2024年广东省普通高中合格性考试数学模拟冲刺卷（四） 参考答案：
1．D
【分析】先根据题意求，再结合并集的概念求答案.
【详解】因为全集， 集合，
所以，
又因为集合，所以，
故选：D.
2．D
【分析】直接解不等式即可.
【详解】由，解得，
即不等式的解集为，
故选：D.
3．A
【分析】先计算出，进而求出的值.
【详解】，故.
故选：A
4．B
【分析】利用向量加法的坐标表示，求出的坐标
【详解】.
故选：B.
5．B
【分析】根据函数奇偶性的定义，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，为定义域内的单调递增函数，为非奇非偶函数，
对于B，定义域为全体实数，且，故为偶函数，
对于C，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，
对于D，的定义域为全体实数，但是，故为奇函数，
故选：B
6．B
【分析】由样本数据第百分位的定义求解即可得出答案.
【详解】因为人成绩的第百分位数是，
而，即第位与第位的平均值，
所以是这人成绩的第百分为数.
故选：B.
7．C
【分析】由线面位置关系的判定，分析选项中结论是否正确.
【详解】A选项，缺条件，结论不成立；
B选项，直线与直线可能平行可能异面，结论不成立；
C选项，由直线与平面垂直的定义可知，结论正确
D选项，直线可能与平行，可能在内，也可能与相交，不一定满足垂直，结论不成立.
故选：C
8．B
【分析】根据函数的奇偶性以及函数值求解.
【详解】函数的定义域为，
，所以函数为偶函数，C,D错误；
又因为，
当时，，；
当时，；
当时，，，故A错误，B满足题意；
故选:B.
9．B
【分析】变形后由基本不等式求出最值.
【详解】因为，所以，
当且仅当,即时，等号成立.
故选：B
10．C
【分析】根据中间值0与指数、对数函数的单调性判断大小即可.
【详解】由对数函数的单调性可知，，即.
函数在R上减函数，于是，即.
所以．
故选：C.
11．D
【分析】根据函数的平移法则即可求解.
【详解】因为，所以把图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数的图象
故选：D.
12．C
【分析】利用三角形面积公式及四面体表面积的意义计算即得.
【详解】棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，
其表面积为：.
故选：C
13．2
【分析】根据偶函数的性质可知，
【详解】因为是偶函数，所以，解得.
故答案为：2
14．/-0.75
【分析】由已知条件利用诱导公式求得，则有，可求.
【详解】由，得，
又因为为钝角，所以，所以．
故答案为：
15．
【分析】利用列举法，根据古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】同时投掷枚质地均匀的骰子，基本事件有：
，
，
，
，
，
，共种，
其中点数相同的有，共种，
所以所得点数相同的概率是.
故答案为：
16．
【分析】利用平面向量的数量积与向量垂直的关系，结合坐标运算求解即可.
【详解】因为向量，， ，
所以，解得.
故答案为：1.
17．
【分析】设该正方体的棱长为，由正方体的性质得得到对角线，也就是外接球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式得到关于的方程，求解即得.
【详解】设该正方体的棱长为，则该正方体的外接球的半径为.
由，得,
故答案为：.
18．//
【分析】运用余弦定理解三角形即可.
【详解】在中，由余弦定理知，
又，所以，
又，所以.
故答案为：.
19．(1)5
(2)，
【分析】（1）根据正弦定理即可求解，
（2）根据余弦定理求解角度，即可由面积公式求解.
【详解】（1）由正弦定理，得
（2）由余弦定理，所以
20．（1）2400（元）；（2）应将售价定为125元，最大销售利润是2500元.
【分析】（1）由销售利润=单件成本×销售量，即可求商家降价前每星期的销售利润；
（2）由题意得，根据二次函数的性质即可知最大销售利润及对应的售价.
【详解】（1）由题意，商家降价前每星期的销售利润为（元）；
（2）设售价定为元，则销售利润.
当时，有最大值2500.
∴应将售价定为125元，最大销售利润是2500元.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面；
（2）利用等体积法，求三棱锥的体积.
【详解】（1）证明：因为在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以，
三角形ABC的面积，
三棱锥的体积.
22．(1)
(2)平均数为；中位数约为42.1
(3)
【分析】(1)用频率分布直方图的面积和为直接求出；
(2)用平均数，中位数的意义可求；
(3)古典概率问题，先求出不同年龄段抽取的人数，再用古典概率公式求出结果.
【详解】（1）由图可知，
解得．
（2）平均数为．
设中位数为x，由已知可得．
且，
解得，即中位数约为42.1．
（3）年龄在和这两组的人数分别为30，20，
则年龄在的应抽取3人，年龄在的应抽取2人，
设“从这5人中任选3人，年龄在内的至少有2人”为事件A，
则．2024年广东省普通高中合格性考试数学模拟冲刺卷（四）
一、单选题
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集为（ ）
A． B．或 C． D．
3．已知函数，则函数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
4．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第百分位数是85，则（ ）
A．65 B．70 C．75 D．80
7．已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．若，则的最小值为（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．
10．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝（ ）的图象
A． B． C． D．
12．已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，则其表面积为（ ）
A．12 B． C． D．
二、填空题
13．已知是偶函数，当时，，且，则 .
14．已知为钝角，且，则 ．
15．同时投掷枚质地均匀的骰子，所得点数相同的概率是
16．已知向量，，若，则实数
17．已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的棱长为 ．
18．的内角，，所对的边分别为，，.已知，则 ．
三、解答题
19．在中，角，，的对应边分别为a，b，c，，且.
(1)求边的长；
(2)求角大小及的面积.
20．汕头市某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
21．如图，在正方体中，E是的中点.
(1)求证：平面；
(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
22．国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识．为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；
(3)现要从年龄在与的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率．
