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16.2二次根式的乘除
学习泪标
1.理解二次根式的乘法和除法法则，能熟
互×3=？
练运用二次根式的乘法和除法法则进行计算与
7÷5=？
化简。
2.会进行二次根式的乘除混合运算
3.理解最简二次根式的定义，能判断一个式子是
回我们已经学过整
不是最简二次根式，
式和分式的乘除运算，
这一节我们来学习一下
温故知新
二次根式的乘除运算.
二次根式的概念：把形如√a(a≥0)的式子叫做二
次根式.使va有意义的条件是a≥0.
课堂直播问
造念免所不能的你
1
二次根式的乘法法则
(5)二次根式相乘，被开方数中有开得尽
般地，二次根式的乘法法则
方的因数或因式时一定要开方，
是Va·√b=√ab(a≥0，b≥0).
例①给出下列运算：①23×3√3=63；
状元说(1)此法则可推广到多个二次根式
②w(-49)X(-6)=-7w6:③4wa·√b
相乘的情况，即√a·√B·√c=√abc(a≥0，b≥
=4a√石.其中正确的有()
0,c≥20).
(2)当二次根式的系数不为1时，可类比
A.0个B.1个C.2个D.3个
单项式与单项式相乘的法则，即4石·c√a=
解析①2√3×3√3=2×3X/3X3
acbd(b≥0，d≥0).
6X3=18,故①错误；②原式=7√6，
(3)运用法则进行二次根式的乘法运算
故②错误；③4√a·√i=4√ab,故
时，一定不能忽略被开方数均为非负数这一
③错误.故选A.
A
限制条件
(4)当√ā与b可以化简时，一般先化简再
高分决胜点/几个二次根式相乘，把它们
的系数相乘得到的积作为积的系数，把它们
相乘，但对a,b相乘后乘积为完全平方数的情
的被开方数相乘，根指数不变
况可以先相乘再化简，
【即学即试】见P16各个击破一
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<2
二次根式乘法法则的逆用
=3√6.
把a·b=√ab(a≥0，b≥0)反
(5)/m4十m2n2=√/m2(m2+n2)=
过来，就得到Wab=√a·Vb(a≥0，b
/m2·m2+n2=m√/m2+n2(m≥
≥0)，即积的算术平方根等于积中
0)
各因数或因式的算术平方根的积.
解题有妙招在逆用二次根式的乘法法则
利用它可以进行二次根式的化简.
章
进行化简时，一要注意公式中的限制条件；二
识多一点点(1)公式中的“，b既可以是数
要注意被开方数一定是乘积的形式，不要出
也可以足代数式，但必须都是非负的
现√a十=十√匠这样的错误；三要注
(2)在进行二次根式的化简时，将能开得
意被开方数中有两个负因数相乘时，耍先去
尽方的因式或因数开方后移到根号外，
掉负号，再进行化简。
(3)此公式可以推广到含有多个非负因式
【即学即试】见P17各个击破二
(或因数)的形式，即√ab=√a·√b·√(a
3
二次根式的除法法则
0,b≥0，c≥0).
般地，二次根式的除法法则
例②化简：
(a≥0，b>0)
(1)W/9×16;
(2)/(-36)X(-100);
状元说
(1)应特别注意a,b的符号，a≥0，
6>0,不要误以为b0.
(3)√/9x2y2(x≥0，y≥0)；
视频讲解
(2)当二次根式前面的系数不为1时，可
(4)/54;(5)w/m4+m2n2(m≥0)
类比单项式除以单项式的运算法则进行计
分析利用ab=√a·√b(a≥0，b≥0)
算，即系数的商作为商的系数，被开方数的商
作为商的被开方数，
直接化简即可.
(3)在二次根式的计算中，最后结果应不
解3(1)√/9×16=√9×√16=3×4
含能开得尽方的因数或因式，若为分数或分
=12
式，则分母不含二次根式
(2)√/(-36)×(-100)=√/36X100
例③计算：
=√/36×/100=6×10=60
(1)√24÷√6；
(3)W9x2y2=√9XwWx2X√y2=3xy
(2)
(x≥0，y≥0).
(4W54=√9X6=√9X6=√32X√6
分析)(1)题可直接利用二次根式的
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八年级
学
附：本书参考答案及解析
第十六章
二次根式
10曜E因为a,b,c为△ABC的三边长，
参考答
所以a十b十c>0,a-b-c<0,b-a-c<0,c
16.1二次根式
-b-a0,所以原式=|a十b十c十|a-b
极速特训营
c+b-a-cl-c-b-al=a+b+c-a+b
1D
,解折要使式子十巴在实数范国内有意
+c-b+a+c+c-8-a=4c.
a
11解E该同学的答案是不正确的.
「a+2≥0，
义，则
所以a≥一2且a≠0.
理由如下：a十√a2-2a十1=a十|a-1.
la≠0，
当a≥1时，原式=a十a-1=2a-1;
2x≥8
当a<1时，原式=a一a十1=1.
3x>-2且x≠1
4解v2,w√x,√x-1(x≥1)，√1+m2,
:该同学求得的答案为了∴≥1，
0.35,V2+2x+,1+2x(≥-2）
.2a-1=
解得a=子，与≥1不-致。
都是二次根式：π，一8不是二次根式.
该同学的答案不正确.
(x2-4≥0，
16.2二次根式的乘除
51解由题意，得4-x2≥0，解得x=-2,
极速特训营
1-x>0,
1懈e(1)5×√6×√/30=√5×6×30=
∴y=2,
5-2+-2
√/30×30=30.
6D
解析因为a<3,所以a一3<0，所以
√a2-6a+9=√/(a-3)2=-(a-3)=3-a.
故选D.
2解 (1)W3×√7=√/3X7=√/21.
7x≤3
群析}因为√(x一3)2=3一x=
(2)W2X√8=√/16=4.
(x一3)，所以x一30，所以x3.
4v=4…=4
8号
23a-号
3解@√/-25)×(-8)=√25X8=√/25×W8
93
=5×2√2=10√2
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八牛级
数
=(2+号+1)×6+(-号-)×E
学
1
考答
4 3vs+号0-4月
=√/15.
=9√2十√2-2V2=8√2.
5A
5解9(1)(2√G-4)(x+2)
6E√2-√
289_/289_17
=2(x-2)(√x+2)=2[(√x)2-22]
√/14412
=2(x-4)=2.x-8.
7A解折因为一3b>0,所以a,b异号】又a
(2)(3√2-45)2
b,所以b>0,a<0,则√-a3b=√a2·(-ab)
=(3√2)2-2×3√2×4W5+(45)2
=a√一ab=-a√一ab.故选A
=18-24√10+80=98-24/10.
8A9A
(3)(2-√3十5)(2+3-√5)
=[2-(w3-√5)][2+(w3-5)]
5
=22-(w3-√5)2=4-(3-2√/15+5)
=4-(8-2W/15)=-4+215.
3W49
62(解折，1<√2<2，
27v10.
.1<3-√2<2，
,3一√2的整数部分为a,小数部分为b,
16.3二次根式的加减
a=1,b=3-2-1=2-2,
”极速特训营
∴.(2十√2a)·b=(2十√2)(2-√2)=2.
ID
故答案为2.
2解3，最简二次根式Vm与√3m十n是可
7l解9(1)①原式=a2-3a十1-a2=1-3a.当a
以合并的二次根五武，
=时，原式=1-3×号=1-.
1十n=2,
m=0.
∴可列方程组
解得
n=3m十1，
n=2,
②原式=2-2.3=(x2.-3
x-3
x一3
.m=20=1.
x-2.
3E原式=26-2+号6-2+6
当x=7+1时，原式=√7+1-2=√7-1.
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