形状 结合素材1，在图中建立合适的直角坐标系，求大棚横截面所对应的抛物线解析式（不需写自变量取值范围）．
任务2 探索加固方案 请你设计一个符合要求的竹竿竖立方案，方案内容包括：①从何处立第一根竹竿；②共需多少根竹竿；③所霄竹竿的总长度 （写出计算过程）．
6．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图，某景观公园内人工湖里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为米，到湖面的垂直高度为米．当喷头位于起始位置时，测量得与的四组数据如下：（米0234（米121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求关于的表达式．
任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
7．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼询问距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
8．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．
素材2：种植苗木时，每棵苗木高，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．
问题解决
任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，求抛物线的函数关系式．
任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．
任务3：拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标．
9．综合实践：
项目主题 “亚运主题”草坪设计
项目情境 为了迎亚会，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案
驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关糸？①直观猜想：我认为 ； 请用简洁的语言或代数式表达你的猜想）②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ；③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ．
活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三 为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图．
驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长．①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示关于的函数关系．②数学之星小明提出一个问题：若米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗？请说明理由．
10．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：
任务一：了解风筝：“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案 ．任务二：设计风筝：设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．任务三：制作风筝：传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为 ．任务四：放飞风筝：同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．
项目反思：同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识 ．
11．《诗经》有云：“蒹葭苍苍，白露为霜．所谓伊人，在水一方．”学校项目学习小组为了解园林中某片水域的宽度，实地进行了有关测量，记录如下：
项目主题 测量水域的宽度
测量工具 激光笔、测角仪、卷尺、标杆等
测量方案示意图
测量步骤 1．在水域一侧的点处，将激光笔放置在与该水域垂直的方向上，激光笔光线指向了对岸的点处；2．从点出发，沿与垂直的方向走到点处，在点处竖直立起一根标杆后，继续沿该方向走同样的距离到达点处；3．再从点出发，沿与垂直的方向走到恰好被标杆遮挡，看不见点时的点处．
测量数据 ，，
（1）该项目学习小组能否知道该片水域的宽度？如果能，请求出水域的宽度；如果不能，请说明理由；
（2）你认为在实地测量时，可能会遇到哪些困难？
12．根据以下素材．探索完成任务．
杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅．
素材1 某快递公司规定：（1）从当地寄送杨梅到市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收元千克．（2）寄送杨梅重量均为整数千克．
素材2 电子存单1托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司计量重量：7千克件数：1总费用：32元 电子存单2托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司计量重量：12千克件数：1总费用：44元 电子存单3托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司计量重量：15千克件数：1总费用：62元
问题解决
任务1 分析变量关系 根据以上信息，请确定的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用（元关于杨梅重量（千克）之间的函数关系式．
任务2 计算最省费用 若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用．
任务3 探索最大重量 小聪想在当地梅企购买一批价格为50元千克的杨梅并全部寄送给在市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式．
13．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定木板分配方案？
素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为，．
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子．
素材3 义卖时的售价如标签所示：
问题解决
任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．
14．根据以下素材，探索解决任务．
确定什锦糖的销售量
素材1 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元千克，20元千克．
素材2 商店将两种糖果混合形成型什锦糖如图所示，小温根据个人需要，另外混合配制成型什锦糖，每份重5千克，价格80元．
素材3 小温恰好用870元各买了若干份，型什锦糖．
问题解决
任务1 确定型单价 每份什锦糖需要多少元？
任务2 确定型配比 每份什锦糖中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？
任务3 确定销售量 本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？
15．根据以下素材，探索完成任务．
制作检测酒精的漂浮吸管
素材1 如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．
素材2 小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数与液体密度之间的几组数据如下表：19.81816.513.2密度1.01.11.21.5
素材3 浓度为的酒精密度（酒精与水的密度分别为，
问题解决
任务1 求关于的函数表达式．
任务2 由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度，图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测酒精的吸管位置．（精确到
16．根据以下素材，探索完成任务：
素材一：图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中，遮阳蓬可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，，米．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：时刻12点13点14点15点角的正切值421
素材3：小明身高（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明所站的位置离墙角的距离为1.2米．
问题解决
任务1 确定高度 这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，请求固定点到墙角的距离的长．
任务2 判断是否碰到篷面 如图2，为不被阳光照射到，旋转摇臂，的对应点为，使得离墙壁距离为1.2米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判断他的头顶是否会碰到遮阳蓬面？
任务3 探究合理范围 如图3，不改变的位置，小明打算在这天点之间在遮阳蓬下休息，为使得全程不被阳光照射到，又不会碰到遮阳蓬面，求小明所站位置离墙角距离的范围．
17．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计打印图纸方案？
素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ构成．已知，点，分别在和上，且，设．
素材2 为了打印精准，拟在图2中的边上设置一排间距为的定位坐标为坐标原点），计算机可根据点的定位坐标精准打印出图案．
问题解决
任务1 确定关系 用的代数式表示：区域Ⅰ的面积 ；区域Ⅱ的面积 ．
任务2 拟定方案 为了美观，拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是含边的三角形，求所有方案中乙的面积或者函数表达式．
任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内（包括两端）的整数时，此时的点为最佳定位点，请写出所有的最佳定位点的坐标．
18．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．
素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元．
素材3 已知明信片的进价为5元套，吉祥物钥匙扣的进价为18元个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额．
问题解决
任务1 假设明信片的售价为元套，钥匙扣的售价为元个，请协助解决右边问题． 问： （用含的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
19．根据以下素材，探索完成任务．
如何设置“绿波带”？
素材1：某市为新路段设置“绿波带”，车辆驶入绿波带后，若以一定速度行驶，到达下个路口时会遇到绿灯，可节约能源．如图，，两路口停车线之间距离为900米，两个交通信号灯的绿灯持续时间均为秒，处绿灯亮起53秒后处绿灯第一次亮起．
素材2：第1辆车的车头与停车线平齐，后面相邻两车的车头相距5米，绿灯亮起时第一辆车立即启动，后面每一辆车在前一辆车启动2秒后再启动，车辆启动后，先加速，到一定速度后匀速行驶，在加速阶段，汽车的速度与时间的关系如下表所示，行驶路程与速度、时间的关系满足．
（秒 1 2 3 4
（米秒） 3 6 9 12
素材路口车流量显示：绿灯持续时间应少于25秒为整数），每一次绿灯一个车道内能通过的等候车辆数为10辆（车头超过停车线即为通过），且每辆车加速通过路口．
任务1：用含的代数式表示，并求关于的函数表达式．
任务2：求第10辆车从启动到车头到达停车线的时间以及绿灯持续时间的值．
任务路口绿灯亮起后，第一辆车的匀速车速处于什么范围时，可在路口绿灯第一次亮起期间通过停车线2？
20．根据以下素材，探索完成任务
如何调整电梯球、落叶球的发球方向
素材1 如图是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在处向门柱一侧发球，点正对门柱（即，，足球运动的路线是抛物线的一部分．
素材2 如图，当足球运动到最高点时，高度为，即，此时水平距离，以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系．
问题解决
任务1 足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此时足球能否入网？
任务2 小梅改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角处再入网？
上述任务1、任务2中球落在门柱边线视同球入网
21．根据以下素材，探索完成任务：
如何制定订餐方案？
素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有、两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示：套餐类别套餐单价团体订购优惠方案：米饭套餐30 元方案一：套餐满20份及以上打9折；方案二：套餐满12份及以上打8折；方案三：总费用满850元立减110元．：面食套餐25 元温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用．
素材2 该班级共31位同学，每人都从、两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？
任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可斐然同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式．
任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则、套餐应各订多少份？并求出最低总费用．
22．根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图，他们通过自制的测倾仪（如图在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点 和点 ．
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度．
任务3 换算高度 楼房实际宽度为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到．
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何制定大棚间作方案？
素材1 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量．如图1是一个长18米，宽10米的大棚，如图2，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚．
素材2 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在，花生的单位产量与垄宽有近似的二次函数关系如图3所示，种植时，要求花生单位产量不低于．
问题解决
任务1 确定函数关系 求花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式．
任务2 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围．
任务3 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和．花生垄个数： ；木薯垄个数： ；产量之和： ．
24．根据以下素材，完成任务．
解决挖掘机的租用和保养问题
素材1 “迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造．施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表：型号挖掘土石方量（单位：台时）租金（单位：元台时）甲型160190乙型240260
素材2 为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换．现预估保养费用为元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用还缺25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用还剩15元．
问题解决
任务1 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量．甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？
任务2 探究租用方案 若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？
任务3 确定保养费用 基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为 元（用含的代数式表示）．
25．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽的为 ．
目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
26．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为． （裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．方法一：裁切靠背16张和座垫0张．方法二：裁切靠背 张和坐垫 张．方法三：裁切靠背 张和坐垫 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有1张座垫和11张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
27．根据以下素材，操作探索以下任务：
素材1 六边形就是所求的正六边形．
素材2 如图是一张边长为的正方形纸片，将正方形作如图折叠：①沿对角线折叠，得到折痕．②把折叠，得到折痕，使点落在上，记为点．③沿的中垂线折叠，得到折痕，分别是该折痕与，的交点）．
根据提供的素材2，解决问题：
任务 确定角度 求出的度数；
任务 探索比值 求出的值（结果保留根号）；
任务 思考方法 根据素材2的方法，，就是正八边形的两个顶点，类似地，我们可以折出正八边形的其余六个顶点．深入思考：请利用正方形的对称性思考，将正方形纸片折出正八边形的八个顶点，最少需要 次折叠．
28．根据以下素材，探索完成任务
如何设计购买方案？
素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买1张场馆门票和1张场馆门票共需90元，购买3张场馆门票和2张场馆门票共需230元．场馆门票为每张15元．
素材2 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票．
问题解决
任务1 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格．
任务2 探究经费的使用 若购买场馆的门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务3 拟定购买方案 若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案．购买方案门票类型购买数量
29．根据以下素材，探索完成任务．
如何合理搭配消费券？
素材一 温州市人民政府决定，发放2023年“春暖瓯越温享生活”消费券（如图），一人可领取的消费券有：型消费券（满25减10元）2张，型消费券（满58减20元）2张，型消费券（满168减60元）1张．
素材二 在此次活动中，小明一家5人都领到了消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了380元，请完成以下任务．
任务一 若小明一家用了2张型消费券，6张型的消费券，则用了 张型的消费券，此时实际消费的最少为 元．
任务二 若小明一家用12张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用消费券张数最少，并求出此时消费券的搭配方案．
30．根据以下素材，探索完成任务．
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
素材 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
问题解决
任务1 确定心形叶片的形状 如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标
任务2 研究心形叶片的尺寸 如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于，两点，直线分别交抛物线和直线于点，，点，是叶片上的一对对称点，交直线与点．求叶片此处的宽度．
任务3 探究幼苗叶片的生长 小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线与水平线的夹角为．三天后，点长到与点同一水平位置的点时，叶尖落在射线上（如图5所示）．求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．
31．
如何裁剪出符合要求的长方形纸片？
素材1 如图1，是腰长为的等腰直角三角形卡纸，校艺术节上，甲、乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的长方形纸片，并使长方形的四个顶点都在的边上．
素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的的长方形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的的长方形纸片，丙同学想裁出面积最大的长方形纸片．
任务1 计算纸片周长 请帮甲同学计算此长方形纸片的周长．
任务2 判断裁剪方案 请帮乙同学判断此裁剪方案是否能够实现，说明理由．
任务3 计算最大面积 请帮丙同学计算出长方形纸片面积的最大值．
32．根据以下素材，探索完成任务．
项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究．
素材一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数学示意图，其中第一排电池板位置固定，第二排位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，，所在的直线垂直于水平线，坡面，，，， 参考数据：，，
素材二 上午太阳光线与水平线的夹角范围为，为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点要落在阴影外面．
问题解决
任务一 计算角度 当等于时， ．
任务二 探究影长 求在斜坡上的阴影的取值范围（精确到．
任务三 方案选择（选择其中的一种方案进行研究） 方案一：若在该斜坡上安装3排的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板之间的最大间距为多少（精确到．方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来长的电池板最大可以定制多长（精确到．
33．探究奖项设置和奖品采购的方案．
素材1：如图，某学校举办“中国传统文化”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品．已知一盒水笔比一本笔记本的单价高9元，10盒水笔和10本笔记本的总价为210元．
素材2：为提高今后参赛积极性，学校将原定的获奖级别及人数进行调整，如表：
获奖级别 一等奖 二等奖 三等奖
调整前人数（单位：个） 5 15 30
调整后人数（单位：个） 20
调整前后获奖总人数不变．调整前一、二、三等奖的平均分数分别为94分、80分、71分，调整后一、二、三等奖的平均分数分别为90分、75分、70分．
素材3：调整后开始采购，学校有活动经费690元和30张“吉祥超市”的兑换券，一张兑换券兑换3盒水笔或者7本笔记本（一张兑换券只能兑换一种商品）．
【任务1】分别求一盒水笔和一本笔记本的单价．
【任务2】求，的值．
【任务3】学校计划将活动经费用完，所需奖品全部在“吉祥超市”采购，请你设计一个最佳采购方案．
34．根据以下信息，探索完成任务．
如何设计种植方案？
素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践，现有、两种作物的相关信息如下表所示：作物作物每平方米种植株树（株210单株产量（千克）1.20.5
素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植作物每增加1株，作物的单株产量减少0.1千克．
素材3 若同时种植、两种作物，实行分区域种植．
问题解决
单一种植（全部种植作物） 任务1：明确数量关系 设每平方米增加株作物为正整数），则每平方米有 株，单株产量为 千克． （用含的代数式表示）
任务2：计算产量 要使作物每平方米产量为4.8千克，则每平方米应种植多少株？
分区种植（种植、两种作物） 任务3：规划种植方案 设这100平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米10株种植作物，当这100平方米总产量不低于496千克时，则的取值范围是
35．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计跳长绳方案
素材1 图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米．
素材2 某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米
问题解决
任务1 确定长绳形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式
任务2 探究站队方式 当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？
任务3 拟定位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．
36．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如素材一的图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．
素材2 若准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高，宽，侧面用大理石包围，长方形是花坛截面，如图．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1 确定喷灌器的位置 求出喷灌器与围墙的距离．
任务2 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
37．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计宣传牌？
素材1 如图1是长方形宣传牌，长，宽，拟在上面书写24个字．（1）中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍．（2）四周空白部分的宽度相等．
素材2 如图2，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左、中、右三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中逢间距相等．
素材3 如图3，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为．
问题解决
任务1 分析数量关系 设四周宽度为，用含的代数式分别表示设计部分的长和宽．
任务2 确定四周宽度 求出四周宽度的值．
任务3 确定栏目大小 （1）求每个栏目的水平宽度．（2）求长方形栏目与栏目之间中缝的间距．
38．探究通过维修路段的最短时长．
素材1：如图1，某路段段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在，处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯）．
素材2：甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图2所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是．
素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入段的车辆都能及时通过该路段．
任务求段的总路程和甲车经过段的速度．
任务在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图象．
任务丙车沿方向行驶，经段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯的车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，问丙车在段从开始等待至离开点至少需要几秒钟？
39．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图1，湖中有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为米，到湖面的垂直高度为米．当喷头位于起始位置时，测量得与的四组数据如下：（米0234（米121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图2，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求关于的表达式．
任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
40．某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．
下面是两个方案及测量数据：
项目 测量某塔的高度
方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角
测量示意图
测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
测量数据
（1）根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ；
（2）根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，
41．近几年，我国快递市场跟随电商经历了爆发式增长，快递已成为人们生活的一部分．越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢？以此为驱动问题，某校八年级开展了项目学习．如表是李华同学帮家人选择更优惠的快递公司的活动报告（不完整），请仔细阅读并完成相应任务．
为家人选择更优惠的快递公司活动报告一、收集信息经了解我家附近有甲、乙两个不同的快递公司代办点，服务质量同等，爸爸妈妈邮寄快递通常是随机去其中的一个代办点，他们邮寄的快递都是省外且在以内，体积一般较小．快递费通常是由首重费和续重费组成，以为单位计费，不足按计费．取实际重量和体积重量（长宽高，单位中两者较大值作为物品重量计费．甲、乙两个代办点省外邮寄费用标准如下：甲：首重收费8元，续重5元；（即所寄物品重量不超过时收费8元，重量超过时超过部分按每千克加收5元计费）乙：首重收费10元，续重4元．二、建立模型1．发现所寄物品的快递费用（元与物品重量之间存在函数关系，与之间的关系式为：，．2．在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象（如图，不完整），两图象交于点．三、解决问题我们可以根据图象推断哪个快递公司更优惠，结论如下：
任务：
（1）直接将函数图象补充完整（在图中画出函数图象）（不需要过程）．
（2）写出点的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义．
（3）根据图象推断哪个快递公司更优惠．
42．图1是某校篮球架实物图，图2是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”兴趣组将分成两个小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，两个小组设计了如下测量方案：
课题 测量篮球架篮板高度
组名 第一组 第二组
成员 组长：小明 组员：小亮，小丽，小辉 组长：小红 组员：小玲，小文，小海
工具 竹竿，皮尺，测角仪 竹竿，皮尺
测量示意图
测量方法 将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的点处观察篮板底部点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数，接着将观察点沿着竹竿向上移动到点，使得从点观察篮板顶部点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注点的位置，测量的长度． 将一根竹竿靠在篮板上，竹竿的一端与篮板顶部点重合，竹竿另一端点落在地面点正前方的点处，并在地面上标注点的位置，接着将竹竿与点重合的一端沿着篮板下滑，直到该端点与篮板底部点重合，此时，另一端点落在地面点正前方的点处，并在地面上标注点的位置，测量和的长度
测量数据 测量项目 数值 测量项目 数值
的度数 竹竿的长度
的度数 的长度 3
的长度 1米 的长度 4
（1）小明说：“的长度就是篮板的高”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由；
（2）第二小组记录的测量数据中“竹竿长度”的数值不小心被墨水污染后看不清楚，请你结合两个小组记录的测量数据计算第二小组使用的竹竿长度．
43．根据以下素材，探索完成任务．
圆柱体外包装的材料损耗率问题研究
素材1 厂商在生产产品时，对产品外包装的材料，通常要考虑尽可能地合理利用，减少浪费．圆柱体形状的物品，它的外包装盒通常都是长方体，且上下底面为正方形．
素材2 设计产品外包装时，我们把裁剪掉的废料部分的面积与原图形的面积之比称为材料的损耗率．一种材料利用率较高的裁剪方式如图所示，采用正方形纸板裁剪，只需剪掉四条边上的四个小三角形．按这种方式包装一个底面直径为2，高为1的圆柱体（接缝处的材料损耗不计），损耗率只有．
问题解决
任务1 现采用一张边长为的正方形纸，按如图所示的裁剪方式剪掉各边上的四个三角形后，可恰好无缝地做成一个圆柱体的外包装盒．设圆柱体的底面半径为，则它的高 （用的代数式表示）．
任务2 在图中，若已知该圆柱体外包装盒的材料损耗率为，求这个圆柱体的底面半径．
任务3 现利用两块同样大小的正方形纸板，按如图方式裁剪后，可包装两个高分别为4和2的圆柱体，发现这两个圆柱体的体积恰好相等．求第一个圆柱体的底面半径．（圆柱体的体积底面积高）
44．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 定义：如图1，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点．
素材2 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线．
素材3 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图2中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形（如图．
问题解决
任务1 问题1：如图3，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由．问题2：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论： ．
任务2 请在图3探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由．
任务3 兴趣小组探索图2时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
任务4 兴趣小组探索图2时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明．
45．
如何设计计算油漆用量的方案？
素材1 小明家的一面墙壁由边长为1分米的小正方形密铺而成，上面画了如图所示的心形图案．他现在准备将心形图案的内部刷上红色的油漆，已知刷1平方分米需要0.02升的油漆． 图1
素材2 奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式，格点多边形的面积与格点多边形内的格点数和边界上的格点数有关，面积公式可表示为（其中，为常数）．示例：如图2，格点多边形内的格点数，边界上的格点数，格点多边形的面积． 图2
问题解决
任务1 在图3中画一个格点多边形，并计算它的格点多边形内的格点数，边界上的格点数和面积． ； ； ．图3
任务2 得出格点多边形的面积公式 根据图2和图3的数据，求常数，的值．
任务3 计算油漆的用量 求需要红色油漆多少升？
46．根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷．素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）；素材2：小浩查阅资料，计算出，，，如图；素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变．
【任务1】如图2，求，的长；
【任务2】如图3，求弧的弓高；
【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）．
47．根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离．
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米与货船增加的载重量（吨满足函数关系式．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
48．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水池喷头的安装方案？
素材1 图1中有一个直径为的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心处立着一个直径为的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，如图2，水柱距水池中心处到达最高，高度为．
素材2 如图3，拟在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头（喷射水柱竖直向上，高度均为；相邻两个直线型喷头的间距均为，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，任选一条抛物线求函数表达式．
任务2 确定石柱高度 在你所建立的坐标系中，确定水柱汇合点的纵坐标．
任务3 拟定设计方案 请给出符合所有要求的直线型喷头的安装数量，并根据你所建立的直角坐标系，求出离中心最远的两个直线型喷头的坐标．
49．我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究．结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质．
探索数的神秘性质
素材 尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数的立方都可以写成个连续奇数之和． 举例论证：；；；请你按规律写出： ．
规律总结 当是奇数7时，则等号右边式子中的中间数（即第4个数）为 ； 当为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）为 ．
综合应用 利用上面结论计算：．
拓展延伸 我们还发现以下规律：已知，，且，均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”：若（且，均为不大于7的正整数）的分解中有奇数31，则的值为 ．
50．某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图，相关信息如下：
素材 内容
素材1 高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，，抛物线（实线部分），线段，线段绕轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）．图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，，抛物线（虚线部分）绕轴旋转形成的立体图形．
素材3 已知，图2坐标系中，，记为，，，，．
根据以上素材内容，尝试求解以下问题：
（1）求抛物线和抛物线的解析式；
（2）当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？（结果保留
（3）当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？
51．根据以下思考，探索完成任务．
曼哈顿距离的思考
问题背景 很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线．定义城市内街道上两点，，，之间的距离为，称为曼哈顿距离（简称为曼距），曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼闵可夫斯基提出来的．
素材1 如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，可得矩形上及内部的任意格点（坐标为整数的点）为，都有．
素材2 在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示（如图）．该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站，其中格点位置四通八达．
任务1 探求消防站位置 若火警高危点，消防站的坐标为，且与点的曼距，请求出消防站的位置；
任务2 选择最适合位置 若火警高危点，，按设计要求最小，则下列5个点中最适合设为消防站的是 ；（写出所有正确的序号）．．．．．
任务3 拟定最短曼距方案 如图，一条笔直的公路起点为，点为公路上一点．若消防站在原点处，请探究消防站到公路（即射线上一点的曼距的最小值．
52．根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度（度907560453015参考数据：．
素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点．
问题解决
任务1 确定影子长度 某一时刻测得米．请求出此时影子的长度
任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？
任务3 探究合理范围 小明打算在这天露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围．
53．根据以下素材，探索完成任务．
如何拟定计时器的计时方案？
问题背景 “漏刻”是我国古代的一种计时工具（如图，它是中国古代人民对函数思想的创造性应用．
素材1 为了提高计时的准确度，需稳定“漏水壶”的水位．如图2，若打开出水口，水位就稳定在位置，随着“受水壶”内的水逐渐增加，读出“受水壶”的刻度，就可以确定时间．小明想根据“漏刻”的原理制作一个简易计时器．
素材2 实验发现，当打开不同的出水口时，水位可以稳定在相应的高度，从而调节计时时长（即“受水壶”到达最高位的总时间）．右表是记录“漏水壶”水位高度与“受水壶”每分钟上升高度的部分数据，已知关于的函数表达式为：． 72162288101520
问题解决
任务1 确定函数关系 求关于的函数表达式．
任务2 探索计时时长 “漏水壶”水位定在时，求计时器的计时时长．
任务3 拟定计时方案 小明想要设计出“漏水壶”水位高度和计时时长都是整数的计时器，且“漏水壶”水位需满足（含，．请求出所有符合要求的方案．
54．根据以下素材，探索完成任务．
如何给桥护栏挂小彩灯
素材1 图1是桥的护栏实物图，护栏长200米，高1.6米，图2是桥护栏示意图，为了使彩灯挂起来整齐美观，设计小组首先制作了外缘呈抛物线型模板，然后用该模板在图纸上绘制抛物线图案，彩灯沿抛物线摆放．
素材2 方案一：护栏中间正好可以摆5具模板，绘制5条抛物线图案连成一条波浪线，每条抛物线的顶点落在护栏的上下边．方案二：将模板一部分放入护栏，绘制若干条抛物线图案，靠上下两边连成两条波浪线，每条抛物线的高度都相等，相对两条抛物线的顶点之间的距离为0.7米．方案三：将方案一和方案二中的抛物线图案各若干条，沿护栏下边摆放，大的图案摆在中间，小的图案摆两边，连成一条波浪线，且整个小彩灯图案呈轴对称图形，每条抛物线图案保持完整，两边能摆尽摆，可以有空余．
任务 问题解决
一 确定抛物线形状 求出模板抛物线的函数解析式；
二 确定方案二中一条抛物线图案的宽度和摆放方案 求出其中一条抛物线图案的宽度，每边这样的图案最多可以摆放几个？
三 设计方案三摆放方案 确定大小抛物线图案各需多少个，并给出摆放方案．
55．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水装置的高度？
素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，为水池中心，喷头、之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为1.8米．
素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，并从点向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件：①水柱的最高点与点的高度差为；②不能碰到图2中的水柱；③落水点，的间距满足：．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中以点为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点的坐标．
任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置的高度．
56．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计花边绘制的方案？
素材 某中学美工社团计划用一“抛物线型”模具设计花边，图1为模具的形状，其高度为．现将该模具完全放入长、宽分别为，的矩形纸片中（如图，发现恰好能绘制出一幅有5个连续花边组成的图案．
问题解决
任务1 确定模具形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求出最中间花边的函数表达式．
任务2 设计过程一 如图3，将模具的一部分放入纸片，恰好绘制出一排含有20个连续花边的图案（花边高度一致），求花边高度的值．
设计过程二 为了环保，将原矩形纸片四等分，得到的矩形纸片，并在该纸片上进行绘制：为了增加美观性，要求绘制时满足以下条件：①花边高度．②每两个相邻花边之间需要有的间隔．③要求在符合条件处均进行绘制，且绘制后的花边图案成轴对称分布．给出一种符合所有绘制条件的花边数量，并求出花边图案的左端与纸片左边缘的水平距离．
57．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计高架桥的限高及车道宽方案？
素材1 图1高架桥是一段圆弧拱形结构，图2是它的示意图．经测量，拱形跨度，拱顶离地面．
素材2 如图3，某道路规划部门计划将左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，每条机动车道宽均．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度）
素材3 如图4，由于城市道路绿化需求，道路规划部门确定新方案为在非机动车道和机动车道一之间增加一条宽为的绿化带，中间绿化带宽度不变，每条机动车道道宽均不小于且相等，非机动车道最高高度不小于．
问题解决
任务1 确定桥拱所在圆弧的半径． 在图2中补好图形，标注字母、数据等信息，求出桥拱所在圆弧的半径长．
任务2 探究原计划该高架桥下方机动车道一的限高要求． 在图3中画出图形，标注字母、数据等信息，计算确定机动车道一的限高高度．
任务3 拟定新方案下非机动车道和机动车车道宽度． 给出一对符合新方案要求的非机动车道和机动车道的道宽值．（参考数值：，
58．
如何确定隧道中警示灯带的安装方案？
素材1 2022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，如图1，隧道底部宽为10，高为5．
素材2 货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为20的警示灯带，沿抛物线安装．（如图．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为0.8（灯带宽度可忽略）；普通货车的高度大约为2.5（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50．灯带安装好后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定隧道形状 在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究安装范围 在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系，求出最右边一条灯带安装点的横坐标．
59．旋转的图形带来结论的奥秘．已知，将绕点逆时针旋转得到△．
初步探索 素材如图①，连接对应点，，则． 素材如图②，以为圆心，边上的高为半径作，则与相切．
问题解决 （1）（ⅰ）请证明素材1所发现的结论．（ⅱ）如图2，过点作，垂足为．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
深入研究 （2）在满足，，，是的中点，绕点逆时针旋转得△．（ⅰ）如图③，当边恰好经过点时，连接，则的长为 ．（ⅱ）若边所在直线恰好经过点，于图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线．（只保留作图痕迹）（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线，交于点，求的最大值为 ．
60．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定隧道的限高？
素材1 从小清家到附近山区的一条双行线公路上有一个隧道，在隧道口有一个限高标志（如图，表示禁止装载高度（车顶最高处到地面）超过的车辆通行．那么这个限高是如何确定的呢？
素材2 小清通过实地调查和查阅相关资料，获得以下信息：①隧道的横截面成轴对称，由一个矩形和一个弓形构成．②隧道内的总宽度为，双行车道宽度为，隧道圆拱内壁最高处距路面，矩形的高为，车道两侧的人行道宽．③为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道圆拱内壁在竖直方向上的高度差相差最少．
问题解决
任务1 计算半径 求图1中弓形所在圆的半径．
任务2 确定限高 如图2，在安全的条件下，的限高是如何确定的？请通过计算说明理由．（参考数据：，结果保留一位小数）
任务3 尝试设计 如果要使高度不超过，宽为的货车能顺利通过这个隧道，且不改变隧道内的总宽度和矩形的高，如何设计隧道的弓形部分（求弓形所在圆的半径至少为多少米？（参考数据：，结果保留一位小数）
参考答案与试题解析
一．解答题（共60小题）
1．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：组员：，，
工具 皮尺等
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离．
测量数据 测量项目 数值
图1中的长度 1米
图2中的长度 5.2米
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度．
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．
【解答】解：（1）由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米，
设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米
由图2可得，在中，，
，
解得，，
答：旗杆的高度为13.02米．
（2）旗杆的高度．（不唯一，合理即可）．
2．天王寺善济塔位于河南省新乡市，修建于元朝至元四年，为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位．某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在善济塔前的一棵树底部处测得塔顶处的仰角为，在塔底部处测得大树顶部处的仰角为，测得树高为．为了减小测量误差，小组在测量两个仰角的度数时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题 测量天王寺善济塔的高度
测量示意图 说明：线段表示大树，线段表示天王寺善济塔，点，在同一条直线上，且点，，，都在同一竖直平面内
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
任务一：表中 ．
任务二：请你帮小组的同学求出天王寺善济塔的高度．（结果精确到．参考数据，，
任务三：该小组要写一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一条即可）
【解答】解：任务一：．
故答案为：；
任务二：在中，，
；
在中，，
；
任务三：还需要补充的项目可为：测量工具（计算过程，人员分工，指导教师等）．（答案不唯一）．
3．根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围．（2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
【解答】解：（1）道路宽度不超过12米，且不小于5米，
纵向道路宽度的取值范围为；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
符合题意，
路面设置的宽度符合要求；
（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下：
假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又，
符合题意，
假设成立，
即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．
4．根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中支架，
素材2 已知大棚共有支架400根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，素材2调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为60元米（接口忽略不计），现有改造经费32000元
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式
任务2 拟定最化方案 只考虑经费情况下，求出的最大值
【解答】解：（1）如图，以为原点，建立如图1所示的坐标系，
，，
设抛物线解析式为，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，将代入解析式得，，
．
（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
，
为，
改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为，
将代入解析式得，
，
为，为，
，
共需改造经费，
能完成改造．
图2
（3）如图2，设改造后抛物线解析式为，
则为，为，
，
由题意可列不等式，，解得，
，
时，的值最大，为1.6米．
5．根据下列素材，探索完成任务：
如何加固蔬菜大棚？
素材1 农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型（如图），一端固定在距离地面1米的墙体1处．另一端固定在距离地面2米的对面墙体处，两墙体的水平距离为6米．大棚离地面的最高点与的水平距离为3.5米．
素材2 为了使大棚更牢固，在此横截面内竖立若干根与地面垂直的竹竿连接到大棚的边缘．要求相邻竹竿之间的水平距离为2米，靠近墙体的竹竿与墙体的水平距离不超过2米．
问题解决
任务1 确定大棚形状 结合素材1，在图中建立合适的直角坐标系，求大棚横截面所对应的抛物线解析式（不需写自变量取值范围）．
任务2 探索加固方案 请你设计一个符合要求的竹竿竖立方案，方案内容包括：①从何处立第一根竹竿；②共需多少根竹竿；③所霄竹竿的总长度 （写出计算过程）．
【解答】解：（1）建立直角坐标系如图（答案不唯一）
由已知可得，，顶点的横坐标为3.5，
设大棚横截面所对应的抛物线解析式为，
，
解得，
大棚横截面所对应的抛物线解析式为；
（2）符合要求的方案（答案不唯一）
从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，
共需2根竹竿，
当时，，
当时，，
所需竹竿总长度为（米．
6．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图，某景观公园内人工湖里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为米，到湖面的垂直高度为米．当喷头位于起始位置时，测量得与的四组数据如下：（米0234（米121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求关于的表达式．
任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
【解答】解：任务1：分析表格数据，可得该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
设该抛物线的解析式为，将点代入，得，则，
该抛物线的解析式为，
任务2：设调节后的水管喷出抛物线的解析式为，
由题意，当时，，
，解得，
喷头至少向上调节（米，
（米，
答：喷头距离湖面高度的最小值为1.89米．
7．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼询问距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【解答】解：任务
以拱顶为原点，建立直角坐标系，如图，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
，
该抛物线的函数表达式是；
任务
水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
悬挂点的纵坐标，
悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，解得或，
悬挂点的横坐标的取值范围是；
任务3：有两种设计方案（答出一种即可），
方案一：从顶点处开始悬挂灯笼．
，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
若顶点一侧挂10盏灯笼，则，
若顶点一侧挂9盏灯笼，则，
顶点一侧最多可挂9盏灯笼．
挂满灯笼后成轴对称分布，
共可挂19盏灯笼，
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是；
方案二：从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
若顶点一侧挂10盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
顶点一侧最多可挂9盏灯笼．
挂满灯笼后成轴对称分布，
共可挂18盏灯笼．
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
8．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．
素材2：种植苗木时，每棵苗木高，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．
问题解决
任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，求抛物线的函数关系式．
任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．
任务3：拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标．
【解答】解：任务1：根据图中的坐标系以及题意可得，点的坐标为，点的坐标为，
抛物线的顶点坐标为点，
可设抛物线的解析式为：，
把点代入可得：，解得：，
抛物线的函数关系式为：；
任务种植苗木时，每棵苗木高，
当时，解得：，，
苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布，
种植点的横坐标的取值范围为：；
任务3：根据题中所知，种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔，
在距离轴的两则开始种植，最前排可种植：（棵，
则最左边一棵苗木种植点的横坐标．
答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为．
9．综合实践：
项目主题 “亚运主题”草坪设计
项目情境 为了迎亚会，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案
驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关糸？①直观猜想：我认为 四种方案小路面积的大小相等 ； 请用简洁的语言或代数式表达你的猜想）②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ；③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ．
活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三 为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图．
驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长．①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示关于的函数关系．②数学之星小明提出一个问题：若米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗？请说明理由．
【解答】解：（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等，
故答案为：四种方案小路面积的大小相等；
②甲：；
乙：，
故答案为：，；
③甲：，
乙：，
故答案为：，；
（2）设小路的宽为，则，
解得：或（不合题意，舍去），
答：小路的宽为；
（3）①方法，，
方法，；
②由题意得：，
设方程的两个根分别为，，则，且△，
则：，，
，
，
故甲和乙的说法都不正确．
10．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：
任务一：了解风筝：“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案 ．任务二：设计风筝：设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．任务三：制作风筝：传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为 ．任务四：放飞风筝：同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．
项目反思：同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识 ．
【解答】解：任务一：不是轴对称图形的风筝图案是，
故答案为：；
任务二：如图所示，即为所求；
任务三：，，
，
竹条的长为，
故答案为：60；
项目反思：在项目实施的过程中用到的数学知识：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）．
11．《诗经》有云：“蒹葭苍苍，白露为霜．所谓伊人，在水一方．”学校项目学习小组为了解园林中某片水域的宽度，实地进行了有关测量，记录如下：
项目主题 测量水域的宽度
测量工具 激光笔、测角仪、卷尺、标杆等
测量方案示意图
测量步骤 1．在水域一侧的点处，将激光笔放置在与该水域垂直的方向上，激光笔光线指向了对岸的点处；2．从点出发，沿与垂直的方向走到点处，在点处竖直立起一根标杆后，继续沿该方向走同样的距离到达点处；3．再从点出发，沿与垂直的方向走到恰好被标杆遮挡，看不见点时的点处．
测量数据 ，，
（1）该项目学习小组能否知道该片水域的宽度？如果能，请求出水域的宽度；如果不能，请说明理由；
（2）你认为在实地测量时，可能会遇到哪些困难？
【解答】解：（1）该项目学习小组能知道该片水域的宽度，
理由：，，
，
在和中，
，
，
，
水域的宽度为；
（2）我认为在实地测量时，水域两岸可能不是规则的直线，所以测量时垂直不易把握，测量数据有误差．
12．根据以下素材．探索完成任务．
杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅．
素材1 某快递公司规定：（1）从当地寄送杨梅到市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收元千克．（2）寄送杨梅重量均为整数千克．
素材2 电子存单1托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司计量重量：7千克件数：1总费用：32元 电子存单2托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司计量重量：12千克件数：1总费用：44元 电子存单3托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司计量重量：15千克件数：1总费用：62元
问题解决
任务1 分析变量关系 根据以上信息，请确定的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用（元关于杨梅重量（千克）之间的函数关系式．
任务2 计算最省费用 若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用．
任务3 探索最大重量 小聪想在当地梅企购买一批价格为50元千克的杨梅并全部寄送给在市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式．
【解答】解：（1）由题意得，，
，
；
（2）当元，
若单件寄送，则需寄费元，
若分两件寄送，则需寄费元，
若分三件寄送，则需寄费元，
，
寄送杨梅的最省费用为94元；
（3）设有杨梅需要寄送，设的余数为，
当时，，
当时，，
当时，采用超过的寄送方式最省钱，当，采用分两件不超过的寄送方式省钱，
设小聪购买的杨梅一共分件不超过的寄送方式，
由题意得，，
解得，
又时正整数，
最大值为9，
还剩下元，
的余数小于5，
最省钱的寄送方式应该是8件不超过的寄送，一件超过的寄送，
件不超过的寄送的寄费为元，，，，，
一件超过的寄送的杨梅数量是，
小聪最多可以购买杨梅，寄送方式为8件，1件．
13．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定木板分配方案？
素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为，．
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子．
素材3 义卖时的售价如标签所示：
问题解决
任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．
【解答】解：任务1：设长方体的高度为，
则：，
解得：，
答：长方体的高度为；
任务2：设张木板制作无盖的收纳盒，
则：，
解得：，
的整数解有：76，77，78，79，
共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；
②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；
③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；
④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖；
任务3：设：张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元，
由题意得：，
即：，
的整数解有：76，77，78，79，
当时，有最大值，为：，
答：76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为2504元．
14．根据以下素材，探索解决任务．
确定什锦糖的销售量
素材1 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元千克，20元千克．
素材2 商店将两种糖果混合形成型什锦糖如图所示，小温根据个人需要，另外混合配制成型什锦糖，每份重5千克，价格80元．
素材3 小温恰好用870元各买了若干份，型什锦糖．
问题解决
任务1 确定型单价 每份什锦糖需要多少元？
任务2 确定型配比 每份什锦糖中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？
任务3 确定销售量 本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？
【解答】解：任务一：每份什锦糖的单价为（元千克），
答：每份什锦糖的单价为17.5元；
任务二：设每份什锦糖需要甲糖果千克，需要乙糖果千克，由题意得，
，
解得，
即每份什锦糖需要甲糖果4千克，需要乙糖果1千克；
任务三：设什锦糖买份，什锦糖买份，由题意得，
，
由于、均为正整数，
所以，或，，
当，时，甲糖果：（千克），乙糖果：（千克）；
当，时，甲糖果：（千克），乙糖果：（千克）；
答：本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果208千克、58千克或132千克、87千克．
15．根据以下素材，探索完成任务．
制作检测酒精的漂浮吸管
素材1 如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．
素材2 小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数与液体密度之间的几组数据如下表：19.81816.513.2密度1.01.11.21.5
素材3 浓度为的酒精密度（酒精与水的密度分别为，
问题解决
任务1 求关于的函数表达式．
任务2 由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度，图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测酒精的吸管位置．（精确到
【解答】解：（任务通过计算可知，表格中密度与对应吸管的示数的乘积为定值19.8，即．
故关于的函数表达式为．
（任务．
，
（厘米）．
答：关于的函数表达式为，检测酒精的吸管位置在23.3厘米处．
16．根据以下素材，探索完成任务：
素材一：图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中，遮阳蓬可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，，米．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：时刻12点13点14点15点角的正切值421
素材3：小明身高（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明所站的位置离墙角的距离为1.2米．
问题解决
任务1 确定高度 这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，请求固定点到墙角的距离的长．
任务2 判断是否碰到篷面 如图2，为不被阳光照射到，旋转摇臂，的对应点为，使得离墙壁距离为1.2米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判断他的头顶是否会碰到遮阳蓬面？
任务3 探究合理范围 如图3，不改变的位置，小明打算在这天点之间在遮阳蓬下休息，为使得全程不被阳光照射到，又不会碰到遮阳蓬面，求小明所站位置离墙角距离的范围．
【解答】解：任务1，作于，
所以，四边形是矩形，
根据题意得，米，
米，
米，
点太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值是4，
，
解得米．
任务2，作于，，交于，于，
米，米，
米，
米，
米，
由辅助线作法可知，四边形是矩形，
米，
，
，
米，
米，
米米，
他的头顶会碰到遮阳蓬面．
任务3，由任务2可得，米，
．
米，
，
米，
设小明在点位置时，头顶刚好碰到遮阳蓬面，
米米，
米，
米，
．
米，
米，
的求值范围是米，
17．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计打印图纸方案？
素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ构成．已知，点，分别在和上，且，设．
素材2 为了打印精准，拟在图2中的边上设置一排间距为的定位坐标为坐标原点），计算机可根据点的定位坐标精准打印出图案．
问题解决
任务1 确定关系 用的代数式表示：区域Ⅰ的面积 ；区域Ⅱ的面积 ．
任务2 拟定方案 为了美观，拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是含边的三角形，求所有方案中乙的面积或者函数表达式．
任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内（包括两端）的整数时，此时的点为最佳定位点，请写出所有的最佳定位点的坐标．
【解答】解：任务
，
区块Ⅰ的面积：．
，，
，
区块Ⅱ的面积：．
区块Ⅲ的面积：．
任务2：①如图1若连接，
，
不可能为等腰三角形，
，
为等腰三角形，
．
②如图2连接，，则为的中点，
．
任务
且面积范围为，
结合函数图象得整数解为，这两个的定位坐标满足题意．
有2个最佳定位点，分别为，．
故答案为：任务1：区块Ⅰ的面积：，区块Ⅱ的面积：，区块Ⅲ的面积：；
任务或；
任务3：有2个最佳定位点，分别为，．
18．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．
素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元．
素材3 已知明信片的进价为5元套，吉祥物钥匙扣的进价为18元个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额．
问题解决
任务1 假设明信片的售价为元套，钥匙扣的售价为元个，请协助解决右边问题． 问： （用含的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
【解答】解：任务
一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，
；
故答案为：；
任务
小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，
，
解得，
，
答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；
任务
设购买吉祥物钥匙扣个，明信片张，
根据题意得：，
，
，是非负整数，
或或或或或，
吉祥物钥匙扣每件利润为（元，明信片每张利润为（元，
购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60张，商家获利300元；
购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张，商家获利270元；
购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36张，商家获利240元；
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24张，商家获利210元；
购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12张，商家获利180元；
购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0张，商家获利150元；
答：可行的购买方案有：购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60张或购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张，或购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36张或购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24张或购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12张或购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0张；其中购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60张商家获利最高．
19．根据以下素材，探索完成任务．
如何设置“绿波带”？
素材1：某市为新路段设置“绿波带”，车辆驶入绿波带后，若以一定速度行驶，到达下个路口时会遇到
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