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4角平分线
4
学习泪标
1.掌握角平分线的性质定理、判定定理，并能运
用它们解决实际问题，
2.掌握三角形三个内角平分线的性质，并能运用
其解决问题
3.能够用尺规作已知角的平分线.
回给定一个角，你能
熟练地画出该角的平分
盒敌知新
线吗？角平分线又有哪
1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射
些性质呢？下面就让我
线，如果这条射线把这个角分为两个相等的角，
们一起来探索吧
那么这条射线叫做这个角的平分线
2.点到直线的距离：直线外任意一点到这条直线的
垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
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沿鹿免阶不能的你
1
角平分线的性质定理
例①如图所示，在△ABC中，∠C=
定理：角平分线上的点到这个
90°，BD平分∠ABC,交AC于点D,
角的两边的距离相等。
AC=15cm,且CD：AD=2：3,求
如图所示，O℃是
B
点D到AB的距离，
D
∠AOB的平分线，点
P为OC上任意一点，
PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为点
E,F,则PE=PF
分析如图，过点D作DEAB,
另外，此图中还有∠BOC=
垂足为E,则DE的长就是点D
∠AOC,OF=OE
到AB的距离.又因为BD是
识多一点点角平分线的性质定理中的
∠ABC的平分线，∠C=90°，所
“距岛是指点到射线的距离，是垂线段的长度
以DE=DC.再由已知条件求出
×配北师大版数学八年级下135
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DC的长度即可.
解 如图，过点D作DE⊥AB,垂足
视频讲解
为E.
D
章
,DE⊥AB,DC⊥BC,BD是
分析要证明点P在∠A的平分线
∠ABC的平分线，
上，只需证明点P到∠A的两边距
∴.DE=DC
离相等即可.因此过点P作PD
.'CD:AD=2:3,AC=15 cm,
BC,PM⊥AC,PN⊥AB,利用已知
.'.CD=6 cm,
条件证明PM=PN.
.'DE=6 cm,
证明E如图，过点P作PD⊥BC,PM
∴.点D到AB的距离是6cm.
⊥AC,PN⊥AB,垂足分别为D,
小解题有妙招本题主要是利用角平分线上
M.N.
的点到这个角的两边的距离相等，将，点D到
边AB的距离转化为线段CD的长。
因为BE平分∠ABC,PD⊥BC,PN
【即学即试】见P39各个击破
⊥AB,
所以PD=PN(角平分线上的点到
2
角平分线性质定理的逆定理
这个角两边的距离相等).同理，PD
(判定定理)
=PM,所以PM=PN,所以点P在
定理：在一个角的内部，到角的
∠A的平分线上（在一个角的内部，
两边距离相等的点在这个角的平分
到角的两边距离相等的点在这个角
线上
的平分线上).
如图所示，已知
解题有妙招要证明一个点在某角的平分
∠AOB及其内部一
线上，只需证明这个点到角两边的距离相等
点P,PE⊥OB于点
即可
E,PF⊥OA于点F,
【即学即试】见P40各个击破二
连接OP.若PE=PF,则OP平
3
三角形三个内角平分线的性质
分∠AOB.
性质：三角形的三条角平分线
例②如图所示，已知△ABC的两内角
相交于一点，并且这一点到三条边
的平分线BE,CF相交于点P.求证：
的距离相等。
点P在∠A的平分线上
如图所示，具备条件“在△ABC
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D八年级
附：本书参考答案及解析
第一章
三角形的证明
∴.△ABE≌△ABD(SAS),
∴BE=BD(③正确).
参考答案
1
等腰三角形
5100
解析由已知可得△ADC≌△CEB,
'极速特训营
六∠ACD=∠CBE-号∠ABC=40.
1C解析利用全等三角形的判定定理可得
.∠BDP=∠A+∠ACD=60°+40°=100°.
△ADE≌△ADC,.DE=DC,AE=AC=BC
6D(解折}在△ABC中，，∠A=36°，AB=
.BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE
AC,.∠ABC=∠C=72.
=AE+BE=AB=6 cm.
.BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°，
2A
∠A=∠ABD,∴△ABD是等腰三角形.
3D(解析，AC=BC,
.∠CDB=-∠A+∠ABD=72,
△ABC是等腰三角形，
.∠C=∠CDB=72°，
,∠C=120°，
∴△CBD是等腰三角形，BC=BD.
∴∠AB=2180°-∠C0=2(180°-120）
,BE=BC,∴，BD=BE,
=30°，
∴△EBD是等腰三角形，易得∠BED=72
.∠ABC+∠1=30°+43=73°，
在△AED中，，∠A=36,
a∥b,
∴.∠ADE=∠BED-∠A=36,
.∠2=∠ABC+∠1=73.
∴∠ADE=∠A,
故选D.
∴△AED是等腰三角形.
4D
解析，△ABC是等边三角形，AD是
:在△ABC中，AB=AC
△ABC的角平分线，AD⊥BC(①正确)，且
∴△ABC是等腰三角形.
∠BMD-号∠BAC=30
故共有5个等腰三角形.故选D.
,△ADE是等边三角形，∴.∠EAD=60,
7解9AB=AC,∴∠B=∠C
又∠BAD=30°，.∠EAB=30°，
:∠BAD=∠CAE,
AB是∠EAD的平分线，
.∠B+∠BAD=∠C+∠CAE,
∴.EF=FD(②正确).
∴∠ADE=∠AED,AD=AE,
AE=AD.
∴.△ADE是等腰三角形
在△ABE和△ABD中，
∠EAB=∠DAB,
8三角形中没有大于或等于60°的角（或者三角
AB=AB,
形的所有内角都小于60)
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数
954
解析设AB交EF、FD于点N,M,AC交
'D为BC的中点，AB=AC,∠ABC=30°，
学
EF、ED于点G、H,BC交FD、ED于点O、P,
∴.AD⊥BC,A'D⊥B'C,A'D是∠BA'C的
连接MG.MH,MP,如图，
平分线，AD是∠BAC的平分线，
参考答
.∠BA'C=∠BAC=120°，
.∠BAD=∠CA'D=60,
.A'D=AD.
.△A'AD是等边三角形，
..A'A=AD=A'D=1.
由三角形内角和定理可得∠GNM+∠NMO
∠BA'B'=180°-∠BA'C'=60,
+∠MOP+∠OPH+∠PHG+∠HGN=
∴.∠BA'B'=∠A'AD,
180°×4=720°，
∴.A'B'∥AD,
,六边形MNGHPO是正六边形，
.A'O⊥BC
..∠GNM=∠NMO=720°÷6=120°，
..∠FNM=∠FMN=60°，
在Rt△BAD中，∠ABD=30°，
△FMN是等边三角形，
..AB=2AD=2,..BA'=BA-AA'=1,
同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、
在R△AB0中，AO=合BA=2
△CPH、△EGH是等边三角形，
..MO=BM,NG=AN.OP=PD,GH=HE,
0=7-9
..NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB,
易得∠A'BD=∠A'DO=30°，
GH+PH+OP-HE+PH+PD-DE,
∴.BO=OD,.BD=2OD=√3，
,等边△ABC≌等边△DEF,
..AB=DE,
.A'B'=2A'D=2.∴.OB=2-
3
2
2
.AB=27 cm,
1
.'DE=27 cm,
∴.S△B'D=
2
X BDX B(0=XV5X号
.正六边形MNGHPO的周长为NG+MN+
3W3
MO+GH+PH+OP=AB+DE=54 cm.
4
故答案为54.
1110或100°
解如图，
103v3
在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，
4
I解如图所示，设A'B与BD交于点
.∠ACB=180°-40°-80°=60°，
O,连接A'D和AD,
由作图可知，AC=AD.
∴.∠ACD=∠ADC=2(180°-80)=50，
∴.∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-50
=10°：
由作图可知，AC=AD,
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