云县2023-2024学年高一上学期1月月考 数学试卷
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．若，且，则（ ）.
A． B．或0 C．或1或0 D．或或0
2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是（ ）
A．不存在实数x，使x≤1 B．对任意实数x，都有x≤1
C．存在实数x，使x≤1 D．对任意实数x，都有x>1
3．不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
4．“x0”是“x20”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
5．函数f(x)＝ 的单调递增区间是（ ）
A.(—∞，-1) B.(-1，+∞) C.(—1，1) D.(—3，—1)
6．已知定义在上的函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
8.已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．关于函数的零点，下列选项说法正确的是（ ）
A．是的一个零点
B．在区间内存在零点
C．至少有2零点
D．的零点个数与的解的个数相等
10．下列函数既是偶函数，又在区间内单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数是奇函数，下列选项正确的是（ ）
A．
B．是单调递增函数
C．是单调递减函数
D．不等式的解集为
12．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．，，且，则ab的最小值为 ．
14．若扇形的弧长为8，圆心角为，则扇形的面积为 .
15．已知函数f(x)=(m>0,且m≠1)的图像恒过定点P，角的终边过点P，则 ；
16．已知函数（且），若对，，都有．则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算骤.）
17．（1）已知角终边上一点，求的值；
（2）已知==20，求 + 的值。
18．已知集合，．
(1)若，求；
(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
19． 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值及函数单调递增区间；
（2）求在区间上的最值.
20．设函数，其中a为常数．
(1)若对任意，，当时，，求实数a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求在区间[1，3]上的最小值，并求的最小值．
21．某企业为抓住环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足台时，万元，当年产量不少于台时，万元．若每台设备的售价为万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．
(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
22.定义在上的函数满足：对任意的，都有.
（1）求证：函数是奇函数；
（2）若当时，有，求证：在上是减函数；
（3）在（2）的条件下，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.2024年1月月考数学参考答案：
1．B
【分析】利用条件，得或，求解之后进行验证即可．
【详解】解：因为，，
若，则或，解得x＝2或 2或1或0．
①当x＝0，集合A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足．
②当x＝1，集合A＝{1，4，1}，不成立．
③当x＝2，集合A＝{1，4，2}，B＝{1，4}，满足．
④当x＝ 2，集合A＝{1，4， 2}，B＝{1，4}，满足．
综上，x＝2或 2或0． 故选：B．
【点睛】本题主要考查集合关系的应用，考查分类讨论的思想，属于基础题．
2．B 【详解】特称命题的否定是全称命题，
命题“存在实数x，使x>1”的否定是：对任意实数，．故选：B．
3．A
【分析】由不等式的解集为，得到是方程的两个根，由根与系数的关系求出，即可得到答案．
【详解】由题意，可得不等式的解集为，
所以是方程的两个根，
所以可得，，
解得，，所以， 故选：A．
4．A
5．C
6．C
【分析】根据指数，对数函数性质可比较的大小，再利用的单调性可得解.
【详解】∵，
又，，
而，，
且函数在上单调递减，∴． 故选：C.
7．D
【分析】以为整体，结合诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
8．B
【分析】先判断函数的奇偶性，再利用特殊值排除可得答案.
【详解】因为，所以，
即函数为偶函数，排除C,D；
因为，所以排除A； 故选：B.
9．BCD
【分析】根据零点的定义和零点存在定理，结合选项逐个判断.
【详解】因为，所以是的一个零点，A不正确；
因为，，
所以在区间内存在零点，B正确；
令，得，
因为方程的判别式，且不是的根，
所以有3个零点，C正确；
由零点的定义可知D也是正确的. 故选：BCD.
10．AB
【分析】根据函数奇偶性的定义以及复合函数的单调性性质可判断A；根据函数奇偶性的定义以及函数的单调性性质可判断B；根据函数奇偶性可判断C；根据函数单调性取特殊值可判断D.
【详解】对于A，设，定义域为，
满足，即为偶函数；
当时，为增函数，为增函数，
故在区间内单调递增，A正确；
对于B，设，定义域为R，满足，
即为偶函数；
当时，为增函数，B正确；
对于C，为奇函数，不合题意， C错误；
对于D，设，定义域为，
满足，即为偶函数，
当时，不妨取，此时无意义，
故在区间内不具有单调性，D错误，
故选：AB
11．ACD
【分析】先根据奇函数求出参数，根据的单调性可得的单调性，根据奇偶性和单调性可求的解.
【详解】因为是奇函数，所以；
即，解得，A正确；
因为为增函数，且，所以为减函数，
所以是单调递减函数，B不正确，C正确；
因为是奇函数，所以不等式等价于不等式，
因为是单调递减函数，所以，解得，D正确.
故选：ACD.
12．ABD
【分析】考虑角 所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可.
【详解】由 …①，以及 ，
对等式①两边取平方得 ， …②，
，，由②， ，
由①② ， 可以看作是一元二次方程 的两个根，
解得 ， ，
故A正确，B正确，C错误，D正确； 故选：ABD.
13．36
【分析】利用基本不等式以及不等式的性质求解.
【详解】因为，，所以，
即，解得，
当且仅当时，即时，取等号.
故答案为：36.
14．8
【分析】由弧长公式求出扇形的半径，再由扇形的面积公式求解即可.
【详解】解：
. 故答案为：8
15．
16.
【分析】由条件可知函数是增函数，可得分段函数两段都是增函数，且时，满足，由不等式组求解即可.
【详解】因为对，且都有成立，
所以函数在上单调递增.
所以，解得.
故答案为：
解答题
17．（1）；（2）（10分）
【分析】（1）根据三角函数定义求出，再结合诱导公式化简求得结果；
（2）根据分数指数幂、零指数幂，以及对数的运算法则、换底公式求得结果.
【详解】（1）由角终边上一点，得，
故.
（2）解：
.
18．(1) (2)答案见解析（12分）
【分析】（1）分别求出集合和集合，求并集即可；
（2）选①，根据集合和集合的位置在数轴上确定端点的关系，列出不等式组即可求解，
选②，先求出，再根据条件在数轴确定端点位置关系列出不等式组即可求解，
选③，得到，根据数轴端点位置关系列出不等式组即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，所以．
（2）若选①：则满足或，
所以的取值范围为或．
若选②：所以或，
则满足，所以的取值范围为．
若选③： 由题意得，
则满足
所以的取值范围为
19．（12分）【分析】（1）根据周期确定，代入计算得到答案.
单调增区间，取，解得答案.
（2）确定，根据正弦函数性质计算得到答案.
【小问1详解】
的最小正周期为，则，，
，；
取，解得，
故单调递增区间为；
【小问2详解】
，则，
当，即时，；
当，即时，；
故的最大值为，最小值为.
20（12分）．(1)
(2)，的最小值为－36.
【分析】(1)结合已知条件可知在定义域上为增函数，然后结合一元二次函数和一次函数的性质即可求解；(2)结合(1)的结论，对参数分类讨论并结合一元二次函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为的对称轴为，且开口向上，
由题意可知，函数在定义域上为增函数，
则实数a应满足，解得，
故实数a的取值范围为.
（2），其图像的对称轴为直线，且开口向下，
由(1)得，
①当，即时，，
因为在上单调递减，
此时；
②当，即时，在上单调递减，
此时，
综上所述，，且的最小值为－36．
21．（12分）(1)；
(2)当年产量为台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为万元．
【分析】（1）分别在和两种情况下，由可得函数关系式；
（2）利用二次函数性质、基本不等式可分别求得和时的最大值，比较即可得到结果.
【详解】（1）当，时，
；
当，时，
；
综上所述：.
（2）当，时，，
则当时，的最大值为；
当，时，
（当且仅当，即时等号成立）；
当年产量为台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为万元．
22（12分）【分析】（1）计算，取计算得到，得到证明. （2）设，计算，确定，得到证明. （3）根据奇函数和单调性确定，变换得到，根据解得答案.
【小问1详解】
取，则，即，
取，则，，故函数为奇函数；
【小问2详解】
设，，
，故，，
且，即，，
故，即，函数在上单调递减，
又在上为奇函数，，故在上减函数；
【小问3详解】
，，故，即，
不等式对恒成立，故，解得.
答案第1页，共2页
