2015年中考数学二轮专题复习教案：专题03 方程(组)、不等式（组）的解法

备战2015年中考二轮讲练测
第一篇 专题整合篇
专题03 方程（组）、不等式（组）的解法（讲案）
一讲考点——考点梳理
（一）方程的解．解方程及各种方程（组）的有关概念
1．方程：含有_______的等式叫做方 ( http: / / www.21cnjy.com )程，它包含两层意思：一是含有未知数，二是等式，二者缺一不可．从定义可说明方程是等式，但等式不一定是方程．
2．方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做根．
3．解方程：求方程的解的过程，叫做解方程．
4．同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
5．方程的同解原理
（1）方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程．
（2）方程两边都乘以(或除以)同一不等于0的数，所得方程与原方程是同解方程．
6．方程的增根与遗根
(1)在方程变形时，能产生不适合原方程的根叫做方程的增根．
(2)在方程变形时，由于盲目变形，在方程的两边同除以含有未知数的代数式，从而导致方程遗根．
7．方程的分类
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（二）一元一次方程及其解法；二元一次方程组及其解法
1．一元一次方程
(1)一元一次方程的标准形式：
(2)一元一次方程的解法．
(3)一元一次方程有唯一的一个解．
说明：对于以为未知数的最简方程，若没有给出字母a和b的取值范围，其解有下面三种情况：
①时一元一次方程，有唯一解．
②，时，方程无解．
③，时，方程有无数个解．
2．二元一次方程组
(1)一般形式：（不全为0）
(2)解法：二元一次方程组一元一次方程组．
3．三元一次方程组
(1)一般形式：
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(2)解法：
三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组．
（三）用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程
1．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：______________．
2．一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．
因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为（）的形式，那么这个方程就是一元二次方程．
3．一元二次方程的基本解法有四种：（1）_ ( http: / / www.21cnjy.com )_____________；（2）______________；（3）______________；（4）______________．如下表：
方法 适合方程类型 注意事项
直接开平方法 ≥0时有解，＜0时无解．
配方法 二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方．
公式法 （） ≥0时，方程有解；＜0时，方程无解．先化为一般形式再用公式．
因式分解法 方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积． 方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式．
（四）可化为一元一次方程．一元二次方程的分式方程的解法
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
(1)分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．
②特殊解法：换元法．
(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的 ( http: / / www.21cnjy.com )取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．
（五）一元二次方程根的判别式及应用
一元二次方程根的判别式：
①_____________________．
②_____________________．
③_____________________．
④_____________________．
反之：
①一元二次方程有两个不等实根
②一元二次方程有两个相等实根
③一元二次方程无实根
④一元二次方程有两个实根
结论：（1）若二次三项式是完全平方式，则方程的判别式=0．
（2）方程有实数根，包括两种情况：①有两个实数根，②，只有一个实数根．
说明：根的判别式最常见的用法有：
①不解方程判别一元二次方程根的情况．
②由方程根的情况确定某些字母的值或范围．
（六）一元二次方程根与系数的关系
如果的两个根是，则=__________，=__________．
①，
②，③
（七）不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集
（1）一般地，用不等号“>”，“<”“”“”“”表示不相等关系的式子叫不等式，而只含有一个末知数且末知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式“其标准形式为ax一b>0，或ax一b<0（a0）”．
（2）一个不等式的所有解叫不等式的解集．
（3）两个或两个以上含有相同末知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，称为一元一次不等式组．
（4）组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分，叫这个不等式组的解集．
（八）不等式的基本性质
1．如果，那么；
2．如果，那么， ；
3．如果，那么 ，；
4．如果，那么________号； 5．如果，那么________号
6．反对称性：如果，则 7．传递性：如果，则
性质 文字叙述 数学语言
（I） 不等式的两边加（或减）同一个数或（式子），不等号的方向不变 如果，那么
（II） 不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 如果，那么，
（III） 不等式的两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果，那么 ，
其它性质 如果，那么同号；如果，那么异号反对称性：如果，则传递性：如果，则
（九）一元一次不等式（组）的解法
1．一元一次不等式的解法
即通过去分母．去括号．移项合并同类项，把不等式化为(或)()的形式，再把系数化为1得出不等式的解集．
说明：在去分母和化系数为l时，需特别注意不等式两边同时乘以(或除以)一个负数，要将不等号改变方向，其解集情况如下：
①当时，(或)．
②当时，(或)．
③当时，若，不等式无解(或不等式的解集为一切实数)．
④当时，若，不等式的解为一切实数(或不等式无解)．
2．一元一次不等式组的解法
即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．
两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表(其中)．
口诀 不等式组 解集 在数轴上表示
同小取小
同大取大
大小取中
两背为空 不等式组无解
（十）三个一次”的关系
一元一次不等式与一元一次方程．一次函数之间存在如下关系：
对于一次函数，当时，即变为一元一次方程；当y ＞0（或y＜0时，就成为一元一次不等式．
利用简单的函数图象求不等式的解集：设一次函数与x轴的交点是（1）当时，一元一次不等式的解集为，一元一次不等式的解集为，（2）当时，一元一次不等式的解集为，一元一次不等式的解集为．
二讲题型——题型解析
（一）对方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念的考查．
例1．（2014山东滨州）方程的解是【 】
A． B． C．1 D．2
例2．（2014贵州黔南）二元一次方程组的解是【 】
A． B． C． D．
例3．（2014年山东泰安）方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是【 】
A．x+2y=1 B．3x+2y=﹣8 C．5x+4y=﹣3 D． 3x﹣4y=﹣8
（二）对一元一次方程及其解法、二元一次方程组及其解法的考查．
例1．（2014年山东滨州）解方程：
例2．（2014年福建厦门）解方程组．
（三）对用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的考查．
例1．（2014年内蒙古呼伦贝尔）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是【 】
A．x1=2，x2=1 B．x1=﹣2，x2=1 C．x1=2，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣1
例2．（2014年山东聊城）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为【 】
A． B．
C． D．
（四）对可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法的考查．
例1．（2014年广西贵港）分式方程的解是【 】
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．无解
例2．（2014年黑龙江龙东地区）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是【 】
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
例3．（2014年内蒙古呼和浩特）解方程：
（五）对一元二次方程根的判别式及应用的考查．
例1．（2014年广东深圳）下列方程没有实数根的是【 】
A． B． C． D．
例2．（2014年广东省）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为【 】
A． B． C． D．
（六）对一元二次方程根与系数的关系的考查．
例1．（2014年广西钦州）若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是【 】
A．﹣10 B． 10 C．﹣16 D．16
例2．（2014年江西省南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为【 】
A． B． C． D．
例3．（2014年山东烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是【 】
A．﹣1或5 B．1 C．5 D．﹣1
（七）对不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集的考查．
例1．（2014年广西贺州）不等式的解集在数轴上表示正确的是【 】
A． B． C． D．
例2．（2014年广西来宾）不等式组的解集在数轴上表示正确的是【 】
A． B．
C． D．
（八）对不等式的基本性质的考查．
例1．（2014年广东梅州）若x>y，则下列式子中错误的是【 】
A．x－3>y－3 B． C．x+3>y+3 D．－3x>－3y
（九）对一元一次不等式（组）的解法的考查．
例1．（2014年贵州黔西南）不等式2x﹣4＞0的解集为【 】
A． B． C． D．
例2．（2014年黑龙江龙东地区）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是【 】
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
例3．（2014年湖北天门学业）不等式组的最小整数解是【 】
A． B． C． D．
例4．（2014年江苏南通）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是【 】
A． B． C． D．
（十）对三个一次”的关系的考查．
例1．（2014年四川德阳）已知方程，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是【 】
A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4
例2．（2014荆州）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
　 A． B．
C． D．
三讲方法——方法点睛
（一）解多元方程的基本思路是消元，方法有代入消元法和加减消元法．
（二）解高次方程的基本思路是降次，方法有因式分解法和换元法．
（三）解分式方程的基本思路是转化，通过去分母法或换元法将分式方程化为整式方程．解分式方程一定要检验．
（四）解不等式（组），特别是含字母系数的不等式（组）可以画数轴，通过数形结合的方法解决．
（五）代数式比较大小常用的方法有“差值 ( http: / / www.21cnjy.com )比较法”和“商值比较法”．“差值比较法”适用于比较任何两个代数式的大小，基本步骤是“作差——变形——断号”；“商值比较法”只适用于比较两个同号代数式的大小，基本步骤是“做商——变形——判断商式与1的大小关系”．
四练实题——随堂小练
1．（2014年山东泰安）方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是【 】
A．x+2y=1 B．3x+2y=﹣8 C．5x+4y=﹣3 D．3x﹣4y=﹣8
2．（2014年山东烟台）按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是【 】
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A．x=5，y=﹣2 B．x=3，y=﹣3 C．x=﹣4，y=2 D．x=﹣3，y=﹣9
3．（2014年四川眉山）方程的解是【 】
A． B． C． D．
4．（2014年湖北江汉油田、潜江、天门、仙桃）把不等式组的解集在数轴上表示，正确的是【 】
A． B．
C． D．
5．（2014年湖北天门学业）不等式组的最小整数解是【 】
A． B． C． D．
6．（2014年湖北宜昌）如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是【 】
A． m+n＜0 B． m＜n C． m||n|＞0 D． 2+m＜2+n
7．（2014年湖南长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是【 】
A． x＞1 B． x≥1 C． x＞3 D． x≥3
8．（2014年黑龙江大庆）二元一次方程组的解为 ．
9．（2014年湖南娄底）已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=2，则a的值为 ．
10．（2014年辽宁本溪）关于x，y的方程组的解是，则|m+n|的值是 ．
11．（2014年山东东营）如果实数x，y满足方程组，那么代数式的值为 ．
12．（2014年山东枣庄）已知x、y是二元一次方程组的解，则代数式x2﹣4y2的值为 ．
13．（2014年贵州毕节）不等式组的解集为 ．
14．（2014年福建莆田）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
15．（2014年福建三明）解不等式2（x﹣2）＜1﹣3x，并把它的解集在数轴上表示出来．
16．（ 2014年广西河池）解不等式组：
17．（2014年贵州黔东南）解不等式组 ( http: / / www.21cnjy.com )，并写出它的非负整数解．
五练原创——预测提升
1．（2014年湖南邵阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是【 】
A． B．
C． D．
2．（2014年湖南岳阳）不等式组的解集是【 】
A． x＞2 B． x＞1 C． 1＜x＜2 D． 无解
3．（2014年湖南株洲）一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是【 】
A． B． C． D．
4．（2014年重庆市A）方程组的解是 ．
5．（2014年浙江杭州）设实数x，y满足方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ．
6．（2014年广西北海）解方程组．
7．（2014年广东佛山）不等式组的解集是 ．
8．（2014年广东省）不等式组的解集是 .
9．（2014年贵州安顺）求不等式组的整数解是 ．
10．（2014年广西贺州）已知关于x、y的方程组的解为，求m、n的值．
11．（2014年甘肃白银、定西、平凉、酒泉、临夏）阅读理解：
我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为，如．
如果有，求x的解集．
12．（2014年贵州遵义）解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
13．（2014年黑龙江大庆）求不等式组的整数解．