河南省新乡市原阳县重点高级中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（含答案）

原阳一中2023-2024学年上学期高一年级1月月考
数 学 试 卷
总分 150分 时长120分钟 1月6日
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，3，4，，则　　
A． B．， C．， D．，3，
2．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是　　
A． B． C． D．
3．已知点，且，则等于　　
A．1 B． C．1或 D．其他值
4．将函数的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线关于直线对称，则　　
A． B． C． D．
5. 在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系是（ ）
A y＝m(1－x)2 B. y＝m(1＋x)2 C. y＝2m(1－x) D. y＝2m(1＋x)
已知，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
7 某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（ ）
A 2026年 B. 2027年 C. 2028年 D. 2029
8. 定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（ 　）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 设A,B,C为三个事件,下列各式意义表述正确的是( )
A. 表示事件A不发生且事件B和事件C同时发生
B. 表示事件A,B,C中至少有一个没发生
C. A+B表示事件A, B至少有一个发生
D. 表示事件A,B,C恰有一个发生
10. 已知正数a,b,则下列不等式中恒成立的是( )
下列结论正确的是( )
(A)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
(B)若,是单位向量),则a=c,b=d
(C)向量a与b共线 存在不全为零的实数使
(D)已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若则x+y=1
12. 设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分．
13．命题，，则是　　．
14．函数在区间，上的平均变化率为3，则实数的值为　　．
15．设，则当取最小值时，的值为　　．
16. 设函数，，（其中），
（1）________；
（2）若函数与的图象有3个交点，则实数的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求下列各式的值．
（1）；
（2）．
18. （1）已知集合，满足，，求实数，的值；
（2）已知集合，函数定义域为，若，求实数的取值范围．
19. 已知函数19. 已知函数.
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围.．
20．已知函数．
（1）若（4），当，，求的值域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）设实数，若不等式对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
21．已知集合，，，，，，，2，，．对于，，，，，，，，定义：与的差为，，；与之间的距离为．
（Ⅰ）当，时，设，2，1，1，，，1，1，2，，求，；
（Ⅱ）若对于任意的，，，有，求的值并证明：，，
22. 已知函数和有相同的最小值，（e为自然对数的底数，且）
（1）求m；
（2）证明：存在直线与函数，恰好共有三个不同交点；
（3）若（2）中三个交点的横坐标分别为，，，求的值．
月考数学答案
一、单项选择
1---4 BDCC 5----8 AACB
多项选择:
9.ACD 10.AB 11.CD 12.ABD
三、填空题
13．解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
可知命题，的否定是：，．
故答案为：，．
14．解解：根据题意，函数在区间，上的平均变化率为，
则有，解可得：，
故答案为：2．
15．解：，，
则，
当且仅当即时取等号，
故答案为：1
16.【详解】由题意，函数，
所以；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得，
画出函数和的图象，如图所示，
由，可得；又由，可得，
由图象可知，若两个函数的图象有3个交点时，可得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题：
17.【答案】（1） （2）
18.（1），，故，
故，解得；
（2）由题意得，解得，故，
，当时，，解得，
当时，需满足或，
解得或，
综上，实数的取值范围是.
19.【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）.
【解析】（1）求出函数的对称轴，判断的单调性即可求出最大值和最小值；
（2）求出函数的对称轴，根据二次函数的性质即可列出不等式求解.
详解】（1）当时，，，
对称轴为，开口向上，所以在单调递减，在单调递增，
当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以函数的最大值为，最小值为；
（2）图象的对称轴为，
因为在区间上是单调函数，
所以或，
解得：或，
所以实数的取值范围为.
20．解：（1）（4），．
，
在，上单调递减，在，上单调递增．
的最小值为（4），
又（2），（5），的最大值为5．
的值域为，．
（2）当时，，故，
是奇函数．
当时，，，
，且，
故既不是奇函数，也不是偶函数．
综上，当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数．
（3），
①若，则当，时，，
故在，上的最小值为（1）或（3），
，解得．
②若，则，
在，上的最小值为，
故，解得．
综上，的取值范围是：，，．
21．解：（Ⅰ），，，，，1，0，1，，
．
（Ⅱ）证明：因为，，，，，，2，，
，，，
所以对任意的，，即对，，，2，，，都有或1，
所以，设，，，
则，，
当时，，
当时，，
所以，．
22.【答案】（1）0. （2）见解析； （3）2.
【解析】（1）根据，单调性求出最小值，两个最小值相等求出m的值.
（2）根据函数单调性与图像判断并证明即可.
（3）根据三个交点处函数值相等，再由函数式的结构得到三个交点的横坐标分别为，，之间的关系，转化为即可求解.
【小问1详解】
由，
时，
时
则在单调递减，在单调递增，
所以最小值；
时，，
时，
所以在单调递减，在单调递增，
所以最小值；
，
即
令，
所以在定义域上单调递增，
因为，
所以解得.
小问2详解】
由（1）知，即；
因为，
所以当时，考虑与解的个数，
根据，单调性作图如下：
易知时，；时，；
时，；时，；
则在区间与各有一个根，
在区间与各有一个根，
要证：存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点，
即证：在上有交点.
当时，
令
，所以在上单调递增，
，，
所以存在，使，
即在上有交点，得证.
所以存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点.
【小问3详解】
如图与函数，恰好共有三个不同的交点，
三个交点的横坐标分别为，，，，
则有，
因为
而单调递减，所以，
因为，
而单调递增，所以，
又因为.
所以.
【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，利用同构去解决三个交点横坐标之间的数量关系