2022-2023学年山东省烟台市蓬莱区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市蓬莱区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若分式的值为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.利用计算器求一组数据的平均数．其按键顺序如下：
，则输出的结果为( )
A. B. C. D.
4.有一组从小到大排列的数据：，，，，，下列结论中，正确的是( )
A. 这组数据可以求出极差 B. 这组数据的中位数不能确定
C. 这组数据的众数是 D. 这组数据的平均数可能是
5.从某多边形的一个顶点出发，可以作条对角线，则这个多边形的内角和与外角和分别是( )
A. ； B. ； C. ； D. ；
6.如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格线的格点上，将绕点顺时针方向旋转，得到，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长为( )
A. B. C. D.
8.下列命题中，正确的命题是( )
A. 菱形的对角线互相平分且相等
B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形
C. 矩形的对角线互相垂直平分
D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形
9.一辆汽车开往距离出发地千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前分钟到达目的地设汽车原计划的行驶速度为千米小时，由题意可列出的方程是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在 中，的平分线交于点，交的延长线于点，的平分线交于点，交的延长线于点，与交于点，连接，下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.某公司要招聘职员，竞聘者需通过计算机、语言表达和写作能力测试，李丽的三项成绩百分制依次是分，分，分，其中计算机成绩占，语言表达成绩占，写作能力成绩占，则李丽最终的成绩是______分．
12.已知，，则多项式的值为______ ．
13.若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______ ．
14.如图，的边长，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为______．
15.如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为，则的值为______ ．
16.如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
将下列各式因式分解：
；
．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中在一组未排序的数据、、、、、中，已知这组数据的极差是．
20.本小题分
如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
将向右平移个单位长度，画出平移后的；
画出关于轴对称的；
将绕原点旋转，画出旋转后的．
设为中任意一点，的坐标为则点在中的对应点的坐标是______ ，点在中的对应点的坐标是______ ，点在中的对应点的坐标是______ ．
21.本小题分
“文明礼仪”在人们长期生活和交往中逐渐形成，并以风俗、习惯等方式固定下来的我们作为具有五千年文明史的“礼仪之邦”，更应该用文明的行为举止，合理的礼仪来待人接物为促进学生弘扬民族文化、展示民族精神，某学校开展“文明礼仪”演讲比赛，八年级班，八年级班各派出名选手参加比赛，成绩如图所示．
根据图，完成表格：
平均数分 中位数分 极差分 方差
八年级班 ______ ______
八年级班 ______
结合两班选手成绩的平均分和方差，分析两个班级参加比赛选手的成绩；
如果在每班参加比赛的选手中分别选出人参加决赛，从平均分看，你认为哪个班的实力更强一些？说明理由．
22.本小题分
如图，在平行四边形中，是对角线上的一点，过点作，且，连接，，．
求证：；
若，求证：四边形为菱形．
23.本小题分
某商场用元购进了一批服装，由于销路好，商场又用元购进了第二批这种服装，所购数量是第一批同进量的倍，但单价贵了元，商场在出售该服装时统一按照每件元的标价出售，卖了部分后，对剩余的件，商场按标价的折进行了清仓处理并全部售完求：
商场两次共购进了多少件服装？
两笔生意中商场共盈利多少元？
24.本小题分
问题情境：
如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点延长交于点，连接，
猜想证明：
试判断四边形的形状，并说明理由；
如图，若、请猜想线段与的数最关系并加以证明，解决问题；
如图，若的面积为，，请直接写出的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
是中心对称图形，故本选项符合题意；
不是中心对称图形，故本选项不合题意；
是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2.【答案】
【解析】【分析】
根据分式值为的条件列出关于的不等式组，求出的值即可．
本题考查的是分式的值为的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
【解答】
解：分式的值为零，
，解得．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由题意得：
，
输出的结果为，
故选：．
根据题意，求的是，，和的平均数是多少，用这四个数的和除以即可．
本题考查了计算器平均数，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、这组数据的最大值与最小值的差为，故极差为，故本选项符合题意；
B、这组数据的中位数是，故本选项不符合题意；
C、出现了次，次数最多，但当时，和都是该组数据的众数，故本选项不符合题意；
D、若这组数据的平均数等于，可求出，但该组数据为从小到大排列，故本选项不符合题意．
故选：．
分别根据众数、平均数、极差、中位数的定义解答．
本题考查了极差、算术平均数、中位数、众数，知道各统计量是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：多边形的边数是，
则内角和是，外角和为；
故选：．
首先根据从一个多边形的一个顶点出发，一共可以作条对角线，可以得到是七边形，然后利用多边形的内角和、外角和定理即可求解．
本题考查了多边形的内角和定理和多边形的边数与对角线的条数之间的关系，理解多边形是七边形是关键．
6.【答案】
【解析】解：由图知，旋转中心的坐标为，
故选：．
选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点．
本题主要考查坐标与图形的变化旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
7.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
又，
，
的周长是，
，
点，分别是线段，的中点，
是的中位线，
．
故选C．
根据，可得出出，继而求出，判断是的中位线即可得出的长度．
本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
8.【答案】
【解析】解：、菱形的对角线互相平分且垂直，说法错误，不符合题意；
B、顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，说法正确，符合题意；
C、矩形的对角线互相相等平分，说法错误，不符合题意；
D、顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
故选：．
根据矩形的判定、菱形的判定和正方形的判定判断即可．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
9.【答案】
【解析】解：若原计划速度为千米小时，则提速后的速度为千米小时，
根据题意得：．
故选：．
若原计划速度为千米小时，则提速后的速度为千米小时，利用时间路程速度，结合提速后比原计划提前分钟到达目的地，即可列出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，同理可证，
，
，
，故C正确，
，，
，故A正确，
，
，
，
，
，同理可证，
，
，故B正确，
无法证明，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：由题意可得：分．
故答案为．
利用加权平均数的求法计算即可得出答案．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求，，这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．
12.【答案】
【解析】解：，
，，
原式．
故答案为：．
将多项式中含有字母的式子因式分解，然后整体代入可得结果．
本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是利用整体代入思想解决问题．
13.【答案】且
【解析】解：去分母，得：
，
去括号，移项，合并同类项，得：
．
关于的分式方程的解为正数，
．
又
．
，
解得：且．
故答案为：且．
利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式；又分式方程有可能产生增根，所以分式方程的解不等于，根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到的取值范围．
本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解并注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：将沿方向平移，得到，
，，，
阴影部分的周长，
故答案为：．
根据平移的性质可得，然后判断出阴影部分的周长的周长，然后代入数据计算即可得解．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
15.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，
点是的中点，是的中位线，
，，
，
是的中点，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
的面积为，
，
，
故答案为：．
取的中点，连接，根据三角形的中位线定理可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形的面积相等可得，再求出，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，即可得解答案．
本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线，利用三角形的中位线进行解题是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是菱形，
，，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
当取最小值时，的值最小，
当时，最小，
，
，，
，，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，根据三角形的面积公式结论得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
17.【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．
【解析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
18.【答案】解：
；
．
【解析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可；
先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
19.【答案】解：
；
当数据、、、、、中为最大值时，则，即，
当时，原式；
当数据、、、、、中为最小值时，则，即，
当时，原式．
【解析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据极差的定义求出的值，最后代值计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，极差，正确计算是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：根据平移规律上加下减，左减右加，找到点、、，连接、、可得，如图所示，
根据对称的性质对称轴垂直平分对应点连线找到点、、，连接、、可得，如图所示，
根据旋转的性质找到、、，连接，，可得，如图所示，
根据平移规律上加下减，左减右加，可得的坐标是；
根据对称的性质对称轴垂直平分对应点连线，可得的坐标是；
依据绕原点旋转，旋转后的，得的坐标是．
根据平移规律上加下减，左减右加，找到点、、，连接、、即可得到答案；
根据对称的性质对称轴垂直平分对应点连线找到点、、，连接、、即可得到答案；
根据旋转的性质找到、、，连接，，即可得到答案；
根据的性质规律即可得到答案．
本题考查作平移图形、轴对称图象、中心对称图象及求坐标，解题的关键是熟练掌握几种对称的性质．
21.【答案】
【解析】解：共有个人，八的成绩分别是，，，，，
把这组数据从小到大排列为，，，，，
这组数据的中位数是分，
方差是：；
八的极差是：；
故答案为：、、．
如下表：
平均数分 中位数分 极差分 方差
八年级班
八年级班
两个班平均分相同，八年级班的方差小，则八年级班选手的成绩总体上较稳定．
八年级班前三名选手的平均成绩为：分，
八年级班前三名选手的平均成绩为：分，
八年级班实力更强一些．
根据条形统计图给出的数据，把这组数据从小到大排列，找出最中间的数求出中位数，再根据方差的计算公式进行计算，以及极差的定义即可得出答案；
根据两个班的平均分相同，再根据方差的意义即可得出答案；
根据平均数的计算公式分别求出八班、八班的平均成绩，再进行比较即可得出答案．
此题考查了平均数、中位数、方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
≌，
；
，且，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
≌，
，
，，
，
，
四边形是菱形．
【解析】证≌，即可得出结论；
先证四边形是平行四边形，再证即可解决问题．
本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键，属于中考常考题型．
23.【答案】解：设商场第一次购进件服装，则第二次购进件服装，根据题意，得，
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
件，
答：商场两次共购进了件服装；
元，
答：共盈利元．
【解析】设商场第一次购进件服装，则第二次购进件服装，根据题意．列出方程，即可求解；
根据销售这两批服装的总收入总成本所获利润，即可得到答案．
本题考查了分式方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．
24.【答案】解：四边形是正方形．理由如下：
将绕点按顺时针方向旋转，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
；理由如下：
如图，过点作于点，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
≌，
．
将绕点按顺时针方向旋转，
．
四边形是正方形，
，
，
；
，理由如下：
作于，如图．
由可知，≌，
由将绕点按顺时针方向旋转得可知，
≌，
≌≌，
，
，
设，则，
由得，
解得，
，
四边形是正方形，
，
在中，
，
，
四边形是正方形，
，
，
．
【解析】根据旋转性质得到，，再由题意可得，，即可得四边形是正方形；
过点作于点，可证明≌，则有，根据正方形的性质即可解决；
作于，设，由求得，在中，由勾股定理得，由即可求出．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，证明≌是关键．
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