普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2
1.4生活中的优化问题举例
教学目标：
掌握导数在生活中的优化问题问题中的应用
培养学生手发现问题、分析问题、解决问题的能力
教学重点：
数学模型的建立及导数求最值的应用
教学难点
：数学模型建立
教学过程
复习练习
（1）求下列函数的导数
①的导函数 。
②的导函数 。
（2）对于定义在区间 [ ] 上的函数，当时，导函数；当 时，，则该函数在处取得极 值，这个值也是该函数在该区间的最 值。
（3）、函数，当 ，函数取最小值 。
二、新授课
例1、关于海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一第如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2 ，上下两边各空2 dm ，左右两边各空1 dm ，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？
分析：我们只需写出空白的面积关于长或宽的函数，再利用导数工具来求得最值。
解：高版心的高为 dm，则版心的宽为 dm，
则此时四周空白的面积为
，
导数， 令
解得 （舍去）
当时，< 0；当时，>0，因此是函数的极小值点，
此时海报宽为
答：当版心的高为16 dm,宽为8 dm时，能使海报四周空白面积最小
练习1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解：设箱底边长为cm，则箱高cm，得箱子容积
．
令 ＝0，解得 x=0（舍去）,=40， 并求得=16000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3
例2、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
某某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶了的制造成本是0.2分／cm2，每出售1 ml 的饮料制造商可获利0.2分,且由于制备原因该制造商能制作的瓶子的最大径为6 cm
问题：（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
练习2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得，则
S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2
令 +4πR=0
解得，R=，从而h====2
即
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
提示：S=2+h=
V(R)=R=
)=0 ．
小结：由上面所学我们不难发现解决生活中的优化问题的基本思路是：
课后作业：第37页第1题、第5题
课件16张PPT。1.4生活中的优化问题举例（一）讲授人：www（1）求下列函数的导数：（3）若函数在某闭区间只有唯一极大值点，则该极大值也
是该函数在该区间的最 值。大大大课前练习：例题讲解： 例1、关于海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128 dm2 ， 上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1 dm ，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？则此时四周空白的面积为答：当版心的高为16 dm,宽为8 dm时，能使海报四周空白面积最小。
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，进行概括、抽象以及理想化，从而建立与其相应的数学模型，再通过研究相应数学模型，提出优化方案，使问题得到解决．如果在处理函数模型的过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示:方法小结优化问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案建立数学模型解决数学模型作答设箱底设箱高例2、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
某某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.2分／cm2，每出售1 ml 的饮料制造商可获利0.2分,且由于制备原因该制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm，
问题：
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，使每瓶饮料的利润最小？
例题讲解：答：当瓶了半径为6 cm时，每瓶饮料的利润最大。 当瓶子的半径为2 cm时，每瓶饮料的利润最小。 练习21.利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题问题的答案建模解模作答2.解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。 呼应回顾总结：作业布置 课本第37页第1题、第5题
谢谢大家！再见！答案变式训练表面积设半径为R,则高为h表面积写成R的函数,问题就转化为求函数的最值问题
