2015年中考数学二轮专题复习教案：专题08 二次函数的应用一（解决实际问题）

备战2015年中考二轮讲练测
第一篇 专题整合篇
专题08 二次函数的应用一（解决实际问题）（讲案）
一讲考点——考点梳理
二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学 ( http: / / www.21cnjy.com )模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．
应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题．
（一）简单应用
对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系， ( http: / / www.21cnjy.com )并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，进行简单的应用（或者直接给出二次函数的解析式，进行简单应用）．解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式．
（二）建模应用
利用二次函数解决抛物线型问题，一般是先根据 ( http: / / www.21cnjy.com )实际问题的特点建立直角坐标系，设计合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
（三）销售问题
二次函数解决销售问题是我们 ( http: / / www.21cnjy.com )生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．
（四）运用二次函数求实际问题中的最值
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值 ( http: / / www.21cnjy.com )的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解，求最值时，要注意求的答案要符合实际问题．包括二次函数在没有限制条件下的最值，二次函数在给定范围条件下的最值和分段函数求最值．
1．二次函数在没有限制条件下的最值：
二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．
2．二次函数在给定范围条件下的最值：
如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围内，则需要计算当，，时，对应的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值，如果顶点不在此范围内，则只需要计算当，时的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值（或者用二次函数的增减性来解）．
二讲题型——题型解析
（一）对简单应用的考查．
例1．（2014年湖北咸宁）科学家 ( http: / / www.21cnjy.com )为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：
温度t/℃ ﹣4 ﹣2 0 1 4
植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ℃．
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例2．（2014年浙江嘉兴）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1．5时内其血液中酒精含量y（毫克／百毫升）与时间x （时）的关系可近似地用二次函数刻画；1．5时后（包括1．5时）y与x可近似地用反比例函数（k＞0）刻画（如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值 最大值为多少
②当＝5时，y＝45．求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液 ( http: / / www.21cnjy.com )中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班 请说明理由．
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（二）对建模应用的考查．
例3．（2014年湖北江汉油田、潜江、天门、 ( http: / / www.21cnjy.com )仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米．
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（三）对销售问题的考查．
例4．（2014年黑龙江牡 ( http: / / www.21cnjy.com )丹江农垦）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试 ( http: / / www.21cnjy.com )销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．
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例5．某水果批发商销售每箱进价为40元 ( http: / / www.21cnjy.com )的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
例6．某服装店以每件40元的价格购进一 ( http: / / www.21cnjy.com )批衬衫，在试销过程中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（x为正整数）（元）之间符合一次函数关系，当销售单价为55元时，月销售量为140件；当销售单价为70元时，月销售量为80件．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果每销售一件衬衫需支出各种 ( http: / / www.21cnjy.com )费用1元，设服装店每月销售该种衬衫获利为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是多少元？
（四）对运用二次函数求实际问题中的最值的考查．
例7．（2014年福建莆田）某水果店销售 ( http: / / www.21cnjy.com )某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数关系式y2=mx2﹣8mx+n，其变化趋势如图2．
（1）求y2的解析式；
（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？
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例8．（2014德阳）已知0≤x≤，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（　　）
　 A．﹣10.5 B．2 C．﹣2.5 D．﹣6
例9．（2014年浙江义乌）受国内外 ( http: / / www.21cnjy.com )复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：
月份x 1 2 3 4 5 6 7
成本（元/件） 56 58 60 62 64 66 68
8至12月，随着经济环境的好转，原材料 ( http: / / www.21cnjy.com )价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2（元）与月份x的函数关系式为y2=x+62（8≤x≤12，且x为整数）．
（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．
（2）若去年该衣服每件的出厂价 ( http: / / www.21cnjy.com )为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1=0．1x+1．1（1≤x≤7，且x为整数）； 8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2=﹣0．1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．
三讲方法——方法点睛
一、转化思想————实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题．
1、方案设计最优问题：费用最低？利润最大？储量最大？等等．
2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题．
二、建模思想————从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程．
1、建立图像模型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题．
2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题．
3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型．
三、分类讨论的思想————二次函数与其他知识的综合题时经常用到．
四练实题——随堂小练
1．（2014年辽宁沈阳）某种商品每件 ( http: / / www.21cnjy.com )进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为 元．
2．（2014年浙江绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 ．
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3．（2014鄂州）大学生小张利用暑假50 ( http: / / www.21cnjy.com )天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：
销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+．
（1）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系．
（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式．
（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？
五练原创——预测提升
1．（2014眉山）“丹棱冻 ( http: / / www.21cnjy.com )粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．
（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？
（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？
2．（2014潍坊）经统计分析，某市跨 ( http: / / www.21cnjy.com )河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；
（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？
（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．
3．（2014青岛）某企业设计了一款工 ( http: / / www.21cnjy.com )艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 ( http: / / www.21cnjy.com )4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
4．（2014崇左）在平面直角坐标系中，一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（﹣3，0），B（0，﹣3）两点，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．
（1）求一次函数y=kx+b的解析式；
（2）若二次函数y=x2+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n的值；
（3）当﹣3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣4，求m，n的值．
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5．（2014厦门）如图，已知c＜0，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（x2＞x1），与y轴交于点C．
（1）若x2=1，BC=，求函数y=x2+bx+c的最小值；
（2）过点A作AP⊥BC，垂足为P（点P在线段BC上），AP交y轴于点M．若=2，求抛物线y=x2+bx+c顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
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6．（2014资阳）某商家计划从厂家 ( http: / / www.21cnjy.com )采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和17 ( http: / / www.21cnjy.com )00元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
7．（2014安徽省）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．