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2023-2024学年第一学期浙江省宁波市九年级数学期末模拟试卷
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1 .已知，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．
2 .将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
3 .小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
4 .如图，弦CD与直径AB相交，连接BC、BD，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5 . 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，
若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点A（﹣3，a），B（﹣2，b），C（1，c）均在抛物线y＝3（x+2）2+k上，
则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，
若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，
以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9 .如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
①；
②；
③；
④（）；
⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题5分，共30分）
11 . 学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．
则小明和小慧同车的概率为 ．
12 . 如图，在中，，则的值是 ；
如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，母线长，
则侧面展开图的圆心角的度数为______．
14. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，
树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．
15. 有一个开口向下的二次函数，下表是函数中四对x与y的对应值．
x … 0 1 2 …
y … …
若其中有一对对应值有误，则对于该二次函数，当时，x的取值范围是______．
16 .如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，
将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝_____
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17. （1）计算：．
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标．
18. 某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：
A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，
学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，
制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
(1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，
李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，
请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
19 .“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，
例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，
求该门洞的半径．
20. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，
量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，
且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．
(参考数值，，)
(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
21. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D，直径AE平分∠BAD，交BC于F，连结BE．
(1)求证：∠AEB＝∠AFD．
(2)若AB＝10，BF＝5，求AD的长．
(3)若点G为AB中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．
22. （1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；
②的度数为______．
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，
直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．
23 .如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，
抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，
求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）若点在抛物线对称轴上，点为任意一点，是否存在点、，
使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？
若存在，请直接写出，两点的坐标，若不存在，请说明理由．
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2023-2024学年第一学期浙江省宁波市九年级数学期末模拟试卷解析
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1 .已知，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】将变形为，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，故C正确．
故选：C．
2 .将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
所得的抛物线解析式为．
故选：B．
3 .小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，
∴小华获胜的概率是：=．
故选：A．
4 .如图，弦CD与直径AB相交，连接BC、BD，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【分析】连接AC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，求出∠A＝90°﹣∠ABC＝40°，
由圆周角定理得出∠BDC＝∠A＝40°即可．
【详解】解：连接AC，如图所示：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BDC＝∠A＝40°；
故选：C．
5 . 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，
若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用格点构造，根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：如图，利用格点作交的延长线于点D，
则，，
因此，
故选A．
6．已知点A（﹣3，a），B（﹣2，b），C（1，c）均在抛物线y＝3（x+2）2+k上，
则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】C
【分析】通过确定A、B、C三个点和函数对称轴的距离，确定对应y轴的大小．
【详解】解：函数的对称轴为：x＝﹣2，
a＝3＞0，故开口向上，
x＝1比x＝﹣3离对称轴远，故c最大，b为函数最小值，
故选：C．
如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，
若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，画出示意图，易得△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2=ED FD，
代入数据可得答案．
【详解】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又
∴△EDC∽△CDF，
∴，即DC2=ED FD=2×8=16，
解得CD=4m（负值舍去）．
故选：B．
如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，
以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，
根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，
∴=，
故选A．
9 .如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
【答案】B
【分析】由求出的值，
由求出的值，对计算求解即可．
【详解】解：∵
∴米
∵
∴米
∴米
故选B．
已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
①；
②；
③；
④（）；
⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，
于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；
根据对称轴可得，则，根据可得，
代入变形可对③进行判断；当时，的值最大，
即当时，即>，则可对④进行判断；
由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点
∴>0
∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴
由图象得，当时，，
∴
∴，故③正确；
④当时，的值最大，
∴当时，>，
∴（），
∵b＞0，
∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A
二、填空题（每小题5分，共30分）
11 . 学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．
则小明和小慧同车的概率为 ．
【答案】
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：列表如下三辆车分别用1，2，3表示：
1 2 3
1
2
3
所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
则，
故答案为：．
12 . 如图，在中，，则的值是 ；
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：在中，
则，
∴，
故答案为：．
如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，母线长，
则侧面展开图的圆心角的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据条件求出侧面展开图（扇形）的面积，在根据扇形面积公式求角度即可．
【详解】解：圆锥的侧面积公式为
将，代入公式得：
代入数据解得：
故答案为
14. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，
树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．
【答案】
【分析】由于OP和AB与地面垂直，则AB∥OP，根据相似三角形的判定可证△ABC∽△OPC，
然后利用相似三角形的性质即可求出OP的长．
【详解】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
即，
∴OP＝m．
故答案为：．
15. 有一个开口向下的二次函数，下表是函数中四对x与y的对应值．
x … 0 1 2 …
y … …
若其中有一对对应值有误，则对于该二次函数，当时，x的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】由表可知：时y的值小于0，当、1、2时y的值大于0，
结合抛物线开口向下，可知函数值随x的增大先增大再减小，
即可判断出时y的值错误数据；进而由表中数据得出抛物线的对称轴，
即可得出时，自变量的值，数形结合即可作答．
【详解】解：由表可知：时y值小于当、1、2时y的值，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线必为先递增再递减，即函数值随x的增大先增大再减小，
∴时y的值错误数据；
又∵和2时y的值相等，
∴抛物线对称轴为，
∴根据对称性可知：和3时，函数值相等，为，
∴当时，或，
故答案为：或．
16 .如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，
将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝_____
【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17. （1）计算：．
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标．
【答案】（1）；（2）与x轴的交点为和
【解析】
【分析】（1）先求出特殊角的三角函数值，再根据二次根数的混合运算法则计算即可；
（2）当时，得到一元二次方程，解方程后即可求解．
【详解】（1）原式；
（2）当时，，
∴，，
∴与x轴的交点为和．
18. 某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：
A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，
学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，
制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
(1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，
李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，
请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
【答案】(1)50，72
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用“选A：篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数，
再利用学生选D“羽毛球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果；
利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，
再利用总人数减去其他课程的人数求得选兵乓球的学生人数，即可补全条形统计图；
（3）画出树状图可得共有12种等可能的情况，
其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得：该班的总人数为：（人），
学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：50；72；
（2）解：由题意可得：
选“B：足球”的学生人数为：（人），
选“E：兵乓球”的学生人数为：（人）
补全条形统计图如下；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种；
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为．
19 .“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，
例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，
求该门洞的半径．
【答案】该门洞的半径为．
【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为，
根据题意，得，，
根据勾股定理，得，
解得，
答：该门洞的半径为．
20. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，
量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，
且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．
(参考数值，，)
(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】(1)点C到直线的距离约为13.8cm
(2)点A到直线的距离约为21.5cm
【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答；
（2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N
由题意可知，，
在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
21. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D，直径AE平分∠BAD，交BC于F，连结BE．
(1)求证：∠AEB＝∠AFD．
(2)若AB＝10，BF＝5，求AD的长．
(3)若点G为AB中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
(3)：2
【分析】（1）根据AE是直径可得∠ABE=90°，由AE是角平分线可得∠BAE=∠DAE，根据直角三角形两锐角互余可得答案；
（2）根据（1）中结论可得∠BFE=∠BEF，可得BE=BF，根据∠BAE=∠DAF，∠ABE=∠ADF可证明△ABE∽△ADF，根据相似三角形的性质可得，设DF=x，则AD=2x，在Rt△ABD中，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案；
（3）由点G为AB中点，点O在DG上可证明OG是△ABE的中位线，根据中位线的性质可得OG//BE，OG=BE，即可得出DG⊥AB，∠AOG=∠AEB=∠AFD，可得OD=DF，△ABD是等腰直角三角形，根据圆周角定理可得∠AEB=∠ACB，可得∠ACB=∠AFC，可得AC=AF，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得DF=CD，设BF=a，DF=b，根据等腰直角三角形的性质可得，可得，进而可得答案．
【详解】（1）∵直径AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAE+∠AFD=90°，
∴∠AEB＝∠AFD．
（2）∵∠AEB＝∠AFD，∠AFD=∠BFE，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BE=BF，
∵∠BAE=∠DAF，∠ABE=∠ADF，
∴△ABE∽△ADF，
∵AB=10，BF=5，
∴，
设DF=x，则AD=2x，
∴在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2，即102=（5+x）2+（2x）2，
解得：x=3，（负值舍去）
∴AD=2x=6．
（3）∵点G为AB中点，点O在DG上，
∴OG是△ABE的中位线，
∴OG//BE，OG=BE，
∵∠ABE=90°，
∴DG⊥AB，∠AOG=∠AEB=∠AFD，
∴OD=DF，△ABD是等腰直角三角形，
∵∠AEB和∠ACB是所对的圆周角，
∴∠AEB=∠ACB，
∴∠ACB=∠AFC，
∴AC=AF，
∵AD⊥CF，
∴DF=CD，
设BF=a，DF=b，
∴，
∴，
∴BF：FC=a：2b=：2．
22. （1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；
②的度数为______．
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，
直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．
【答案】（1）①；②；（2）；；
（3）；
【分析】（1）①根据证明，即可得出；
②根据全等三角形的性质得出，设交于点O，根据，
结合三角形内角和定理，得出即可得出结果；
（2）证明，可得，，根据三角形的外角得出，，即可得结论；
（3）根据勾股定理求出，根据三角函数求出，
求出，证明，
求出，得出．
【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，
∴，
设交于点O，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
（2）结论：， ．理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴．
23 .如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，
抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，
求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）若点在抛物线对称轴上，点为任意一点，是否存在点、，
使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？
若存在，请直接写出，两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值为，
(3)存在；，
【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，
进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标．
【详解】（1）解：当时，，
，
当时，，
，
，
对称轴为直线，
，
设抛物线的表达式：，
，
，
抛物线的表达式为：；
（2）解：如图1，
作于，交于，
，，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
；
（3）解：设，
以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，
即：，
，
，
，
，，
，，
．
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