止教传媒
片21世纪教息
18.2.2菱形
孕习目标
1.探索并掌握菱形的概念与性质，能够正
确地应用菱形的性质进行相关的计算和证明，
2.探索并掌握菱形的判定定理，并能利用菱形的
判定定理解决相关问题，
3.通过应用菱形的性质与判定定理进行证明，进
回飞机在天空中组
一步发展逻辑思维能力和推理论证能力：
成了菱形编队，让我们
一起领略菱形之美吧！
温故知新
平行四边形的性质：对边平行且相等；对角相等，
邻角互补；对角线互相平分
课堂直播间
验就无所不能的你
菱形的概念和性质
(2)菱形的两条对角线
有一组邻边相等的平行四边形
互相垂直，并且每一条对角
动画演示
叫做菱形，
线平分一组对角；
识多一点点丫菱形的定义既是它的一条性
(3)菱形是轴对称图形，其对称
质也是它的一种判定方法，应用较为广泛.菱
形必须满足两个条件：(1)四边形是平行四边
轴是对角线所在的直线.
形；(2)一组邻边相等
识多一点点(1)由于菱形的对角线互相垂
菱形是一种特殊的平行四边
直平分，许多涉及菱形的问题都可以利用直
角三角形的性质得以解决，因此要抓住这
形，因此菱形首先具有平行四边形
有利条件.
的所有性质，即两组对边分别平行
(2)菱形的两条对角线将菱形分成四个全
且相等，对角线互相平分，是中心对
等的直角三角形，菱形的面积等于对角线长
称图形.其次菱形还具有其独特的
乘积的一半.由此拓展可以得出，对角线互相
性质：
垂直的任意四边形的面积等于对角线长乘积
的一半
(1)菱形的四条边都相等；
921配人救版数学八年级下>
本资料为出版资源，盗版必究！
北教传媒
27世纪戴自
<例①(2022·黑龙江哈尔滨中考)如
图，菱形ABCD的对角线AC,BD相
交于点O,点E在OB上，连接AE,
点F为CD的中点，连接OF,若AE
(1)求BD的长；
=BE,OE=3,OA=4,则线段OF的
(2)求菱形ABCD的面积.
长为
分析由菱形的性质，知△AOD是直
角三角形，从Rt△AOD的有关计算
着手解此题.
解(1)，·四边形ABCD为菱形，
解析已知四边形ABCD是菱形，对
.BD平分∠ADC,OD=OB=
角线互相垂直平分，
3D,
.AC⊥BD,在Rt△AOE中，
.'OE=3,OA=4,
A0=0C=
AC-6/3 cm.
18
'.根据勾股定理得AE=√32十42
∴.∠ADB=60°.
章
=5,
又，AC⊥BD,∴.在Rt△AOD中，
.'AE=BE,
∠OAD=30°.
∴.OB=AE+OE=8,
设OD=xcm,则AD=2.xcm.根据
在Rt△AOB中，AB=√J42+82=
勾股定理，得(2x)2=(6√3)2十x2,
45,
解得x=6,
即菱形的边长为4√5，
.∴.BD=12cm.
点F为CD的中点，点O为DB
(2)S菱形ABCD=
AC·BD=X
的中点，
12√3×12=72√3(cm2).
∴0F=)BC=25.故答案为2V5.
解题有妙招当菱形中给出一个角的度
数，如120°，60°时，通常需要联想到等边三角
2√5
形和直角三角形.
例②如图，在菱形ABCD中，已知
【即学即试】见P97各个击破一
∠ADC=120°，AC=12V3cm.
《配人数版数学八年级下193
本资料为出版资源，盗版必究！北教传媒
27世纪戴自
www.2Icnycorn
八级
数
424
17
cm.
∴BM=BC-CM=B-1，
2
学
当CD为斜边时，CD3=AC2+AD2,即(34
∴.BH=√HME+BE=√2.
参
x)2=62+x2+242,解得x=8,即BC=8cm.
故答案为√2.
综上，当点C距离点B号cm或8cm时，
案
△ACD是直角三角形，并且AD是其中一条
直角边
第十八章
平行四边形
9解曰四边形ABCD是平行四边形，
SABCD=2SAABC.
18.1平行四边形
,'BF=2AF,△BEA与△BEF中过点E的
18.1.1平行四边形的性质
高相等，S%E=号S6
“极速特训营
同理，S△AC=
23
S△EF=
1解3图中共有18个平行四边形.
9
S△m.
表示略。
2D 3B 4D 5B 6B 7B
六SD=2SAc=2X号SAF=2X
8√2解析如图所示，过点H作HM⊥BC于
9
X2=9(cm2).
点M,
18.1.2平行四边形的判定
由作图方法可知，BH平分∠ABC,
∠ABH=∠CBH,
极速特训营
四边形ABCD是平行四边形，
1解9CD∥AE且CD=AE.
.BC=AD=√3+1，AB∥CD,
证明如下：，∠EAO=∠OCD,∴·AE∥CD
.∠CHB=∠ABH,∠C=180°-∠ABC=
又，EC∥AD,
30°，
四边形ADCE为平行四边形，
∴∠CBH=∠CHB,
.CD∥AE且CD=AE.
.CH=BC=√3+1，
2B3D
HM-CH-+1
4证明E在平行四边形AECF中，OA=OC,OE
2
=OF.
∴CM-=√CH-HMP-3+E
:E,F分别是BO,OD的中点
2221配人敷版数学八年级下，
本资料为出版资源，盗版必究！
北教传媒
27世纪载自
D八级
..2OE=2OF,即OB=OD.
∠OBE=∠ODF,
数
又.OA=OC,
在△BOE和△DOF中，OB=OD,
学
四边形ABCD是平行四边形
∠BOE=∠DOF,
5证明3(1)，BE=CF,
∴.△BOE2△DOF(ASA).
..BE+EC=EC+CF.
(2),△BOE≌△DOF,
.BC=EF,
..EO=FO.
参考答案
在△ABC和△DFE中，
.OB=OD.
(AB=DF.
,四边形BEDF是平行四边形
AC=DE,
.DE=BF.
BC=FE.
7C解析如图所示，过点B作BE⊥AC,垂足
..△ABC≌△DFE(SSS),
为E.由题意知OC是△ABE的中位线，则h1
∠ABC=∠DFE,
=20C,同理可得h2=2OC..h1=h2=2OC
∴.AB∥DF,
B
又AB=DF,
,四边形ABDF是平行四边形
(2)由(1)知，△ABC≌2△DFE.
8B
解折，D,E,F分别是BC,AC,AB的
∴∠ACB=∠DEF,AC=DE,
AE=AC,
中点，
.·∠AEC=∠ACE=∠DEF,AE=DE,
∴.EF,ED都是△ABC的中位线，
,.∠AEB=∠DEB,
:EF/∥BC,ED/AB且EF=合BC=号X8
在△AEB和△DEB中，
=4,ED=2AB=2×6=3,
EB=EB.
X∠AEB=∠DEB,
四边形BDEF是平行四边形，
AE=DE.
∴.BD=EF=4,BF=ED=3,
,.△AEBC2△DEB(SAS),
'.四边形BDEF的周长为BF十BD十ED十
∴.AB=DB.
EF=3+4+3十4=14.
6证明照(1)，四边形ABCD是平行四边形，O
故选B.
是BD的中点，
9(1)证明E由题意，得
AB∥DC,OB=OD,
∠1=∠2，∠ANB=∠AND=90°
,.∠OBE=∠ODF
在△ABN和△ADN中，
配人数版数学八年级下1223
本资料为出版资源，盗版必究！
