2023-2024学年江苏省连云港高级中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省连云港高级中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.若命题：，，则命题的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的最小值为( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.设是定义在上的奇函数，则( )
A. B. C. D.
7.当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足，当时，恒成立，设，，，则( )
A. B. C. D.
9.设为全集，若，则( )
A. B. C. D.
10.若，，则下列各式中，恒等的是( )
A. B.
C. D.
11.已知关于的不等式的解集为或，则( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
12.已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且，当时，，则( )
A. B.
C. 为上的减函数 D. 为奇函数
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则函数 ______ ．
14.是的______ 条件从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填．
15.设，，且，则的最小值是______ ．
16.若集合，则实数的取值范围为______ ．
三、解答题：本题共6小题，共70分。
17.记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，求：
求，；
求，．
18.计算：
，
．
19.设全集，集合，，其中．
若“”是“”的充分条件，求的取值范围；
若“”是“”的必要条件，求的取值范围．
20.已知，均为正实数．
证明：；
若的两条直角边分别为，，斜边，求周长的最大值．
21.如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地，其长为米，宽为米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为米与米均不小于米，要求“转角处图中矩形”的面积为平方米．
试用表示草坪的面积，并指出的取值范围；
如何设计人行道的宽度，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积．
22.已知定义在上的奇函数过原点，且．
求实数，的值；
判断在上的单调性并用定义证明；
画出在上的图像．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：命题为存在量词命题，则命题的否定为，，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，，
则．
故选：．
根据并集的含义．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数中，，
由基本不等式可得
当且仅当时，即时取等号，
所以函数的最小值为．
故选：．
根据函数形式，结合基本不等式求解函数最小值即可．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，是奇函数，在定义域上是增函数，故A正确；
对于，是奇函数，增区间为，，故B错误；
对于，是非奇非偶函数，故C错误；
对于，是偶函数，故D错误．
故选：．
利用函数的奇偶性、单调性直接求解．
本题考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由得，即，
又且，
所以．
故选：．
对数式化为指数式，再由指数的运算法则求解．
本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，是定义在上的奇函数，
则，必有；
则，．
故选：．
根据题意，由奇函数的性质求出的值，即可得函数的解析式，将的值代入解析式计算可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：当时，不等式恒成立，
即在上恒成立，
设，在上单调递减，
所以，所以．
故选：．
分离参数，求函数在上的值域即可求解．
本题考查了函数恒成立问题，考查了函数思想，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，定义在上的函数满足，则的图象关于直线对称，
而有，
又由当时，有恒成立，则在上为增函数，
同时，
又由，
则有，
故有．
故选：．
根据题意，分析可得的图象关于直线对称，且在上为增函数，由二次函数的性质分析可得，即可得答案．
本题考查函数单调性和对称性的综合应用，涉及不等式的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，等价于，等价于和，
故A错误，BCD正确．
故选：．
根据包含关系结合集合间的运算求解．
本题主要考查了集合并集性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：，故选项A不正确；
对于，根据对数的运算法则得，故B正确；
对于：，故选项B不正确；
对于：，故选项D正确．
故选：．
根据对数运算法则和性质即可判断．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由不等式的解集为或知，
和是方程的实数根，且，所以选项A正确；
由根与系数的关系知，，解得，，
所以不等式可化为，即，
解得，所以不等式的解集为，选项B错误；
不等式可化为，即，
由，所以不等式的解集为，选项C错误；
由不等式的解集为或知，
不是不等式的解集，所以，选项D错误．
故选：．
根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系，即可得出、、之间的关系，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：令，则，故A正确；
令，，则，因为，故，
所以，故B正确；
结合，可知，，故C错误；
令，则，故，
故为奇函数，故D正确．
故选：．
利用赋值法求出的值，然后结合已知求出的值，结合定义可判断函数的单调性，奇偶性．
本题考查抽象函数的性质以及函数的奇偶性、单调性的定义，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：令得．
故答案为：．
直接赋值代入即可．
本题主要考查函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】充分
【解析】解：由，解得或，
则是的充分条件，
故答案为：充分．
解出绝对值不等式，再根据充分条件的定义判定即可．
本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：．
根据题意利用基本不等式运算求解．
本题主要考查不等式的公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可知：对任意的恒成立，
若，则，符合题意；
若，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为．
故答案为：．
根据题意可知：对任意的恒成立，分和两种情况，结合二次函数以及判别式分析求解．
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
17.【答案】解：对于函数，则，解得，
所以，
对于，当且仅当时，等号成立，
所以．
由可得：，，
所以．
【解析】根据根式的定义求的定义域，根据二次函数求的值域；
根据集合间的运算求解．
本题主要考查函数定义域、值域的求解，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：原式．
原式．
【解析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可；
根据对数的运算法则计算．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
19.【答案】解：由题意得到，
由“”是“”的充分条件可得，
则，解得，
故实数的取值范围是；
由“”是“”的必要条件可得，
当时，，即时，满足题意，
当时，即时，则，
解得．
综上，
故实数的取值范围是．
【解析】问题转化为，可求的取值范围；
问题转化为可解决此题．
本题考查充分、必要条件应用及集合间关系，属于基础题．
20.【答案】解：证明：，
，当且仅当时等号成立，
又，为正实数，
则；
由题意得，
由得，当且仅当时等号成立，
故周长的最大值为．
【解析】利用作差法，结合不等式的性质，即可证明结论；
利用中的结论和三角形的性质，即可得出答案．
本题考查不等式的证明，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由条件知，，
因为，，所以，所以，
所以，
所以；
由，
当且仅当时取等号，
即，时，的最大值为，
所以当人行道的宽度，才能使草坪的面积最大，且草坪的最大面积为．
【解析】根据题意列出表达式即可；
利用基本不等式求解即可．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：定义在上的奇函数，则，即，解得，
又，即，解得，
故，经检验符合题意．
函数在上是增函数，
证明如下：任取，且，
则，
因为，则，，
故，即，
因此函数在上是增函数．

【解析】根据题意，由可求得，再将点的坐标代入即可求得；
根据题意，由函数单调性的定义证明即可；
根据题意，直接绘制函数图像．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查作图能力及推理证明与运算能力，属于中档题．
第1页，共1页