2015年中考数学二轮专题复习教案：专题07 二次函数的图象与性质

备战2015年中考二轮讲练测
第一篇 专题整合篇
专题07 二次函数的图象与性质（讲案）
一讲考点——考点梳理
（一）二次函数的定义
一般地，形如______________ (其中，、、是常数)的式子，称是的二次函数.
（二）二次函数的性质
开口方向
对称轴 直线_________ 直线_________ 直线_________
顶点坐标 _________ _________ ()
增减性 当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；
最值 当_________时，=_________ 当_________时，=_________ 当时， =（或用代入法）
(1)决定抛物线的开口方向
①开口向上；②开口向下．
(2)决定抛物线与y轴交点的位置
①图象与y轴交点在x轴上方；②图象过原点；③图象与y轴交点在x轴下方．
(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)
①同号对称轴在y轴左侧；②对称轴是y轴；③异号对称轴在y轴右侧，简记为：左同右异中为0．
(4)顶点坐标．
(5)决定抛物线与x轴的交点情况．
①△>0抛物线与x轴有两个不同交点；
②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切)；
③△<0抛物线与x轴无公共点．
(6)二次函数是否具有最大、最小值由a判断．
①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值．
（7）的符号的判定：
( http: / / www.21cnjy.com )
①若对称轴在直线x=1的左侧，则与同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则与异号，若对称轴为直线x=1，则=0，简记为：1的两侧判，左同右异中为0；
②若对称轴在直线的左侧，则与异号，若对称轴在直线的右侧，则与同号，若对称轴为直线，则=0，简记为：－1的两侧判，左异右同中为0；
③当时，，所以的符号由时，对应的函数值的符号决定；
当时，，所以的符号由时，对应的函数值的符号决定；
当时，，所以的符号由时，对应的函数值的符号决定；
当时，，所以的符号由时，对应的函数值的符号决定；
简记为：
表达式，请代值，对应y值定正负；
对称轴，用处多，三种式子相约；
轴两侧判，左同右异中为0；
1的两侧判，左同右异中为0；
-1两侧判，左异右同中为0.
（三）二次函数的解析式
①一般式：(，用于已知三点，求抛物线的解析式.
②顶点式：，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式.
③交点式：，其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x轴上的截距，也可用此式.
（四）二次函数的增减性
当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少.
（五）二次函数图象的平移
方法一：顶点法
二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。
方法二：直接法
如果y是x的函数，则可以用直接法。平移规律如下：
左右平移变x，左+右－；上下平移变常数项，上+下-；平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找.
（六）对称：
关于x轴对称的解析式为，关于y轴对称的解析式为，关于原点轴对称的解析式为，在顶点处翻折后的解析式为（a相反，定点坐标不变）.
（七）二次函数的最值
（1）一般二次函数求最值
根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。
（2）给定自变量取值范围求二次函数的最值
①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。
②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。
（3）分段函数求最值
根据（2）中的方法求出每一段的最大（小）值，最后比较得出整个函数的最大（小）值。
（八）二次函数与不等式（组）
若，则的解集是x轴上方的图象对应的自变量x的取值范围，的解集是x轴下方的图象对应的自变量x的取值范围。
二讲题型——题型解析
（一）对二次函数的定义的考查
例1．【2015闸北区一模】在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y=x2 B．y= C．y=kx2 D．y=k2x
（二）对二次函数的性质的考查
例2 【2014宁夏】已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
例3 【2014南充】二次函数y=ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．
其中正确的有（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x==1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为性质x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧 ( http: / / www.21cnjy.com )，而对称轴为性质x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=，∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．
故选D．
考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．数形结合．
例4 【2014新疆】对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
例5【2014泰安】二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
下列结论：（1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
例6 【2014宁波】已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（　　）
A．（﹣3，7） B．（﹣1，7） C．（﹣4，10） D．（0，10）
（三）对二次函数的解析式的考查
例7 【2014淄博】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（　　）
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A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2
例8 【2014成都】将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　）
A．y=（x+1）2+4 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2+4 D．y=（x﹣1）2+2
（四）对二次函数的增减性的考查
例9 已知二次函数，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）
　 A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
例10 【2015东西湖区校级模拟】若点A ( http: / / www.21cnjy.com )（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y=x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
（五）对二次函数图象的平移的考查
例11 【2014荆州】将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）
A．y=（x﹣4）2﹣6 B．y=（x﹣4）2﹣2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x﹣1）2﹣3
例12 抛物线y=x2+b ( http: / / www.21cnjy.com )x+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（　　）
A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2
例13 在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（　　）
　A．y=3（x﹣3）2+3 B．y=3（x﹣3）2﹣3 C．y=3（x+3）2+3 D．y=3（x+3）2﹣3
（六）对二次函数图象对称的考查：
例14 关于x轴对称的解析式为______________，关于y轴对称的解析式为______________，关于原点轴对称的解析式为______________，在顶点处翻折后的解析式为______________。
（七）对二次函数的最值的考查
例15 二次函数y=x2﹣4x+5的最小值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
例 16 【2014德阳】已知0≤x≤，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（　　）
A．﹣10.5 B．2 C．﹣2.5 D．﹣6
例17 已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（　　）
　 A．﹣2 B．0 C．2 D．2.5
例18 【2014鄂州】大学生小张利用 ( http: / / www.21cnjy.com )暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：
销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+．
（1）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系．
（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式．
（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？
（八）对二次函数与不等式（组）的考查
例19 【2014黄石】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
三讲方法——方法点睛
（一）数形结合思想
由于二次函数（数）的图像是抛物线（形），故有二次函数抛物线的内在联系，二次函数的性质由图像反映出来，反之抛物线刻画二次函数的性质，能直观、形象地反应问题，因此数形结合思想有着广泛的应用。
（二）分类讨论思想
分类是按照数学对象的相同点 ( http: / / www.21cnjy.com )和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。正确的分类，必须是周全的，既不重复，也不遗漏。
（三）转化（或化归）思想
转化思想：就是化未知为已知、化繁为简、化难为易。如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题。将四边形问题化为三角形问题等。
（四）函数及方程思想
在实际中，根据已知条件、公式和定理，建立函数或方程等数学模型，再根据它们的性质或图像解决问题，就是函数和方程思想。
（五）二次函数的增减性在对称轴两边发生变化，如果所给点在对称轴同侧，则可由增减性直接判断，若所给点在对称轴两侧，则可用对称轴来进行转化，从而是所有点都在对称轴同侧.
四练实题——随堂小练
1．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是【 】
( http: / / www.21cnjy.com )
A． c＞0 B． 2a+b=0 C． b2﹣4ac＞0 D． a﹣b+c＞0
3．如果函数y=（a﹣1）x2是二次函数，那么a的取值范围是 ．
4．设抛物线y=ax2+bx+c（ ( http: / / www.21cnjy.com )a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 ．
5．将抛物线y=（x﹣3）2+1先向上平移2 ( http: / / www.21cnjy.com )个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为 ．
6．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3.125 B．4 C．2 D．0
7．受国内外复杂多变的经济 ( http: / / www.21cnjy.com )环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：
　
8至12月，随着经济环境 ( http: / / www.21cnjy.com )的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2（元）与月份x的函数关系式为y2=x+62（8≤x≤12，且x为整数）．
（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．
（2）若去年该衣服每件的出厂价为100 ( http: / / www.21cnjy.com )元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤7，且x为整数）； 8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2=﹣0.1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．
五练原创——预测提升
1．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
3．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
4．已知二次函数y=ax2+bx+c（ ( http: / / www.21cnjy.com )a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④
5．若二次函数y=x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
6．在平面直角坐标系中，若将抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )y=2x2﹣4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（4，3）
7．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是 ．
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8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．
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