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公27世纪载自
⊙3线段的垂直平分线
学习泪标
1.掌握线段垂直平分线的性质定理、判定定理
以及三角形三条边的垂直平分线的性质，并能运
用它们进行有关的计算和证明。
2.能够利用尺规作出已知线段的垂直平分线.已
回在△ABC中，已知
知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三
CD是线段BA的垂直
角形.
平分线，那么点C到点
温故知新
A,点B的距离是否
相等？
1.线段的中点：把一条线段分成相等的两条线段的
点叫做线段的中点。
2.直角三角形全等的判定方法：SSS,ASA,AAS
SAS,HL.
课堂直播间
造念免所不能的你
线段垂直平分线的性质定理及
状元说
(1)此性质是证明两条线段相等的
其逆定理
常用方法之一
(2)到线段两个端点的距离不相等的点一
定理：线段垂直平分线上的点
定不在这条线段的垂直平分线上
到这条线段两个端点的距离相等，
如图所示，直线CD⊥AB于
线段的垂直平分线上的任意一
点C,且C为线段AB的中点，则
点到线段两个端点的距离相等.反
直线CD是线段AB的垂直平分
过来，到一条线段两个端点距离相
线，M是直线CD上任意一点，则
等的点，在这条线段的垂直平分线
MA-MB.
上.这是线段垂直平分线性质定理
0
的逆定理，同时也是线段垂直平分
M
线的判定定理，
线段的轴对称性：在平面上任
28〡配北师大版数学八年级下
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意画一条线段，沿它的垂直平分线
分析连接BD.由到线段两个端点
将该线段对折后，线段中点两旁的
距离相等的点在这条线段的垂直平
部分一定可以互相重合，所以线段
分线上，得直线AC垂直平分线段
是轴对称图形，它的对称轴是这条
BD,然后即可求证.
线段的垂直平分线。
证明3(1)连接BD,如图示，
例①(2022·内蒙古鄂尔多斯中考)】
.'AB=AD,
如图，在△ABC中，边BC的垂直平
.点A在线段BD的垂直平分
分线DE交AB于点D,连接DC,若
线上
AB=3.7,AC=2.3,则△ADC的周
.BC=DC,
长是
.点C在线段BD的垂直平分线上
两点确定一条直线，
∴.直线AC是线段BD的垂直平分线，
又点E在AC上，BE=DE
(2)在△ABE和△ADE中，
解析，边BC的垂直平分线DE交
AB-AD.
AB于点D,
.BE=DE,
.'.BD=CD.
AE-AE,
AB=3.7,AC=2.3,
∴.△ABE≌△ADE(SSS),
.·△ADC的周长为AD+CD+AC
∴.∠ABE=∠ADE.
=AB+AC=6.
故答案为6.
6
解题有妙招欲证线段相等，可通过证明
三角形全等或用线段垂直平分线的性质定理
例②如图所示，AB=AD,BC=DC,
得到，本题综合运用线段的垂直平分线的性
点E是AC上的一点.求证：
质定理和性质定理的逆定理得出BE=DE,再
证明三角形全等，得到对应角相等，
【即学即试】见P33各个击破一
2
三角形三条边的垂直平分线的
(1)BE=DE;
性质
(2)∠ABE=∠ADE.
三角形三条边的垂直平分线相
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D八年级
附：本书参考答案及解析
第一章
三角形的证明
∴.△ABE≌△ABD(SAS),
∴BE=BD(③正确).
参考答案
1
等腰三角形
5100
解析由已知可得△ADC≌△CEB,
'极速特训营
六∠ACD=∠CBE-号∠ABC=40.
1C解析利用全等三角形的判定定理可得
.∠BDP=∠A+∠ACD=60°+40°=100°.
△ADE≌△ADC,.DE=DC,AE=AC=BC
6D(解折}在△ABC中，，∠A=36°，AB=
.BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE
AC,.∠ABC=∠C=72.
=AE+BE=AB=6 cm.
.BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°，
2A
∠A=∠ABD,∴△ABD是等腰三角形.
3D(解析，AC=BC,
.∠CDB=-∠A+∠ABD=72,
△ABC是等腰三角形，
.∠C=∠CDB=72°，
,∠C=120°，
∴△CBD是等腰三角形，BC=BD.
∴∠AB=2180°-∠C0=2(180°-120）
,BE=BC,∴，BD=BE,
=30°，
∴△EBD是等腰三角形，易得∠BED=72
.∠ABC+∠1=30°+43=73°，
在△AED中，，∠A=36,
a∥b,
∴.∠ADE=∠BED-∠A=36,
.∠2=∠ABC+∠1=73.
∴∠ADE=∠A,
故选D.
∴△AED是等腰三角形.
4D
解析，△ABC是等边三角形，AD是
:在△ABC中，AB=AC
△ABC的角平分线，AD⊥BC(①正确)，且
∴△ABC是等腰三角形.
∠BMD-号∠BAC=30
故共有5个等腰三角形.故选D.
,△ADE是等边三角形，∴.∠EAD=60,
7解9AB=AC,∴∠B=∠C
又∠BAD=30°，.∠EAB=30°，
:∠BAD=∠CAE,
AB是∠EAD的平分线，
.∠B+∠BAD=∠C+∠CAE,
∴.EF=FD(②正确).
∴∠ADE=∠AED,AD=AE,
AE=AD.
∴.△ADE是等腰三角形
在△ABE和△ABD中，
∠EAB=∠DAB,
8三角形中没有大于或等于60°的角（或者三角
AB=AB,
形的所有内角都小于60)
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数
954
解析设AB交EF、FD于点N,M,AC交
'D为BC的中点，AB=AC,∠ABC=30°，
学
EF、ED于点G、H,BC交FD、ED于点O、P,
∴.AD⊥BC,A'D⊥B'C,A'D是∠BA'C的
连接MG.MH,MP,如图，
平分线，AD是∠BAC的平分线，
参考答
.∠BA'C=∠BAC=120°，
.∠BAD=∠CA'D=60,
.A'D=AD.
.△A'AD是等边三角形，
..A'A=AD=A'D=1.
由三角形内角和定理可得∠GNM+∠NMO
∠BA'B'=180°-∠BA'C'=60,
+∠MOP+∠OPH+∠PHG+∠HGN=
∴.∠BA'B'=∠A'AD,
180°×4=720°，
∴.A'B'∥AD,
,六边形MNGHPO是正六边形，
.A'O⊥BC
..∠GNM=∠NMO=720°÷6=120°，
..∠FNM=∠FMN=60°，
在Rt△BAD中，∠ABD=30°，
△FMN是等边三角形，
..AB=2AD=2,..BA'=BA-AA'=1,
同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、
在R△AB0中，AO=合BA=2
△CPH、△EGH是等边三角形，
..MO=BM,NG=AN.OP=PD,GH=HE,
0=7-9
..NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB,
易得∠A'BD=∠A'DO=30°，
GH+PH+OP-HE+PH+PD-DE,
∴.BO=OD,.BD=2OD=√3，
,等边△ABC≌等边△DEF,
..AB=DE,
.A'B'=2A'D=2.∴.OB=2-
3
2
2
.AB=27 cm,
1
.'DE=27 cm,
∴.S△B'D=
2
X BDX B(0=XV5X号
.正六边形MNGHPO的周长为NG+MN+
3W3
MO+GH+PH+OP=AB+DE=54 cm.
4
故答案为54.
1110或100°
解如图，
103v3
在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，
4
解如图所示，设A'B与BD交于点
.∠ACB=180°-40°-80°=60°，
O,连接A'D和AD,
由作图可知，AC=AD.
∴.∠ACD=∠ADC=2(180°-80)=50，
∴.∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-50
=10°：
由作图可知，AC=AD,
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