2015年中考数学二轮专题复习教案：专题09 二次函数的应用二（抛物线与几何图形问题）

备战2015年中考二轮讲练测
第一篇 专题整合篇
专题09　二次函数的应用二
（抛物线与几何图形问题）（讲案）
一讲考点——考点梳理
二次函数：基本性质，解析式.
几何图形：直角三角形、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆.
性质与判定.
数学思想：方程思想、分类讨论思想、数形结合思想.
把复杂图形简单化，能在以二次函数为背景的几何题中寻找基本图形.
二讲题型——题型解析
（一）对抛物线与基本图形的考查.
例1、（2014牡丹江）如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．
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例2.（2014无锡）如图，二次函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．
（1）求点A的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．
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（二）对抛物线与图形面积问题的考查.
例2、（2014温州）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，它们的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F. 已知点A的坐标为（﹣1，0）.
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求△EMF与△BNF的面积之比.
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（三）对抛物线与图形变换问题的考查
例3、(2014黔西南）如图所示，在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时， ( http: / / www.21cnjy.com )过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
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（四）对几何图形中动点产生的二次函数关系的考查
例4、（2015届山东省泰 ( http: / / www.21cnjy.com )安市岱岳区新城实验中学九年级第二次月考数学试卷）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
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（五） 对几何图形中动线产生的二次函数关系的考查
例5、（2015届浙江省宁波市沧田实验 ( http: / / www.21cnjy.com )学校初中部九年级上学期第一次月考数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数的图象是（　　）
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对几何图形中动面产生的二次函数关系的考查
例6、（2015届浙江省台州市书生 ( http: / / www.21cnjy.com )中学九年级上学期期中考试数学试卷）如图，等腰直角三角形ABC（∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4cm，CA与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到C点与N点重合时为止，设△ABC与正方形MNPQ的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致为（ ）
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三讲方法——方法点睛
（一）注意弄清题目中所涉及的概念， ( http: / / www.21cnjy.com )熟悉与之相关的定理、公式、技巧和方法；注意剖析综合问题的结构，弄清知识点之间的联系，善于把一个综合题分成若干个基本题，各个知识点之间的结合部，往往是由一个基本问题转化到另一个基本问题的关键；注意从不同的角度来探索解题的途径，注意运用“从已知看可知”，“从结论看需知”等综合法与分析法来沟通已知条件与结论。
（二）综合使用分析法和综合法，运用方程的思想，，使用分类讨论的思想，运用数形结合的思想，运用转化的思想。
四练实题——随堂小练
1.如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、 ( http: / / www.21cnjy.com )G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是 （ ）
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2.如图，已知矩形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F．设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
3.如图，将边长为4的正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
4.抛物线y=-2x2+4x+1在轴上截得的线段长度是 ．
5．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是　 　．
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6.如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=x2-1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_________.
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五练原创——预测提升
1．如图，点C是以点O为圆心，AB为直 ( http: / / www.21cnjy.com )径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com )B． ( http: / / www.21cnjy.com )C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
2.如图，正方形ABCD中，AB=8 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同 时出发，以1 cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
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3.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象过正方形ABOC的三顶点A、B、C，则的值是 .
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4.如图所示，在抛物线y =－x2上有A，B两点，其横坐标分别为 1 ，2；在y轴上有一动点C，则AC + BC 最短距离为（ ）
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A．5 B. C. D.
5.已知抛物线y＝－x2＋1的顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )为P，点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？( )
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A.始终不相似 B.始终相似
C.只有AB=AD时相似 D.无法确定
6.如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上另一点.且AB//x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 .
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