河南省新高中创新联盟TOP二十名校2023-2024学年高一上学期1月调研考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省新高中创新联盟TOP二十名校2023-2024学年高一上学期1月调研考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 941.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-07 00:37:45 | ||
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文档简介
绝密★启用前
新高中创新联盟TOP二十名校高一年级1月调研考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知函数，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
6.已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男 女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（ ）
A.10 B.15 C.30 D.45
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列是真命题的是（ ）
A.设，则“且”是“”的必要不充分条件
B.设，则“”是“”的必要不充分条件
C.“”是“”成立的必要不充分条件
D.命题“”的否定是“”
10.若，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.下列说法正确的是（ ）
A.若，则的最大值为2
B.若且，则的最小值为
C.若，且，则的最小值为8
D.若，且，则的最大值为8
12.已知定义在上的函数满足以下条件：①，当时，；②对任意实数恒有，则（ ）
A.
B.恒成立
C.若对恒成立，则的取值范围为
D.不等式的解集为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若是奇函数，则实数__________.
14.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄.某人在银行存入本金10万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为，若存期，本利和为11万元，若存期，本利和为12万元，若存期，则总利息为__________万元.
15.已知函数，则不等式的解集为__________.
16.已知函数，且正数满足，若恒成立，则实数的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
（1）计算：；
（2）已知，且，求的值.附立方差公式：
18.（本小题满分12分）
已知幂函数满足.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知集合，命题“”为假命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）在（1）的条件下，若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）
据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品.该制冷杯根据物体的降温遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：），那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为参数.为模拟观察制冷杯的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）
（1）若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）
（2）某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成本（与生产产品的数量无关）：20万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数.
（i）该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？一万套的最低成本为多少？
（ii）若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于520万元？
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
（3）解关于的不等式.
22.（本小题满分12分）
已知函数，且.
（1）解不等式；
（2）设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.
新高中创新联盟TOP二十名校高一年级1月调研考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 由题意，，所以.故选A.
2.B ，记，由是的必要不充分条件，可得且，故且等号不同时成立，解得.故选B.
3.C 因为函数在区间上单调递增，即在上为增函数且函数值大于故，则的取值范围是.故选C.
4.D 法一：当时，，只有选项符合.法二：，则函数的图象是由函数先向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，只有选项符合.故选.
5.C 由题意可得解得，所以函数的定义域为，所以，解得-2，所以的定义域为.故选C.
6.A 已知幂函数经过点，可得，解得，即，易知在上单调递减.由于，所以可得，综上所述，.故选A.
7.D 函数有两个零点，即与的图象有两个交点，令，作出与的大致图象如图所示，由图可知，则，故实数的取值范围是.故选D.
8.B 设安排男社员名，女社员名，由题意知，平均损耗蔬菜量之和为，则，当且仅当，即时等号成立，则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15.故选B.
9.BC 对于A，，则，则，则成立，满足充分性，故A错误；对于，当时，不一定不等于零，当时，一定不等于零，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；对于C，由“”可得“”，但是推不出“”，而“”能推出“”，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确；对于D，命题“”的否定是“”，故D错误.故选BC.
10.ABD 对于，由题意得，设，易得为增函数，又，故，故A正确；对于，因为，函数在定义域上单调递增，则，故B正确；对于，令，则满足，但无意义，故C错误；对于，因为，故，故D正确.故选ABD.
11.BCD 对于A，因为，则-2，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为-2，故A错误；对于，因为且，则，所以
，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故B正确；对于，由，得，则，所以，当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值8，故C正确；对于，因为为正实数，则，令，则，解得，所以，即，即，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为8，故D正确.故选BCD.
12.ABD 由，得到，对于A，令可得，故，故A正确；对于B，令，可得，当0时，，则，所以恒成立，B正确；对于，设，原不等式等价于在恒成立，即，令，当且仅当时取等号，，故C错误；对于，由于.下面证明的单调性：任取，且，则，所以函数在上单调递增，，令在上单调递增，且，所以原不等式的解集为，故D正确.故选ABD.
13. 由，可得，因为是奇函数，所以，所以，解得.
14.3.2 由题意可得则，即存期，本利和为，则存期，则利息为万元.
15. 由于，显然在定义域上为增函数，由，则且，可得，所以，故不等式的解集为.
16. 一方面由题意有，另一方面若有成立，结合以上两方面有，且注意到，所以由复合函数单调性可得在上单调递增，若，则只能，因此当且仅当；又已知，所以，即，由基本不等式，当且仅当时等号成立，所以，要使恒成立，只需满足，解得，故实数的取值范围是.
17.解：（1）
.
（2）因为，且，所以，故，
.
18.解：（1）由是幂函数，
可得，解得或；
当时，在上单调递减，不满足；
当时，在上单调递增，满足，
故.
（2）由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增，
又，
所以解得，
所以实数的取值范围是.
19.解：（1）命题“”的否定为：“”，
因为原命题为假命题，则其否定为真命题，
当时，恒成立，满足题意；
当时，只需解得.
所以实数的取值集合为.
（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以因此.
20.解：（1）由题意可得，解得，
设经过分钟，这杯茶水由降温至，
则，解得，
故欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要7分钟.
（2）（i）设平均每一万套所需的成本费用为万元，
则有，
当且仅当，即时取等号，
所以该企业每月产量20万套时，一万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元；
（ii）设月利润为万元，
则有，
解得（舍去）或，
所以该企业每月至少生产20万套产品，才能确保该制冷杯每月的利润不低于520万元.
21.解：（1）由题意可知，，
因为的定义域为，且，
所以是奇函数.
（2）在上是单调递增函数.
证明如下：
任取，设，则
.
因为，所以，
又因为，所以，
所以，即，
所以在上是单调递增函数.
（3）由（1）（2）知是在上单调递增的奇函数，
所以在上单调递增，
所以，
可以转化为，
可化为，
即，
①当时，不等式为，这时解集为；
②当时，解不等式得到；
③当时，解不等式得到.
综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
22.解：（1）由条件可知，，
解得，
故函数的定义域为，
由，可知，得到，即，
解不等式，即，解得，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）可知.
设，则当时，，
对于函数时为增函数，故，
则，
设，由题意知为时的值域的子集，
当，即时，在上单调递增，
故即得
当，即时，在上的最大值为中的较大者，
令；令，则，不合题意；
当，即时，在上单调递减，则
解得，
综合上述，实数的取值范围为.
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数学
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知函数，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
6.已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男 女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（ ）
A.10 B.15 C.30 D.45
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列是真命题的是（ ）
A.设，则“且”是“”的必要不充分条件
B.设，则“”是“”的必要不充分条件
C.“”是“”成立的必要不充分条件
D.命题“”的否定是“”
10.若，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.下列说法正确的是（ ）
A.若，则的最大值为2
B.若且，则的最小值为
C.若，且，则的最小值为8
D.若，且，则的最大值为8
12.已知定义在上的函数满足以下条件：①，当时，；②对任意实数恒有，则（ ）
A.
B.恒成立
C.若对恒成立，则的取值范围为
D.不等式的解集为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若是奇函数，则实数__________.
14.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄.某人在银行存入本金10万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为，若存期，本利和为11万元，若存期，本利和为12万元，若存期，则总利息为__________万元.
15.已知函数，则不等式的解集为__________.
16.已知函数，且正数满足，若恒成立，则实数的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
（1）计算：；
（2）已知，且，求的值.附立方差公式：
18.（本小题满分12分）
已知幂函数满足.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知集合，命题“”为假命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）在（1）的条件下，若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）
据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品.该制冷杯根据物体的降温遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：），那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为参数.为模拟观察制冷杯的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）
（1）若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）
（2）某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成本（与生产产品的数量无关）：20万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数.
（i）该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？一万套的最低成本为多少？
（ii）若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于520万元？
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
（3）解关于的不等式.
22.（本小题满分12分）
已知函数，且.
（1）解不等式；
（2）设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.
新高中创新联盟TOP二十名校高一年级1月调研考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 由题意，，所以.故选A.
2.B ，记，由是的必要不充分条件，可得且，故且等号不同时成立，解得.故选B.
3.C 因为函数在区间上单调递增，即在上为增函数且函数值大于故，则的取值范围是.故选C.
4.D 法一：当时，，只有选项符合.法二：，则函数的图象是由函数先向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，只有选项符合.故选.
5.C 由题意可得解得，所以函数的定义域为，所以，解得-2，所以的定义域为.故选C.
6.A 已知幂函数经过点，可得，解得，即，易知在上单调递减.由于，所以可得，综上所述，.故选A.
7.D 函数有两个零点，即与的图象有两个交点，令，作出与的大致图象如图所示，由图可知，则，故实数的取值范围是.故选D.
8.B 设安排男社员名，女社员名，由题意知，平均损耗蔬菜量之和为，则，当且仅当，即时等号成立，则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15.故选B.
9.BC 对于A，，则，则，则成立，满足充分性，故A错误；对于，当时，不一定不等于零，当时，一定不等于零，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；对于C，由“”可得“”，但是推不出“”，而“”能推出“”，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确；对于D，命题“”的否定是“”，故D错误.故选BC.
10.ABD 对于，由题意得，设，易得为增函数，又，故，故A正确；对于，因为，函数在定义域上单调递增，则，故B正确；对于，令，则满足，但无意义，故C错误；对于，因为，故，故D正确.故选ABD.
11.BCD 对于A，因为，则-2，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为-2，故A错误；对于，因为且，则，所以
，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故B正确；对于，由，得，则，所以，当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值8，故C正确；对于，因为为正实数，则，令，则，解得，所以，即，即，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为8，故D正确.故选BCD.
12.ABD 由，得到，对于A，令可得，故，故A正确；对于B，令，可得，当0时，，则，所以恒成立，B正确；对于，设，原不等式等价于在恒成立，即，令，当且仅当时取等号，，故C错误；对于，由于.下面证明的单调性：任取，且，则，所以函数在上单调递增，，令在上单调递增，且，所以原不等式的解集为，故D正确.故选ABD.
13. 由，可得，因为是奇函数，所以，所以，解得.
14.3.2 由题意可得则，即存期，本利和为，则存期，则利息为万元.
15. 由于，显然在定义域上为增函数，由，则且，可得，所以，故不等式的解集为.
16. 一方面由题意有，另一方面若有成立，结合以上两方面有，且注意到，所以由复合函数单调性可得在上单调递增，若，则只能，因此当且仅当；又已知，所以，即，由基本不等式，当且仅当时等号成立，所以，要使恒成立，只需满足，解得，故实数的取值范围是.
17.解：（1）
.
（2）因为，且，所以，故，
.
18.解：（1）由是幂函数，
可得，解得或；
当时，在上单调递减，不满足；
当时，在上单调递增，满足，
故.
（2）由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增，
又，
所以解得，
所以实数的取值范围是.
19.解：（1）命题“”的否定为：“”，
因为原命题为假命题，则其否定为真命题，
当时，恒成立，满足题意；
当时，只需解得.
所以实数的取值集合为.
（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以因此.
20.解：（1）由题意可得，解得，
设经过分钟，这杯茶水由降温至，
则，解得，
故欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要7分钟.
（2）（i）设平均每一万套所需的成本费用为万元，
则有，
当且仅当，即时取等号，
所以该企业每月产量20万套时，一万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元；
（ii）设月利润为万元，
则有，
解得（舍去）或，
所以该企业每月至少生产20万套产品，才能确保该制冷杯每月的利润不低于520万元.
21.解：（1）由题意可知，，
因为的定义域为，且，
所以是奇函数.
（2）在上是单调递增函数.
证明如下：
任取，设，则
.
因为，所以，
又因为，所以，
所以，即，
所以在上是单调递增函数.
（3）由（1）（2）知是在上单调递增的奇函数，
所以在上单调递增，
所以，
可以转化为，
可化为，
即，
①当时，不等式为，这时解集为；
②当时，解不等式得到；
③当时，解不等式得到.
综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
22.解：（1）由条件可知，，
解得，
故函数的定义域为，
由，可知，得到，即，
解不等式，即，解得，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）可知.
设，则当时，，
对于函数时为增函数，故，
则，
设，由题意知为时的值域的子集，
当，即时，在上单调递增，
故即得
当，即时，在上的最大值为中的较大者，
令；令，则，不合题意；
当，即时，在上单调递减，则
解得，
综合上述，实数的取值范围为.
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