13.4 最短路径问题
学习目标：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用；
3、能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想
【引】如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短。
【探】如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短。
【证】你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
【练】
1、如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两地供气。泵站修在管道的什么 位置，可使新建的输气管道最短？请画出新建管道的最短路径。
2、如图，完成：
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1
（2）在x轴上找一点P，使得△PAC周长最小。
3、如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5 B．5
C．4 D．不能确定(共16张PPT)
最多
最短路径问题
最长
最高
最矮
最短
最少
最值问题
第13章 轴对称
13.4最短路径问题
初中数学人教版八年级上册
温：
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
A
B
①
②
③
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
②最短，因为两点之间，线段最短
引：
如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短。
探：
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
抽象成
实际问题
探：
如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短。
成：
如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短。
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
证：
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
（A、B在直线l同侧）
明：
实际
问题
数学
问题
解决
问题
证明
最短
建模
应用
练：
1、如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两地供气。泵站修在管道的什么位置，可使新建的输气管道最短？请画出新建管道的最短路径。
练：
2、如图，完成：
（1）在图中作出△ABC关于
x轴的对称的图形△A1B1C1；
（2）在x轴上找一点P，使得
△PAC周长最小。
练：
3、 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5 B．5
C．4 D．不能确定
归纳：1.本节课探究将军饮马问题的基本过程是什么
2.轴对称在探究问题中起什么作用
结：
归纳：1.本节课探究牧马人饮马的问题的基本过程是什么
2.轴对称在探究问题中起什么作用
抽象成数学问题
联想旧知
借助于轴对称
解决实际问题
用旧知解决新问题
A
B
l
作业1：基础巩固作业（必做题）
课后作业
作业1：基础巩固作业（必做题）
1、如图，P、Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点M，使得PM+MQ最短。
作业1：基础巩固作业（必做题）
课后作业
如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接客，然后将游客送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径。
作业2：能力发展作业（必做题）
作业1：基础巩固作业（必做题）
课后作业
作业3：拓展探究作业（选做题）
如图，如果牧马人从马棚P出发，先赶到河岸OA上的某一位置M，再马上赶到河岸OB上的某一位置N，然后立即返回校场Q。请为牧马人设计一条路径（即选择M和N），使总路程PM+MN+NQ最短。13.4课题学习 最短路径问题(第1课时)
三江中学 崔兴菊
一、内容和内容解析
1、教学内容
最短路径问题 是人教版八年级上册第十三章第4节第1课时的内容.本节课的主要内容是解决由“牧马人饮马问题”引出的数学问题“两点在直线同侧求最短路径”.
2、教学内容解析
本节课是在学生学习了轴对称的知识以及“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等知识的基础上，展开了本节课的求最短路径问题，这节课是轴对称知识的一个很好的应用，进一步巩固了轴对称的知识，使轴对称知识更加灵活，并在学生头脑中打下扎实的基础。
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”(或“三角形两边之和大于第三边”)问题.
3、教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短问题”.
二、教学目标及其解析
1、教学目标：
（1）理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。
（2）能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
（3）通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2、目标解析：
要求学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能另选一点，通过比较、逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
三、学生学情分析
八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学的意识比较薄弱，此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一些数学知识，但在数学的说理上还不规范，演绎推理能力有待加强。
学生已经储备了轴对称知识和“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”的相关知识，但是对于知识的运用比较抵触，不知道如何处理问题，所以本节课我们就加强知识的灵活应用和强化解决新问题的思想方法，使学生真正的强大，不仅仅是光有知识，而是既有知识又有思想和能力的强大型人才，为了使学生真正掌握本节课的方法，我还特别设计了不同的例题以及一些拓展型题目，但是，不管什么样的题目，方法总是相似的，不同的问题，相似的方法，提高学生的理性思维，学生学习数学的能力越来越强。
教学难点：
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
难点突破的方法：
两点在直线同侧求最短路径时，我们用轴对称变换把线段的长度不变，位置给改变，然后把所求线段和的最小值问题，转化成两点之间，线段最短。
教学策略分析
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此之前很少接触最值问题，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
解答“当A,B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C,使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。
教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l上的点的和最小”为学生搭建桥梁，在证明“最短”时，教师要适当点拔学生，让学生体会任意的作用。
五、教学过程设计
13.4课题学习 最短路径问题(第1课时)
一、复习回顾,引出新内容
复习1：如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
答：路线2最短，因为两点的所有连线中，线段最短。简称：两点之间，线段最短。
复习2：点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
答：PC最短，因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
设计意图:复习“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”，为最短路径问题做好铺垫。通过识别。也让学生有动态的思想，在比较中，找到最短路径。
师：刚刚的两个问题都是识别最短路径问题，接下来，我们尝试通过画图，找到最短路径。
二、探究
（一）探究两点在直线异侧的最短路径问题
如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短。
（二）情境抽象，模型产生（探究两点在直线同侧的最短路径问题）
如图，牧马人从城堡出发，到一条笔直的河边饮马，然后回到军营。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C
1.你能将这个问题抽象为数学问题吗
设计意图:让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小”问题
2.解决数学问题：（联想旧知，解决问题）
点A，B在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在直线l上的什么位置时，AC与CB的和最小？
教师可提示：
设想如果点A与点B在直线l异侧，应该怎样找到点C的位置。
如何将点B“移”到l的另一侧B'处，并且直线l上的任意一点C，
都有CB=CB'
你能利用轴对称的知识找出（2）中的点B'吗？
（4）对于（2）（3），学生独立思考后，尝试画图
得出结论：只要做出点B关于l的对称点，就可以满足CB=CB'，再利用（1）的方法，连接AB'，AB'与直线l的交点即为所求。
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C． C
则点C 即为所求．
B′
设计意图：通过搭建台阶，为学生探究问题提供脚手架，将同侧难于解决的问题转化为异侧容易解决的问题。
3、证明AC+BC最短：
证明： 在直线l上任取一点C'（与点C不重合），连接AC'. BC’. B’C’
由轴对称的性质知，BC=B’C, BC’=B’C’.
所以AC+BC=AC+CB'=AB'， AC'+BC'=AC'+B’C’.
在△AB’C’中，AB'
所以AC+BC 即AC+BC最短.
教师提出问题证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C'（与点C不重合），证明AC+BC 设计意图：通过证明让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力。
三、小试牛刀，巩固新知
1、如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两地供气。泵站修在管道的什么 位置，可使新建的输气管道最短？请画出新建管道的最短路径。
2、如图，完成：
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1
（2）在x轴上找一点P，使得△PAC周长最小。
3、如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5 B．5
C．4 D．不能确定
设计意图：第1题是直接应用模型画图，让学生巩固刚学的新知识；第2题结合网格作图让学生自己动手画图，将三角形周长的问题转化为两定点在直线同侧的模型问题；第三题是利用等边三角形的轴对称性，将求线段和的问题转化为求某一线段的长，再一次应用模型的问题。
四、归纳：
1.本节课探究将军饮马问题的基本过程是什么
2.轴对称在研究问题中起了什么作用？
设计意图：充分发挥学生的主体地位，由学生归纳总结，反思，提高学生的概括表达能力。
五、课后作业：
1、基础巩固作业：
如图，P、Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点M，使得PM+MQ最短。
2、能力发展作业：
如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接客，然后将游客送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径。
3、拓展探究作业
如图，如果牧马人从马棚P出发，先赶到河岸OA上的某一位置M，再马上赶到河岸OB上的某一位置N，然后立即返回校场Q。请为牧马人设计一条路径（即选择M和N），使总路程PM+MN+NQ最短。
设计意图：1题是直接应用模型作图；2题将三角形周长的问题转化为两定点在直线同侧的模型问题；1、2题均属于“两定一动模型”；3题是“”两定点两动点”问题，设计这组课后作业的主要目的是促使学生巩固和消化课堂上所学的知识和技能，深刻理解和掌握课堂上老师传授的数学思想方法，并能运用它解决数学问题，同时也拓展了学生的思维。