华师大版2023-2024九年级上期末模拟试题2（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
华师大版2023-2024九年级上期末模拟试题2
考试范围：九上-九下26章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列运算正确的是（　　）
A．x﹣x＝ B．a3 （﹣a2）＝﹣a6
C．（﹣1）（+1）＝4 D．﹣（a2）2＝a4
关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥3
如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（　　）
A． B． C． D．
△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos∠A的值为（　　）
A． B． C． D．
下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　）
A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日
C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意
随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）
A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝2，则BC的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（﹣6，3） C．（﹣2，7） D．（﹣2．﹣1）
如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，则小车上升的高度是（　　）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是（ ）
A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　）
A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）
A． B． C．
1 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_________．
请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是　　　　　　．
B．运用科学计算器计算：3sin73°52′≈　　　　　　．（结果精确到0.1）
在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 　 　．
银杏著名的活化石植物， 其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的标分别为（﹣3，2），（4，3），将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为 　 　．
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则＝　 　．
在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 　 　．
1 、解答题（本大题共8小题，共66分）
计算：2sin30°+3﹣1+（﹣1）0﹣．
(1)计算：﹣+×
(2)解方程：3x(x+4)＝2(x+4)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣4，﹣1），C（﹣4，﹣4）．
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）作出点A关于x轴的对称点A′，若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），求a的取值范围．
如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
永州植物园“清风园”共设11个主题展区．为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．
（1）参观的学生总人数为　 　人；
（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为　 　；
（3）补全条形统计图；
（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为　 　．
如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．
（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）延长PC，QD交于点R．
①如图1，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．
如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．
（1）填空：∠AMB＝　 　度，∠BCM＝　 　度，
（2）求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号），
（3）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
答案解析
1 、选择题
【考点】合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，二次根式的混合运算
【分析】根据合并同类项法则判断A，根据单项式乘单项式的法则判断B，根据平方差公式以及二次根式的性质判断C，根据幂的乘方法则判断D．
解：A．x﹣x＝x，故本选项错误，
B、a3 （﹣a2）＝﹣a5，故本选项错误，
C、（﹣1）（+1）＝5﹣1＝4，故本选项正确，
D、﹣（a2）2＝﹣a4，故本选项错误，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的运算，整式的运算，掌握合并同类项法则、单项式乘单项式的法则、幂的乘方法则、平方差公式以及二次根式的性质是解题的关键．
【考点】根的判别式
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根可得△=（﹣2）2﹣4m＞0，求出m的取值范围即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4m＞0，
∴m＜3，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出＝，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出结论．
解：∵DE∥BC，
∴＝＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．
【考点】解直角三角形．
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论．
解：在△ABC中，
∵a＝6，b＝8，c＝10，a2+b2＝62+82＝36+64＝100，c2＝100．
∴a2+b2＝c2．
∴△ABC是直角三角形．
∴cosA＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理及逆定
理是解决本题的关键．
【考点】随机事件．
【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
解：A．水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误；
B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误；
C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误；
D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得出方程．
解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8，
故选C．
【点评】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．　
【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵DE＝2，
∴BC＝4，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】把点（﹣2，3）的横坐标加4，纵坐标不变得到点（﹣2，3）平移后的对应点的坐标．
解：点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（2，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度，如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．[来%@源&:^中~教网]
解：如图AC=13，作CB⊥AB，
( http: / / www. / " \o "中国教育出版网\" )
∵cosα==，
∴AB=12，
∴BC==132﹣122=5，
∴小车上升的高度是5m．
故选A．
【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】由图像判断出a<0，b>0，c>0，即可判断①；根据b=-2a可判断②；根据当x=-1时函数值小于0可判断③；根据当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c即可判断④；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且b=-2a，即a=，代入9a+3b+c<0可判断⑤．
解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴x==1>0，
∴b=-2a，
∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，①错误；
∵b=-2a，
∴b-2a=-2a-2a=-4a>0，②错误；
由图像可得当x=-1时，y=a-b+c<0，③错误；
当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，
当x=n时，y=an2+bn+c，
a+b+c>an2+bn+c，
即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④正确；
当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，
∵b=-2a，即a=，
代入9a+3b+c<0得9（）+3b+c<0，
+c<0，
-3b+2c<0，即2c<3b，⑤正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线图像和二次函数系数之间的关系，熟知抛物线图像和二次函数系数之间的关系是解题关键．
【考点】一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点
【分析】如图，解方程﹣x2+x+6=0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线 y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．
解：如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），
即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线 y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；
当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6，
所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
【考点】相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理
【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键．
1 、填空题
【考点】一元二次方程的定义，根的判别式
【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得．
解：由题意得：这个方程是一元二次方程
解得
又关于的方程有两个实数根
此方程的根的判别式
解得
综上，m的取值范围是且
故答案为：且．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，理解题意，掌握一元二次方程的定义与根的判别式是解题关键．
【考点】计算器—三角函数；近似数和有效数字；计算器—数的开方；多边形内角与外角．
【分析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3和sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果．
解：（1）∵正多边形的外角和为360°
∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8
（2）3sin73°52′≈12.369×0.961≈11.9
故答案为：8，11.9
【点评】本题主要考查了多边形的外角和以及近似数，解决问题的关键是掌握多边形的外角和定理以及近似数的概念．在取近似值时，需要运用四舍五入法求解．　
【考点】概率公式．
【分析】直接由概率公式求解即可．
解：从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转，坐标确定位置．
【分析】先根据B、C两点的坐标建立平面直角坐标系，再作出点A绕原点O顺时针旋转90°所得的对应点，即可求解．
解：如图，建立平面直角坐标系，那么点A的坐标为（﹣1，﹣3），
作出点A绕原点O顺时针旋转90°所得的对应点A′，
则点A′的坐标为（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，掌握旋转的性质，作出点A绕原点O顺时针旋转90°所得的对应点是解题的关键．
【考点】旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形．
【分析】连接AD，过点D作DG⊥AC于点G，由旋转的性质可得AC＝CD，∠ACD＝60°，得到△ACD为等边三角形，由等边三角形三线合一可知AG＝CG＝，再设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a，易得DG＝，△ABE∽△GDE，由相似三角形的性质可得，即AE＝GE，由AE+GE＝AG＝a可求出GE＝，AE＝，利用勾股定理求出DE，以此即可求解．
解：如图，连接AD，过点D作DG⊥AC于点G，
∵将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∵DG⊥AC，
∴AG＝CG＝，
设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a，
在Rt△ADG中，DG＝＝，
∵∠BAE＝∠DGE＝90°，∠AEB＝∠GED，
∴△ABE∽△GDE，
∴，即，
∴AE＝GE，
∵AE+GE＝AG＝a，
∴GE+GE＝a，
解得：GE＝，
∴AE＝，
在Rt△DGE中，DE＝＝，
∴＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键正确作出辅助线，构造相似三角形解决问题．
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．
解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，
当x＝0时，y＝2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，
当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，
16m﹣8m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），
当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，
m+2m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），
当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，
2﹣m＝﹣1，
解得：m＝3，
当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，
16m﹣8m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣，
当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，
m+2m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1，
综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，
故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．
【点评】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
1 、解答题
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简进而求出答案．
解：2sin30°+3﹣1+（﹣1）0﹣
=2×++1﹣2
=．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、乘方、绝对值等考点的运算．
【考点】二次根式的混合运算，解一元二次方程
【分析】(1)先化简二次根式，二次根式乘法运算，然后计算加减法；
(2)先移项，再用因式分解即可.
解：(1)原式＝﹣+2＝；
(2)由原方程，得
(3x﹣2)(x+4)＝0，
所以3x﹣2＝0或x+4＝0，
解得x1＝，x2＝﹣4．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算和方程求解，熟练掌握因式分解和化简是解题的关键.
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．
【分析】（1）分别作出点A．B、C关于原点O成中心对称的对应点，顺次连接即可得；
（2）由点A′坐标为（﹣2，2）可知要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移4个单位，最多平移6个单位，据此可得．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）∵点A′坐标为（﹣2，2），
∴若要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移4个单位，最多平移6个单位，即4＜a＜6．
【点评】本题主要考查作图-中心对称和轴对称、平移，熟练掌握中心对称和轴对称、平移变换的性质是解题的关键．
【考点】一元二次方程的应用，二次函数的应用
【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；
（2）设AD=xm，利用矩形面积得到S=x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a2．
解：（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，
根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45，
当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；
当x=45时，100﹣2x=10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD=xm，
∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．
【点评】本题考查了二次函数的应用:解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值,实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围　
【考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【分析】（1）依据最喜欢“和文化”的学生数以及百分比，即可得到参观的学生总人数；
（2）依据最喜欢“瑶文化”的学生数，即可得到其占参观总学生数的百分比；
（3）依据“德文化”的学生数为40﹣12﹣8﹣10﹣6=4，即可补全条形统计图；
（4）设最喜欢“德文化”的4个学生分别为甲乙丙丁，画树状图可得最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率．
解：（1）参观的学生总人数为12÷30%=40（人）；
（2）喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为×100%=15%；
（3）“德文化”的学生数为40﹣12﹣8﹣10﹣6=4，条形统计图如下：
（4）设最喜欢“德文化”的4个学生分别为甲乙丙丁，画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，甲同学被选中的有6种情况，
∴甲同学被选中的概率是：=．
故答案为：40；15%；．
【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图，树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，推出四边形ODEC是平行四边形，于是得到∠OCE=∠ODE，根据等腰直角三角形的定义得到∠PCO=∠QDO=90°，根据等腰直角三角形的性质得到得到PC=ED，CE=DQ，即可得到结论
（2）①连接RO，由于PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，得到AP=OR=RB，由等腰三角形的性质得到∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，根据四边形的内角和得到∠CRD=30°，即可得到结论；
②由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，推出∠PEQ=∠ACR=90°，证得△PEQ是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到ARB=∠PEQ=90°，根据四边形的内角和得到∠MON=135°，求得∠APB=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，
∴DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴∠OCE=∠ODE，
∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO=∠ODQ=∠EDQ，
∵PC=AO=OC=ED，CE=OD=OB=DQ，
在△PCE与△EDQ中，，
∴△PCE≌△EDQ；
（2）①如图2，连接RO，
∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，
∴AP=OR=RB，
∴∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，
∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，
∴∠CRD=30°，
∴∠ARB=60°，
∴△ARB是等边三角形；
②由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，
∴∠PEQ=∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ=∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE=∠ACE﹣∠RCE=∠ACR=90°，
∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB=∠PEQ=90°，
∴∠OCR=∠ODR=90°，∠CRD=∠ARB=45°，
∴∠MON=135°，
此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB=90°，
∴AB=2PE=2×PQ=PQ，∴ =．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．　
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】（1）先说明AB∥CM，再利用外角与内角的关系、平行线的性质得结论，
（2）先利用等腰三角形的性质先说明BM与AB的关系，再在Rt△EBM中利用直角三角形的边角间关系得结论，
（3）先说明四边形DEMC是矩形，再利用等腰三角形的性质、直角三角形的边角间关系得结论．
解：分别过点C、M，作CD⊥AB，ME⊥AB，垂足分别为D、E．
（1）∵∠DBM＝∠A+∠AMB＝60°，∠A＝30°，
∴∠AMB＝30°．
∵AB、CM都是正北方向，
∴AB∥CM．
∵∠DBC＝45°，
∴∠BCM＝45°．
故答案为：30，45．
（2）由（1）知∠A＝∠AMB，
∴AB＝BM＝20海里．
在Rt△EBM中，
sin∠EBM＝，
∴EM＝sin∠EBM BM
＝sin60°×20
＝×20
＝10（海里）．
答：灯塔M到轮船航线AB的距离为10海里．
（3）∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB、CM都是正北方向，
∴四边形DEMC是矩形．
∴CD＝EM＝10海里，DE＝CM．
在Rt△CDB中，
∵∠DBC＝45°，
∴∠DBC＝∠DCB．
∴DB＝DC＝10海里．
在Rt△EMB中，
cos∠DBM＝，
∴EB＝cos∠DBM BM
＝cos60°×20
＝×20
＝10（海里）．
∴CM＝DE＝DB﹣EB
＝10﹣10
＝10（﹣1）海里．
答：港口C与灯塔M的距离为10（﹣1）海里．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解决本题的关键．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
得，
解之得：，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．
【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)