二次函数y=ax2的图象和性质》学案
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《二次函数y=ax2的图象和性质》学案
1． 温顾而知新：
（1）正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么
（2）一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么
（3）反比例函数y= （k ≠ 0） 的图象是什么？
回忆：我们以前是怎么画出反比例函数的图象的？
用 法：分 ， ， 三个步骤。而二次函数的图象又是什么呢？下面我们将同样用描点法画出二次函数y=x2与y=-x2的图象：
2． 知识要点：
（1）画二次函数的图象
请你用描点法在下面的方格图中画出下列函数的图象
(1)y=x2 (2)y=2x2 (3)y=--x2
观察我们所画的图象，我们可以发现二次函数的图象像我们生活中抛物体时形成的曲线。因此我们把它叫做 它有 条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫抛物线的 。
※学以致用：
1.函数y= x2的图像叫 它开口向
对称轴是 顶点坐标为
2.若抛物线y=ax2 (a ≠ 0)，过点（-1，3）。
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 。
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的 (填“最高点”或“最低点”)。
（2）二次函数y=ax2的性质：
观察y=x2与y=-x2的图象，完成下表：
函数 y=ax2 y=-ax2
顶点坐标
对称轴
开口方向
函数的变化
极值
※ 学以致用
1． 据你画好的函数图象填空：
1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在对称轴的 侧，y随着x的增大而 ；在对称轴的 侧，y随着x的增大而减小，当x= 时，函数y的值最小，最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。
2）抛物线y=--x2 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x= 时，函数y的值最大，最大值是 ，当x 0时，y<0.
2．不画图象，说出抛物线y=-4x2和y=x2的对称轴、顶点坐标和开口方向。
※课堂练习：
3．二次函数y=(2a—1)x2若函数图象开口向上，那么a的取值范围是多少？若函数图象开口向下，那么a的取值范围是多少？
4.函数y= mx2的图象如图所示，则m 0在对称轴左侧，y随x增大而 ，在对称轴右侧，y随x增大而 ，顶点坐标 函数有最 值是
5．已知y=（k+2）x 是二次函数，且当x>0时,y随X增大而增大，则k=
6．根据抛物线y= x2 的图象回答下列问题：
（1）请说出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x取何值时函数有最值，最值是多少？
（3）在对称轴左侧，y随x的增大怎样变化？
（4）若x1>x2>0,请比较的y1,y2大小
※变式练习
7．若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），是一条不经过第一，二象限的抛物线，则a 0（填“>”，“<”或“=”）
8．在同一平面直角坐标系中，抛物线y=4x2 ， y= x2， y= x2的共同特点是（ ）
A。关于y轴对称，抛物线开口向上
B。关于y轴对称，y随x的增大而增大
C。关于y轴对称，y随x的增大而减小
D。关于y轴对称，抛物线顶点在原点
9、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
3． 拓展知识点：
①抛物线y=ax2的开口大小与a的关系 开口大小由 大小决定， 越大， 抛物线的开口越窄； 越小，抛物线的开口越宽。
※拓展练习1：
1.抛物线y= x2， y= –2x2， y= –x2的图象开口最大的是（ ）
（A） y= x2 （B） y= –2x2
（C）y= –x2 （D）无法确定
2.己知二次函数y甲=mx2与y乙=nx2 对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m,n的关系正确的是( )
(A)m0,n<0
(C)m<0,n>0 (D)m>n>0
（2）根据抛物线y=ax2的对称性解题
抛物线y=ax2的每一个y（除y=0）值都有 x值与它对应 ，且这两个值
※拓展练习2：
3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是 （ ）
A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。
B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。
C 对任一个实数y，有两个x和它对应。
D 对任意实数x，都有y＞0
综合提高：
※某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．
(1)以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线的解析式；
(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）
1． 温顾而知新：
（1）正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么
（2）一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么
（3）反比例函数y= （k ≠ 0） 的图象是什么？
回忆：我们以前是怎么画出反比例函数的图象的？
用 法：分 ， ， 三个步骤。而二次函数的图象又是什么呢？下面我们将同样用描点法画出二次函数y=x2与y=-x2的图象：
2． 知识要点：
（1）画二次函数的图象
请你用描点法在下面的方格图中画出下列函数的图象
(1)y=x2 (2)y=2x2 (3)y=--x2
观察我们所画的图象，我们可以发现二次函数的图象像我们生活中抛物体时形成的曲线。因此我们把它叫做 它有 条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫抛物线的 。
※学以致用：
1.函数y= x2的图像叫 它开口向
对称轴是 顶点坐标为
2.若抛物线y=ax2 (a ≠ 0)，过点（-1，3）。
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 。
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的 (填“最高点”或“最低点”)。
（2）二次函数y=ax2的性质：
观察y=x2与y=-x2的图象，完成下表：
函数 y=ax2 y=-ax2
顶点坐标
对称轴
开口方向
函数的变化
极值
※ 学以致用
1． 据你画好的函数图象填空：
1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在对称轴的 侧，y随着x的增大而 ；在对称轴的 侧，y随着x的增大而减小，当x= 时，函数y的值最小，最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。
2）抛物线y=--x2 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x= 时，函数y的值最大，最大值是 ，当x 0时，y<0.
2．不画图象，说出抛物线y=-4x2和y=x2的对称轴、顶点坐标和开口方向。
※课堂练习：
3．二次函数y=(2a—1)x2若函数图象开口向上，那么a的取值范围是多少？若函数图象开口向下，那么a的取值范围是多少？
4.函数y= mx2的图象如图所示，则m 0在对称轴左侧，y随x增大而 ，在对称轴右侧，y随x增大而 ，顶点坐标 函数有最 值是
5．已知y=（k+2）x 是二次函数，且当x>0时,y随X增大而增大，则k=
6．根据抛物线y= x2 的图象回答下列问题：
（1）请说出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x取何值时函数有最值，最值是多少？
（3）在对称轴左侧，y随x的增大怎样变化？
（4）若x1>x2>0,请比较的y1,y2大小
※变式练习
7．若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），是一条不经过第一，二象限的抛物线，则a 0（填“>”，“<”或“=”）
8．在同一平面直角坐标系中，抛物线y=4x2 ， y= x2， y= x2的共同特点是（ ）
A。关于y轴对称，抛物线开口向上
B。关于y轴对称，y随x的增大而增大
C。关于y轴对称，y随x的增大而减小
D。关于y轴对称，抛物线顶点在原点
9、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
3． 拓展知识点：
①抛物线y=ax2的开口大小与a的关系 开口大小由 大小决定， 越大， 抛物线的开口越窄； 越小，抛物线的开口越宽。
※拓展练习1：
1.抛物线y= x2， y= –2x2， y= –x2的图象开口最大的是（ ）
（A） y= x2 （B） y= –2x2
（C）y= –x2 （D）无法确定
2.己知二次函数y甲=mx2与y乙=nx2 对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m,n的关系正确的是( )
(A)m
(C)m<0,n>0 (D)m>n>0
（2）根据抛物线y=ax2的对称性解题
抛物线y=ax2的每一个y（除y=0）值都有 x值与它对应 ，且这两个值
※拓展练习2：
3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是 （ ）
A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。
B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。
C 对任一个实数y，有两个x和它对应。
D 对任意实数x，都有y＞0
综合提高：
※某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．
(1)以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线的解析式；
(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）