高中数学人教新课标A版 选修2-2 第一章 导数及其计算
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅰ·理）函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高二下·宾县期末）若 ，则 等于（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．6
3．（2020高二下·嘉兴期末）已知物体位移S（单位：米）和时间t（单位：秒）满足： ，则该物体在 时刻的瞬时速度为（ ）
A．1米/秒 B．2米/秒 C．3米/秒 D．4米/秒
4．（2020高二下·哈尔滨期末）函数 的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020高二下·通州期末）已知函数 ，导函数为 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．1
6．（2020高二下·天津期末）已知函数 ， 为 的导函数，则 的值为（ ）
A．-1 B． C．0 D．
7．（2020高二下·东莞期末）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二下·宾县期末）已知函数 在 上可导且满足 ，则下列一定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020高二下·哈尔滨期末）若点P是曲线 上任一点，则点P到直线 的最小距离是（ ）
A． B．3 C． D．
10．（2020高二下·哈尔滨期末）若函数 在区间 上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2020高二下·通州期末）下列给出四个求导运算：
① ；② ；③ ；④ .
其中运算结果正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2020·赣县模拟）设 是在 上的可导函数，且 ， ， ，则下列一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2020高二下·宿迁期末）已知函数 的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．-1是函数 的极小值点
B．-3是函数 的极小值点
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 在 处切线的斜率小于零
14．（2020高二下·东莞期末）已知函数 ，若 ，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．当 时，
15．（2020高二下·怀化期末）已知 ，下列结论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．
C． 的图象在点 处的切线方程为
D．若关于 的不等式 有正整数解，则
16．（2020高二下·广东期中）已知函数 ，给出下面四个命题：①函数 的最小值为 ；②函数 有两个零点；③若方程 有一解，则 ；④函数 的单调减区间为 .
则其中错误命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
三、填空题
17．（2020·新课标Ⅲ·文）设函数 ．若 ，则a= ．
18．（2020·新课标Ⅰ·文）曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
19．（2020高二下·哈尔滨期末）已知函数 ，若 ， ，则实数m的取值范围是 ．
20．（2020·福州模拟）已知函 ， ，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设 ．若 在 上恒成立，则实数a的取值范围为
四、解答题
21．（2020高二下·哈尔滨期末）已知函数 ，若 ，求 在 处的切线方程.
22．（2020高二下·重庆期末）已知函数 .
（1）求 在点 处的切线；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.
23．（2020高二下·宿迁期末）已知函数 ，其中 .
（1）求 ，求 在 上的最大值和最小值；
（2）若 是函数 的一个极值点，求实数 的值.
24．（2020·北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
25．（2020·新课标Ⅱ·文）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
26．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故答案为：B.
【分析】求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
2．【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】先对函数 求导，然后把 代入 ，即可求得答案
3．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】由题意 ，
当 时， ．
故答案为：A．
【分析】求出S关于t的导数，令 即可得结果．
4．【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由图可得阴影部分的面积为 ，
故答案为：C.
【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积．
5．【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】因为 ，则 ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】先对函数求导，再将 代入，即可得出结果.
6．【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由
可得， ，
所以， .
故答案为：C
【分析】求幂函数和对数函数的导数，代入1即可得出结果.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由已知 ，当 时 ，当 时 ，
所以增区间为 ．
故答案为：D．
【分析】求出导函数 ，由 确定增区间．
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数 ，则 ，当 时， .
所以，函数 在 上单调递增， ， ，即 ，
即 ，
S故答案为：A.
【分析】构造函数 ，利用导数判断函数 在 上的单调性，可得出 与 的大小关系，经过化简可得出正确选项.
9．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】要使点P到直线 的最小距离，
只需点 为曲线与直线 平行的切线切点，
即点 为斜率为 的切线的切点，设 ，
，
解得 或 （舍去），
点 到直线 的距离为 ，
所以曲线 上任一点到直线 距离最小值为 .
故答案为：C.
【分析】与直线 平行且与曲线相切时，切点到直线 的距离最小，利用导数求出切点坐标即可.
10．【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】函数 ， .
则 ，
因为 在区间 上单调递减，
则 在区间 上恒成立，即 ，
所以 在区间 上恒成立，
所以 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知 在区间 上恒成立，即可由定义域及不等式求得a的取值范围.
11．【答案】B
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】解：① ，故错误.
② ，故正确.
③ ，故错误.
④ ，故正确.
故答案为：B.
【分析】对于①②③④直接利用函数的导数的运法则求出结果，即可做出判定.
12．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 是在 上的可导函数，且 ，
设 ， ，
为单调递增函数或常数函数.
又 ， ， 在区间 上是常数函数，
， .
又 ， ， .
故答案为：A.
【分析】设 ，可得设 ，故 为单调递增函数或常数函数.由 ， ，可得 ，故 在区间 上是常数函数，可求 的值，可得 的正误. 再根据 ，求出 的取值范围，进而判断 的正误，即得答案.
13．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由图象得 时， ， 时， ，
故 在 单调递减，在 单调递增，
故 是函数 的极小值点.
对选项D：显然 ，故 错误.
故答案为：BC．
【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.
14．【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】对于A选项，函数 ，定义域为 ， .
令 ，则 ；令 ，可得 .
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
当 时， ，则 ，A选项错误；
对于B选项，构造函数 ，定义域为 ， ，
当 时， ；当 时， .
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
当 时， ，B选项错误；
对于C选项， ，由于函数 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，所以， ，C选项正确；
对于D选项，由A选项知，函数 在区间 上单调递增，
当 时， ，则 ，
即 ，D选项正确.
故答案为：CD.
【分析】利用导数判断函数 的单调性，可判断A选项；构造函数 ，利用导数判断函数 的单调性，可判断B选项；由函数 的单调性可判断C选项；利用函数 在区间 上的单调性可判断D选项.
15．【答案】A,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ，则 ，
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，A符合题意；
又 ， ，所以 ，B不符合题意；
对于C， ， ，故切线方程 ，C不正确；
若 有正整数解，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以D符合题意；
故答案为：AD.
【分析】对函数求导，得到 ，利用导数的符号判断出函数的单调区间，可以判断A项正确；将 化简，整理，得到大小，从而判断出B项不正确；利用导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得切线方程，可以判断出C项不正确；将不等式 转化为 ，两边取对数，得到 ，结合式子的特征，得到D项正确，进而得到结果.
16．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为函数 ，所以
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 的最小值为 ，
如图所示：
当 时， ，当 时， ，所以函数 有一个零点；
若方程 有一解，则 或 ，函数 的单调递减区间为 ，
故错误命题的序号是 ②③④。
故答案为：BCD
【分析】由函数 ，求导 ，当 时， ，当 时， ，作出函数图象逐项判断，从而找出错误的命题序号。
17．【答案】1
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为：1.
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
18．【答案】y=2x
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【分析】设切线的切点坐标为 ，对函数求导，利用 ，求出 ，代入曲线方程求出 ，得到切线的点斜式方程，化简即可.
19．【答案】[-4,2e]
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题意，函数 ，
⑴当 时，由 ，可得 ，即 ，
设 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ；
⑵当 时，由 ，可得 ，
当 时显然成立；
当 时，可得 ，因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 .
综上可得，实数 的取值范围是[-4,2e]，
故答案为：[-4,2e].
【分析】由函数的解析式，分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式，即可求解.
20．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，所以 在 必成立，
问题转化为 在 恒成立，由 恒成立，可得
在 恒成立，设 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
，
A的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】利用定义max{m，n}表示m，n中的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法，再用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而求出实数a的取值范围。
21．【答案】解： ，
， .
在 处的切线方程为： ，即
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】根据导数的几何意义求解即可.
22．【答案】（1）解： ，又 ，所以切线方程为 ，
即 ；
（2）解：由（1）知 或 ，∴ 在 上单减，在 上单增，
又 ，∴ 在 上的最大值为3，最小值为0
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求出函数的导数,求出切点坐标以及切线的斜率,借助于点斜式方程写出切线;（2）判断出函数的单调性,求出极值和端点值,通过比较可得出最值.
23．【答案】（1）解：当 时， ， ，
令 得 ， ，
列表：
0 1 2
0 - 0 +
-2 减 -3 增 2
由表可知，函数 在 上最大值为2，最小值为-3.
（2）解： ，
因为 是函数 的一个极值点，
所以 ，解得 .
当 时， ，令 ，解得 ， .
列表如下：
0 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
因此，当 时， 是函数 的一个极值点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）把 代入函数中，然后对函数求导求极值，再求出端点处的函数值，与极值比较，最小的为函数的最小值，最大的为函数的最大值；（2）由于 是函数 的一个极值点，所以 ，求得 ，然后把 代入函数中，需要验证 是否是函数的极值点，若导函数在 两侧的函数值异号，则 可以取，否则不能取.
24．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程为： ，即 .
（Ⅱ）显然 ，
因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
25．【答案】（1）解：函数 的定义域为：
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，
即 ，
要想不等式 在 上恒成立，
只需 ；
（2）解： 且
因此 ，设 ，
则有 ，
当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即
，所以 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，即 ，所以 单调递减，
所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）不等式 转化为 ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数 求导，把导函数 的分子构成一个新函数 ，再求导得到 ，根据 的正负，判断 的单调性，进而确定 的正负性，最后求出函数 的单调性.
26．【答案】（1）解：当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）解：由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,
综上可得，实数a的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-2 第一章 导数及其计算
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅰ·理）函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故答案为：B.
【分析】求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
2．（2020高二下·宾县期末）若 ，则 等于（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】先对函数 求导，然后把 代入 ，即可求得答案
3．（2020高二下·嘉兴期末）已知物体位移S（单位：米）和时间t（单位：秒）满足： ，则该物体在 时刻的瞬时速度为（ ）
A．1米/秒 B．2米/秒 C．3米/秒 D．4米/秒
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】由题意 ，
当 时， ．
故答案为：A．
【分析】求出S关于t的导数，令 即可得结果．
4．（2020高二下·哈尔滨期末）函数 的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由图可得阴影部分的面积为 ，
故答案为：C.
【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积．
5．（2020高二下·通州期末）已知函数 ，导函数为 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】因为 ，则 ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】先对函数求导，再将 代入，即可得出结果.
6．（2020高二下·天津期末）已知函数 ， 为 的导函数，则 的值为（ ）
A．-1 B． C．0 D．
【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由
可得， ，
所以， .
故答案为：C
【分析】求幂函数和对数函数的导数，代入1即可得出结果.
7．（2020高二下·东莞期末）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由已知 ，当 时 ，当 时 ，
所以增区间为 ．
故答案为：D．
【分析】求出导函数 ，由 确定增区间．
8．（2020高二下·宾县期末）已知函数 在 上可导且满足 ，则下列一定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数 ，则 ，当 时， .
所以，函数 在 上单调递增， ， ，即 ，
即 ，
S故答案为：A.
【分析】构造函数 ，利用导数判断函数 在 上的单调性，可得出 与 的大小关系，经过化简可得出正确选项.
9．（2020高二下·哈尔滨期末）若点P是曲线 上任一点，则点P到直线 的最小距离是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】要使点P到直线 的最小距离，
只需点 为曲线与直线 平行的切线切点，
即点 为斜率为 的切线的切点，设 ，
，
解得 或 （舍去），
点 到直线 的距离为 ，
所以曲线 上任一点到直线 距离最小值为 .
故答案为：C.
【分析】与直线 平行且与曲线相切时，切点到直线 的距离最小，利用导数求出切点坐标即可.
10．（2020高二下·哈尔滨期末）若函数 在区间 上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】函数 ， .
则 ，
因为 在区间 上单调递减，
则 在区间 上恒成立，即 ，
所以 在区间 上恒成立，
所以 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知 在区间 上恒成立，即可由定义域及不等式求得a的取值范围.
11．（2020高二下·通州期末）下列给出四个求导运算：
① ；② ；③ ；④ .
其中运算结果正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】解：① ，故错误.
② ，故正确.
③ ，故错误.
④ ，故正确.
故答案为：B.
【分析】对于①②③④直接利用函数的导数的运法则求出结果，即可做出判定.
12．（2020·赣县模拟）设 是在 上的可导函数，且 ， ， ，则下列一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 是在 上的可导函数，且 ，
设 ， ，
为单调递增函数或常数函数.
又 ， ， 在区间 上是常数函数，
， .
又 ， ， .
故答案为：A.
【分析】设 ，可得设 ，故 为单调递增函数或常数函数.由 ， ，可得 ，故 在区间 上是常数函数，可求 的值，可得 的正误. 再根据 ，求出 的取值范围，进而判断 的正误，即得答案.
二、多选题
13．（2020高二下·宿迁期末）已知函数 的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．-1是函数 的极小值点
B．-3是函数 的极小值点
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 在 处切线的斜率小于零
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由图象得 时， ， 时， ，
故 在 单调递减，在 单调递增，
故 是函数 的极小值点.
对选项D：显然 ，故 错误.
故答案为：BC．
【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.
14．（2020高二下·东莞期末）已知函数 ，若 ，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．当 时，
【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】对于A选项，函数 ，定义域为 ， .
令 ，则 ；令 ，可得 .
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
当 时， ，则 ，A选项错误；
对于B选项，构造函数 ，定义域为 ， ，
当 时， ；当 时， .
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
当 时， ，B选项错误；
对于C选项， ，由于函数 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，所以， ，C选项正确；
对于D选项，由A选项知，函数 在区间 上单调递增，
当 时， ，则 ，
即 ，D选项正确.
故答案为：CD.
【分析】利用导数判断函数 的单调性，可判断A选项；构造函数 ，利用导数判断函数 的单调性，可判断B选项；由函数 的单调性可判断C选项；利用函数 在区间 上的单调性可判断D选项.
15．（2020高二下·怀化期末）已知 ，下列结论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．
C． 的图象在点 处的切线方程为
D．若关于 的不等式 有正整数解，则
【答案】A,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ，则 ，
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，A符合题意；
又 ， ，所以 ，B不符合题意；
对于C， ， ，故切线方程 ，C不正确；
若 有正整数解，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以D符合题意；
故答案为：AD.
【分析】对函数求导，得到 ，利用导数的符号判断出函数的单调区间，可以判断A项正确；将 化简，整理，得到大小，从而判断出B项不正确；利用导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得切线方程，可以判断出C项不正确；将不等式 转化为 ，两边取对数，得到 ，结合式子的特征，得到D项正确，进而得到结果.
16．（2020高二下·广东期中）已知函数 ，给出下面四个命题：①函数 的最小值为 ；②函数 有两个零点；③若方程 有一解，则 ；④函数 的单调减区间为 .
则其中错误命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为函数 ，所以
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 的最小值为 ，
如图所示：
当 时， ，当 时， ，所以函数 有一个零点；
若方程 有一解，则 或 ，函数 的单调递减区间为 ，
故错误命题的序号是 ②③④。
故答案为：BCD
【分析】由函数 ，求导 ，当 时， ，当 时， ，作出函数图象逐项判断，从而找出错误的命题序号。
三、填空题
17．（2020·新课标Ⅲ·文）设函数 ．若 ，则a= ．
【答案】1
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为：1.
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
18．（2020·新课标Ⅰ·文）曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
【答案】y=2x
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【分析】设切线的切点坐标为 ，对函数求导，利用 ，求出 ，代入曲线方程求出 ，得到切线的点斜式方程，化简即可.
19．（2020高二下·哈尔滨期末）已知函数 ，若 ， ，则实数m的取值范围是 ．
【答案】[-4,2e]
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题意，函数 ，
⑴当 时，由 ，可得 ，即 ，
设 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ；
⑵当 时，由 ，可得 ，
当 时显然成立；
当 时，可得 ，因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 .
综上可得，实数 的取值范围是[-4,2e]，
故答案为：[-4,2e].
【分析】由函数的解析式，分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式，即可求解.
20．（2020·福州模拟）已知函 ， ，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设 ．若 在 上恒成立，则实数a的取值范围为
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，所以 在 必成立，
问题转化为 在 恒成立，由 恒成立，可得
在 恒成立，设 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
，
A的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】利用定义max{m，n}表示m，n中的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法，再用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而求出实数a的取值范围。
四、解答题
21．（2020高二下·哈尔滨期末）已知函数 ，若 ，求 在 处的切线方程.
【答案】解： ，
， .
在 处的切线方程为： ，即
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】根据导数的几何意义求解即可.
22．（2020高二下·重庆期末）已知函数 .
（1）求 在点 处的切线；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1）解： ，又 ，所以切线方程为 ，
即 ；
（2）解：由（1）知 或 ，∴ 在 上单减，在 上单增，
又 ，∴ 在 上的最大值为3，最小值为0
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求出函数的导数,求出切点坐标以及切线的斜率,借助于点斜式方程写出切线;（2）判断出函数的单调性,求出极值和端点值,通过比较可得出最值.
23．（2020高二下·宿迁期末）已知函数 ，其中 .
（1）求 ，求 在 上的最大值和最小值；
（2）若 是函数 的一个极值点，求实数 的值.
【答案】（1）解：当 时， ， ，
令 得 ， ，
列表：
0 1 2
0 - 0 +
-2 减 -3 增 2
由表可知，函数 在 上最大值为2，最小值为-3.
（2）解： ，
因为 是函数 的一个极值点，
所以 ，解得 .
当 时， ，令 ，解得 ， .
列表如下：
0 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
因此，当 时， 是函数 的一个极值点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）把 代入函数中，然后对函数求导求极值，再求出端点处的函数值，与极值比较，最小的为函数的最小值，最大的为函数的最大值；（2）由于 是函数 的一个极值点，所以 ，求得 ，然后把 代入函数中，需要验证 是否是函数的极值点，若导函数在 两侧的函数值异号，则 可以取，否则不能取.
24．（2020·北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程为： ，即 .
（Ⅱ）显然 ，
因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
25．（2020·新课标Ⅱ·文）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
【答案】（1）解：函数 的定义域为：
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，
即 ，
要想不等式 在 上恒成立，
只需 ；
（2）解： 且
因此 ，设 ，
则有 ，
当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即
，所以 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，即 ，所以 单调递减，
所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）不等式 转化为 ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数 求导，把导函数 的分子构成一个新函数 ，再求导得到 ，根据 的正负，判断 的单调性，进而确定 的正负性，最后求出函数 的单调性.
26．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）解：由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,
综上可得，实数a的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
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