第11~12章 三角形与全等复习公开课 课件(共21张PPT)2023-2024学年人教版八年级数学上册

(共21张PPT)
《三角形和全等三角形》
三角形
概念
性质
关系
特例
定义
表示
分类
要素
角
边
两边之和大于第三边
内角和180°
n边形内角和：（n-2）180°
相关要素
中线
重心、倍长中线
角平分线
内心、角平分线性质和判定
高
高在形外或形内，面积
外角
外角和内角关系，外角和360°
全等
等腰三角形
直角三角形
期末复习
（1）以题点知，梳理知识结构
【问题1】如图：点E在AC上，AB=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并说明依据，所添条件：________;依据 ：_____。____≌____
追问1：还可以怎么添加条件
追问2：根据你添加的条件，还可以得到哪些三角形全等
追问3：如果将题中条件“AB=AD”，改为“∠ABC=∠ADC=90°”，又该怎么添加条件？
A
B
C
D
E
判定：SSS，SAS，ASA，AAS，HL
性质：对应边相等，对应角相等
全等三角形
作用：证线段等、角等的工具
期末复习
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？
A
B
C
D
已知：△ABC和△ABD满足AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC和△ABD不全等。
说明：由两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。即SSA不能作为证两个三角形全等的依据
思考：由两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，图中举出反例给出的对角为锐角，所画三角形不唯一。
若对角为直角，所画三角形是否唯一？（HL）
若对角为钝角，所画三角形是否唯一？
（2）辩证思考，完善知识结构
已知：△ABC和△DEF中就，满足AB=DE，AC=DF，∠B=∠E＞90°
问：△ABC和△DEF是否全等？若全等，请证明，若不全等，请举反例
H
B
C
G
D
E
A
F
先证：△ABG ≌△DEH（AAS），再证△AGC ≌△DHF（HL），得∠C=∠F。
可证：△ABC ≌△DEF（AAS）
【问题2】根据下列条件，能画出唯一△ABC的有_________________（填序号）
①∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°；②AB=1，BC=2，AC=3;
③AB=3，BC=4，∠A=120°； ④AB=3，BC=4，∠A=90°；
⑤AB=3，BC=4，∠B=120° ； ⑥AB=6，BC=3，∠A=30°
期末复习
（3）加强多板块知识的整合式复习
（201 9年区统考试题22题）
如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG。
（1）求证：OC是∠AOB的平均线。
（2）若PF//OB，且PF=8，∠AOB=30°，求PE的长
O
E
F
G
B
P
D
A
C
（1）考察12章用HL证全等＋角平分线的判定；
（2）考察13章：两直线平行同位角相等
△DPF为 30°直角三角形，计算PD的长度
（2020年区统考试题22题）
如图，在△ABC中，已知CD平分∠ACB，∠B＝70°．
（1）动手操作：作∠BAC的角平分线AE，交CD于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）综合应用：在你所作的图中．
①求∠AEC的度数；
②连接BE，求证BE平分∠B．
A
B
C
D
（1）考察12章尺规作图
（2）①考察11章：双内角平分线角度计算
② 考察12章：角平分线判定（证明三 角形三条角平分交于一点）
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E。
（1）若∠ABC=35°，∠ACB=75°，求∠BDC的度数
（2）若DE=4，BC=9，求△BCD的面积
A
B
C
D
E
F
追问：（3）在（2）的条件下，若AB+AC=12,求△ ABC 的面积。
面积的分割方法和三角形面积的另一种求法
A
B
C
D
E
F
如图，△ABC的两外角∠BCD，∠CBE的平分线交于点P.
(1)求证：AP平分∠BAC；
(2)若∠CAB＝70°，求∠CPB的度数.
(3)若 =6，BC=2，求AC+AB的值
A
B
C
D
E
N
M
F
思考：△ ABC 的面积和△ ABC 三边和PN的关系？
F
（1）12章角平分线的性质和判定
（2）11章两外角平分线形成角计算问题
（3）综合考察
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8，AC=6，BC=12
（1）求
（2）求证：；
（3）求BD的长。
（1）角平分线的性质→两三角形等高
（2）换底BD和CD两三角形同高
（3）分式方程
A
B
C
D
（4）回归课本，重视经典习题变式
（书本P52#7）如图, ∠B=∠C=90° , E是BC的中点, DE平分∠ADC.
求证：AE是∠DAB的平分线.
变1：此题还能够得哪些结论.
（1）AB+CD=AD;
（2）∠DEA=90°
（3）
（4）
（5）AD×CE = AE×DE
开放性题目，便于深度学习
A
B
C
D
E
F
（书本P52#7）如图, ∠B=∠C=90° , E是BC的中点, DE平分∠ADC.
求证：AE是∠DAB的平分线.
A
B
C
D
E
F
变2：如图, ∠B=∠C=90° ,AE是∠DAB的平分线, DE平分∠ADC.
求证： E是BC的中点
变3：如图, ∠B=∠C=90° ,AD=AB+DC, DE平分∠ADC.
求证： E是BC的中点.
变4：如图, ∠B+∠C=180° ,E是BC的中点, DE平分∠ADC.
求证：AE是∠DAB的平分线.
A
B
C
D
E
（5）立足数学模型，生成思想方法
O
A
D
E
B
P
C
基础点：已知：OC平分∠AOB，PE⊥OB于E,PD⊥OD于F
结论：（从两个三角形看）
___________________________________________________
（从四边形看）
___________________________________________________
△ OEP≌△ ODP OE= OD、PE=PD、PO平分∠EPD
四边形 OEPD是对角互补四边形
（多题一法）
O
A
D
E
B
P
C
O
A
D
E
B
P
C
O
A
D
E
B
P
C
【变式】如图：射线OC平分∠AOB，∠PEO+∠PDO=180°，你能从图中得到
那些结论？并证明。
_____________________________________________________________
四边形 OEPD是对角互补四边形 ∠PDA=∠OEP PD=P E
【例5】（2022年区统考）如图，OC是∠AOB平分线，P为OC上的一点，∠MPN的两边分别与OA、OB相交于点M、N.
（1）如图8-1，若∠AOB=90°，∠MPN=90°，过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F,请判断PM与PN的数量关系，说明理由；
（2）如图8-2，若∠AOB=120°，∠MPN=60°，求证：OP=OM+ON
C
O
A
E
M
P
F
N
B
O
A
E
M
P
F
N
B
C
图8-1
图8-2
（多题一法）
O
A
E
M
P
F
N
B
C
过P 作PE⊥OM ，PF ⊥OB
四边形 MONP是对角
互补四边形
PE=PF
∠PMO=∠PNB
△ MEP ≌△ NFP
ME=NF
△OEP和△OFP均
为有一个角为30°
的直角三角形
OP=2OE,OP=2OF
OP=OE+OF
OP=OM-ME+ON+NF
OP=OM+ON
（多题一法）
调整辅助线方法：取OP=OB，构造等边△ FOP，证NF=OM，
则证△ MOP ≌△ NFP（AAS）
O
A
M
P
N
B
C
F
四边形 MONP是对角互补四边形
∠PMO=∠PNB
若证△ MOP ≌△ NFP
需证 MP=PN
回到做垂线的作法
OP=OM+ON
补短：取OM=NF
（多题一法）
（2020年区统考）如图，在△ABC中，AB=AC，点M是线段BC中点，∠BAC=30°.
（1）如图1，若点D、E分别在边AB、AC上，且MD⊥AB，ME⊥AC，求证MD=ME；
（2）如图2，若点P在边AB上，点Q在边AC的延长线上，且∠PMQ=150°，求证MP=MQ.
A
C
B
M
D
E
A
C
B
M
P
Q
四边形 APMQ是对角互补四边形
AM平分∠PAQ
（多题一法）
如图，等边△ABC的边长为1，D是BC中点，点E、F分别位于AB、AC边上，
且∠EDF=120°
（1）求证：DE=DF；
（2）当BE、DE、CF能围成一个三角形时，求出这个三角形最大内角的度数；
（3）AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.
（多题一法）
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
四边形 AEDF是对角互补四边形
AD平分∠BAC
（6）多层面、多角度变式探究
1. 图（1）已知△ABD和△AEC是等腰直角三角形，∠A=90°，问：BE和CD关系？
2. 图（2）将△ABD绕点A逆时针旋转一定度数.找出图中全等三角形，探究BE和 CD关系？
3. 将△ABD绕点A旋转图（3）位置，问题2的结论成立吗？
A
D
B
C
E
（1）
A
B
C
D
E
（2）
A
B
C
D
E
（3）
4. 将△ABD绕点A旋转图（4）位置，问题2的结论成立吗？
5.图（4）连接 AF，证明：∠BFA=∠CFA.(角平分线判定)
6. 图（5），过点A作AM⊥BC于M，分别过E,D作EG⊥AM于G, DH⊥AM 于H，
连接DE交GM于点N,求证：DN=EN.（两个三垂直模型）
A
D
B
C
E
（4）
F
H
A
B
C
G
M
D
E
H
N