广东省信宜市2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（含解析）

信宜市2023-2024学年高一上学期1月月考
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
3. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
4．在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A． B．
C． D．
5. 命题：是第二象限角或第三象限角，命题：，则是的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．函数的部分图象大致为 （ ）
A． B． C． D．
7．据中国地震台测定，2023年11月20日在宁夏灵武市发生了4级地震，里氏震级可以测出最大振幅，其计算公式为.其中是被测地震的最大振幅，是0级地震的振幅，则8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的几倍（ ）
A．400 B． C．1000 D．10000
8. 若为第二象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列命题正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．函数的单调递增区间为
C．函数的值域为
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
10. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. 为第二象限角 B.
C. D.
12. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为 B. 的最小值为8
C. 的最大值为 D. 的最大值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. = ．
14．函数，且的图象过定点 .
15.若幂函数的图象经过点，则的解析式为 .
16．函数满足对任意都有，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算骤.
17.(10分） 化简下列各式：
（1）.
（2）.
18．（12分）已知函数的定义域为.
（1）求实数的取值集合；
（2）设为非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
19．（12分）已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知，且在上恒成立，求的取值范围；
20. （12分）某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销．通过市场分析发现，生产此款手机全年需投入固定成本280万元，每生产x千部手机，需另投入成本万元，且假设每部手机售价定为0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出全年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
（2）当全年产量为多少千部时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
21. （12分）已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值.
（2）试判断的单调性，并用定义证明.
（3）解关于的不等式.
22．（12分）已知函数．
(1)若函数在为单调函数，求a的取值范围；
(2)当，解不等式．
信宜市2023-2024学年高一上学期1月月考
数学试题参答案
一、单项选择题：
1. B【详解】，，故，
，故.故选：B
D【详解】，，，
故.故选：D
3.B【详解】函数在上单调递增，
，，
故函数零点所在的区间为.故选：B
4.A【详解】因为角的终边经过点，则，
故.故选:A.
5.C【详解】若是第二象限角或第三象限角，则；
若，取，，此时不是第二象限角或第三象限角；
综上所述：是的充分不必要条件.故选：C.
6．D【详解】因为，所以排除选项C.
因为，所以为偶函数，排除选项A.
因为，，所以排除选项B.
故选：D.
7.D【详解】由， 则8级地震时有：，即，
同理4级地震时有，
则，即，
即.故选：D.
8.C【详解】，故，
故，故，
.故选：C.
二、多项选择题：
9.ABD【详解】对于A，由全称量词命题的否定知；原命题的否定为，A正确；
对于B，中，
解得，定义域为，又的增区间为，
由复合函数同增异减可得，函数的单调递增区间为，故选项B正确；
对于C，令，则且，，则当时，，
的值域为，C错误；
对于D，令，解得：，的定义域为，D正确．故选：ABD．
10.BC【详解】对选项A：定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项B：定义域为，，
函数为奇函数，和单调递增，故函数单调递增，正确；
对选项C：定义域为，，
函数为奇函数，单调递增，单调递增，故单调递增，正确；
对选项D：，，函数不是增函数，排除.故选：BC.
11.ABD【详解】由同角三角函数平分关系可得，
，因为，所以，解得，,
因为，所以是第二象限角，故选项，正确，
有同角三角函数商数关系可得，，故选项错误，
因为，故选项正确.
故选：.
12.【详解】∵，，且，∴由基本不等式可得，，解得，
当且仅当，即时等号成立，故A错误；
，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
∵，，且，∴，，
∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的最大值为，故C正确；
，故D错误．故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【详解】.
14．【详解】令，则，此时在上无论取何值，的值总为1，
故函数的图象过定点.故答案为：
15.【详解】令幂函数，且过点，则，所以.
故答案为：
16.【详解】由可知函数在上单调递增，所以，
解得，故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算骤.
17.解:(1)
……………2分
……………3分
……………4分
……………5分
……………9分
……………10分
18.解:（1）可知在上恒成立， ……………1分
当时，，成立； ……………2分
当时，，解得； ……………3分
综上所述，. ……………5分
所以集合 ……………6分
（2）因为是的必要不充分条件.所以， ……………7分
故, ……………9分
解得 ……………11分
所以实数的取值范围是. ……………12分
19.解:（1）解：当时，， ……………1分
所以，即，解得或， ……………2分
所以不等式的解集为：； ……………4分
（2）因为，且在上恒成立，
则二次函数图象的开口向上，且对称轴为， ……………5分
所以在上单调递增，则， ……………7分
又在上恒成立，转化为， ……………9分
所以，解得， ……………11分
故实数的取值范围为. ……………12分
20.解:(1)当时，
， ……………1分
当时，，………3分
所以 ……………5分
(2) 若，则， ……………6分
当时，； ……………7分
若，则， ……………9分
当且仅当，即时，等号成立，此时． ……………10分
因为， ……………11分
所以当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元． ……………12分
解:(1)定义域为的函数是奇函数，
则，， ……………1分
所以，， ……………2分
所以， ……………3分
所以函数f(x)为奇函数； ……………4分
(2)函数在上单调递减.
设，则， ……………5分
，， ……………6分
故，故，即， ……………7分
故函数在上单调递减. ……………8分
(3)是定义在上的减函数和奇函数，
，即， ……………9分
即，，即， ……………11分
解得. ……………12分
22.解:（1）①当a＝0时，在上单调递减，符合题意； ……………1分
②当时，对称轴，由题意得或， ……………2分
∴或， ……………3分
综上，所求a的取值范围是． ……………4分
（2）①当a＝0时，；∴． ……………5分
②当a＞0时，由得x＝1或，
（i）当即时，， ……………6分
（ii）当即时，， ……………7分
（iii）当即时，， ……………8分
综上，当a＝0时，所求不等式的解集为． ……………9分
当时，所求不等式的解集为， ……………10分
当时，所求不等式的解集为， ……………11分
当时，所求不等式的解集为． ……………12分