2024年中考广东专用数学二轮专题复习专题八 圆的综合课件 34张PPT

(共34张PPT)
第二部分 专题复习
专题八 圆的综合
01
基础回顾
02
例题精讲
目录
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1．如图，在△ABC中，以BC为直径作⊙O分别交AB，AC于D，E两点，AD＝3，BD＝5，AE＝4，则EC＝ 　2　 ．
2　
2．(2023·聊城二模)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC＝12，BC＝5.则sin ∠ABD＝(　C　)
A．
B．
C．
D．
C
如图，AB为⊙O的直径，点D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠A．
(1)求证：△ACD∽△DCB；
(1)证明：∵∠C＝∠C，∠A＝∠BDC，
∴△ACD∽△DCB．
(2)求证：CD是⊙O的切线；
(2)证明：如图，连接OD．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠A＋∠ABD＝90°.
∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB．
∵∠BDC＝∠A，∴∠BDC＋∠ODB＝90°.
∴∠ODC＝90°.∴OD⊥CD．
∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(3)若tan E＝，AC＝10，求⊙O的半径．
(3)解：∵∠ADB＝90°，tan E＝，∠E＝∠A，∴tan A＝＝.
由(1)，得△DCB∽△ACD．∴＝＝＝.
∵AC＝10，∴＝. ∴CD＝6.
∴＝. ∴BC＝. ∴AB＝AC－BC＝10－＝.
∴⊙O的半径为.
(2023·包头二模)如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F，CF＝BF，∠BEC＝∠DCB．
(1)求证：＝；
证明：(1)∵CF＝BF，∴∠FCB＝∠FBC．
∵∠BEC＝∠DCB，∴∠BEC＝∠FBC．
∴BC＝CE.
∴＝.
(2)若cos ∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6.求证：直线CM是⊙O的切线．(用两种证法解答)
(2)法1：如图，连接OC交BE于点H，连接OE.
∵＝，∴∠BOC＝∠COE.
∵BO＝EO，∴OC⊥BE. ∴∠OHB＝90°.
在Rt△OBH中，cos ∠OBH＝＝，
∵OB＝6，∴BH＝×6＝.
∴OH＝＝＝.
∵＝＝，＝＝，∴＝.
又∠HOB＝∠COM，∴△OHB∽△OCM.
∴∠OCM＝∠OHB＝90°.∴OC⊥CM.
∵OC是⊙O的半径，∴直线CM是⊙O的切线．
法2：如图，连接AE.
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.
在Rt△ABE中，cos ∠ABE＝＝，∴cos ∠BAE＝＝.
由(1)，得BC＝CE.
∴∠COM＝∠EOC． ∴∠EAB＝∠EOB＝∠COM.
∵＝＝，∴＝.
∴＝. ∴△ABE∽△OMC．
∴∠AEB＝∠OCM＝90°. ∴OC⊥CM.
∵OC是⊙O的半径，∴直线CM是⊙O的切线．
(2023·温州三模)如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，弦BD⊥OC于点F，交AC于点E，连接CD．
(1)求证：BE＝BC；
(1)证明：∵BD⊥OC，∴＝.
∴∠CBE＝∠CAB．
又∠ECB＝∠BCA，∴△BEC∽△ABC．
∴＝.
∵AB＝AC，∴BE＝BC．
(2)若tan ∠BCA＝3，EF＝2，求AB的长．
(2)解：由(1)，得BE＝BC．∴∠BCE＝∠BEC．
∵BD⊥OC，tan ∠BCA＝3，EF＝2，
∴tan ∠BEC＝＝＝3. ∴CF＝6.
∴EC＝＝2.
设BC＝BE＝x.
∵BC2＝BF2＋CF2，BF＝BE－EF＝x－2，
∴x2＝(x－2)2＋62. 解得x＝10. ∴BC＝10.
由(1)，知△BEC∽△ABC．
∴＝，即＝. ∴AB＝5.
(桂林中考)如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(1)证明：如图，连接OC．
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC．
∴∠DAC＝∠ACO.∴AD∥OC．
∵CD⊥AD，∴OC⊥CD．
∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos ∠DAB的值；
(2)解：∵AE＝4BE，OA＝OB，设BE＝x，则AB＝3x.
∴OC＝OB＝1.5x.∴OE＝2.5x.
∵AD∥OC，∴∠COE＝∠DAB．
∴cos ∠DAB＝cos ∠COE＝＝＝.
(3)在(2)的条件下，求的值．
(3)解：由(2)，知OE＝2.5x，OC＝1.5x.
∴EC＝＝＝2x.
∵FG⊥AB，∴∠AGF＝90°.
∴∠AFH＋∠FAG＝90°.
∵∠COE＋∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠AFH＝∠E.
∵∠FAH＝∠EAC，∴△AHF∽△ACE.
∴＝，即＝＝＝.
(2023·广东)综合探究
如图1，在矩形ABCD中(AB＞AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接CA′.
(1)求证：AA′⊥CA′.
(1)证明：∵点A关于BD的对称点为点A′，∴AE＝A′E，AA′⊥BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC．∴OE∥A′C．
又AA′⊥BD，∴AA′⊥CA′.
(2)以点O为圆心，OE长为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′＝CA′；
②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．
(2)①证明：如答图1，设⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长FO交AB于点G.
∴OF⊥CD，OF＝OE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OB＝BD，AB∥CD，AC＝BD，OA＝AC．
∴OG⊥AB，∠FDO＝∠GBO，OA＝OB．
∴∠GAO＝∠GBO.
又∠DOF＝∠BOG，∴△DOF≌△BOG(ASA)．
∴OG＝OF.∴OG＝OE.
由(1)，知AA′⊥BD．又OG⊥AB，∴∠EAO＝∠GAO.
∵∠EAB＋∠GBO＝90°，∴∠EAO＋∠GAO＋∠GBO＝90°.
∴3∠EAO＝90°.
∴∠EAO＝30°.
由(1)，知AA′⊥CA′.
∴tan ∠EAO＝＝.
∴AA′＝CA′.
②解：如答图2，设⊙O切CA′于点H，连接OH.
∴OH⊥CA′.
由(1)，知AA′⊥CA′.∴OH∥AA′.
又AA′⊥BD，∴OE∥CA′.
∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′.
∴＝＝，＝＝.
∴AA′＝2OH，CA′＝2OE.
∵OE＝OH，∴AA′＝CA′.
∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°.
∴∠AOE＝∠A′CA＝45°.
∴AE＝OE.
设AE＝OE＝x，则OD＝OA＝＝x.
∴DE＝OD－OE＝(－1)x.
在Rt△ADE中，由勾股定理，得x2 ＝1.
∴x2＝，即OE2＝.
∴S⊙O＝π·OE2＝π.
如图，在 ABCD中，AB＝AC，作△ABC的外接圆⊙O，CD与⊙O交于点E，连接AE.
(1)求证：DA是⊙O的切线；
(1)证明：如图，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于点M.
∵AB＝AC，OB＝OC，∴AM是BC的垂直平分线．
∴∠AMB＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．∴∠DAM＝∠AMB＝90°.
∵OA是⊙O的半径，∴DA是⊙O的切线．
(2)若⊙O的半径为5，cos ∠BAC＝，求DE的长．
(2)解：如图，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴∠BAC＝2∠1.
∵∠2＝2∠1，∴∠2＝∠BAC．
∴cos ∠2＝cos ∠BAC＝.
在Rt△BOM中，OB＝5，∴OM＝OB·cos ∠BOM＝5×＝3.
∴BM＝＝＝4.
∴AM＝AO＋OM＝8，BC＝2BM＝8.
在Rt△ABM中，AB＝＝＝4.
∴AB＝AC＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝8，∠ABC＝∠D．
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＋∠AEC＝180°.
∵∠AEC＋∠AED＝180°，∴∠AED＝∠ABC＝∠D．
∴△DAE∽△CAB，AE＝AD＝8.
∴＝.∴＝.∴DE＝.
(2022·宜昌改编)已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，以BC为直径的⊙O交AB于点H，将△ABC沿射线AC平移得到△DEF，连接BE.如图，DE与⊙O相切于点G.
(1)求证：BE＝GE；
(1)证明：∵将△ABC沿射线AC平移得到△DEF，∴BE∥CF.
∵∠ACB＝90°，∴∠CBE＝∠ACB＝90°.
∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．
∵DE是⊙O的切线，∴BE＝GE.
(2)求BE·CD的值．
(2)解：如图，过点D作DM⊥BE于点M.∴∠DMB＝90°.
由(1)，知∠CBE＝∠BCF＝90°.
∴四边形BCDM是矩形．∴CD＝BM，DM＝BC＝6.
由(1)，知BE＝GE.同理可证CD＝DG.设BE＝x，CD＝y.
在Rt△DME中，DM2＋EM2＝DE2，
∴62＋(x－y)2＝(x＋y)2.∴xy＝9，即BE·CD＝9.
如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点(不与点A重合)，连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以点O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于点G，连接AE并延长交射线BC于点F，连接EG，设OA＝x.
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO＝90°.
∵将△OAD沿OD折叠，得到△OED，
∴∠OED＝∠DAO＝90°.∴OE⊥DE.
∵OE是半径，∴DE是半圆O的切线．
(1)求证：DE是半圆O的切线；
(2)当点E落在BD上时，求x的值；
(2)解：如图1，点E落在BD上．
在Rt△ADB中，∠DAB＝90°，AD＝3，AB＝4，
∴BD＝＝＝5.
∵S△ADB＝S△ADO＋S△BDO，
∴×3×4＝×3·x＋×5·x.
∴x＝.
(3)当点E落在BD下方时，设△AEG与△ABF面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式．
(3)解：如图2，点E落在BD下方．
在Rt△DAO中，OD＝＝＝.
∵DA＝DE，OA＝OE，∴OD垂直平分线段AE.
∵S△ADO＝AD·OA＝OD·AJ，
∴AJ＝＝.
∴AE＝2AJ＝.
∵AG是直径，∴∠AEG＝90°＝∠ABF.
∵∠EAG＝∠BAF，∴△AEG∽△ABF.
∴y＝＝ ＝＝(0＜x＜).