华师大版2023-2024八年级上期末模拟试题1（含解析）

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华师大版2023-2024八年级上期末模拟试题1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列运算结果正确的是（　　）
A．a2 a3=a6
B．﹣（a﹣b）=﹣a+b
C．a2+a2=2a4
D．a8÷a4=a2
下列各数中，属于无理数的是（　　）
A． B．1.414 C． D．
下列各图是截止2020年6月18日的新冠肺疫情统计数据，则以下结论错误的是（ ）
A．图1显示印度新增确诊人数大约是伊朗的两倍．每百万人口的确诊人数大约是伊朗的
B．图1显示俄罗斯当前的治愈率高于西班牙
C．图2显示海外新增确诊人数随时间的推移总体呈增长趋势
D．图3显示在2-3月之间，我国现有确诊人数达到最多
勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（　　）
A． B． C． D．
已知实数在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A． ＜1＜ B．1 ＜ ＜ C. 1 ＜ ＜ D． ＜ ＜-1
如图，点P使∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA 的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到荆州观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整）．根据图中信息，下列结论错误的是（　　）
A．本次抽样调查的样本容量是5000
B．扇形图中的m为10%
C．样本中选择公共交通出行的有2500人
D．若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有25万人
某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人。”乙说：“两项都参加的人数小于5人。”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（ ）
A．若甲对，则乙对;B.若乙对，则甲对;C.若乙错，则甲错;D.若甲粗，则乙对
下列运算不正确的是（　　）
A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1）
B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2
C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3
D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3
如图，在Rt△ACD和Rt△BEC中，若AD=BE，DC=EC，则不正确的结论是（　　）
A． Rt△ACD和Rt△BCE全等B． OA=OB C． E是AC的中点 D． AE=BD
《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
如图，在一个宽度为长的小巷内，一个梯子的长为，梯子的底端位于上的点，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点处，点到的距离为，梯子的倾斜角为；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点处，点到的距离为，且此时梯子的倾斜角为，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
2 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
4是　 　的算术平方根．
计算：______．
某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每名学生分别
选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛
球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为 名．
因式分解：a3﹣4a=　 　．
等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为　 　．
如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，点M为AC的中点，一只小虫从B1沿三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 　 　．
3 、解答题（本大题共8小题，共78分）
如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．
已知：如图，，， 为 上一点，．求证：．
在边长为a的正方形中减掉一个边长为b的小正方形（a＞b）把余下的部分再剪拼成一个长方形．
（1）如图1，阴影部分的面积是：　 　；
（2）如图2，是把图1重新剪拼成的一个长方形，阴影部分的面积是　 　；
（3）比较两阴影部分面积，可以得到一个公式是　 　；
（4）运用你所得到的公式，计算：99.8×100.2．
为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间（单位：），按劳动时间分为四组：组“”，组“”，组“”，组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是________，组所在扇形的圆心角的大小是__________；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A．D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
任何一个正整数n都可以这样分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）则n的所有这种分解中，如果两因数p、q之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，则F（18）＝．
（1）计算：F（24）、F（270），
（2）如果一个三位正整数t，t＝10x+y+600（1≤x＜y≤9，x，y为自然数），交换某个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数加上原来的三位正整数所得的和恰好能被11整除，那么我们称这个数t为“心意数”．
①求所有满足条件的“心意数”t，
②对于满足“心意数”t中的x，y，设m＝10x+y，求F（m）的最小值．
如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②判断△CFH的形状并说明理由．
如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由．
答案解析
1 、选择题
【考点】合并同类项，同底数幂的乘除运算，去括号法则
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、去括号法则分别计算得出答案．
解：A．a2 a3=a5，故此选项错误；
B、﹣（a﹣b）=﹣a+b，正确；
C、a2+a2=2a2，故此选项错误；
D、a8÷a4=a4，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、去括号法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【考点】算术平方根，无理数
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即可求解，
解：＝2是有理数，是无理数，
故选：C．
【点评】本题考查无理数，能够化简二次根式，理解无理数的定义是解题的关键．
【考点】折线统计图
【分析】根据题意，分析各选项的数据，即可求解.
解：】A．通过对印度和伊朗新增确诊人数的分析，故A错误；
B、通过对俄罗斯和西班牙的治愈率的分析，得出俄罗斯当前的治愈率高于四班牙，故B正确：
C、通过分析折线图，得出海外新增确诊人数随时间的推移总体呈增长趋势，故C正确：
D、通过观察图象，得出在2-3月之间，我国现有确诊人数达到最多，故D正确.
故答案为：A．
【点评】本题考查了折线统计图，仔细观察图形，认真分析排查是解题的关键
【考点】勾股定理的证明
【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
【考点】实数大小比较；实数与数轴
【分析】首先根据数轴的特征，判断出a、﹣1、0、1、b的大小关系；然后根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，逐一判断每个选项的正确性即可．
根据实数a，b在数轴上的位置，可得a＜﹣1＜0＜1＜b，
∵1＜|a|＜|b|， ∴选项A错误；
∵1＜﹣a＜b， ∴选项B正确；
∵1＜|a|＜|b|， ∴选项C正确；
∵﹣b＜a＜﹣1， ∴选项D正确．
故选A．
【点评】（1）此题主要考查了实数与数轴，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）此题还考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【考点】角平分线的性质
【分析】过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到PE=PD.从而得出答案.
解：过P作PE⊥OA于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OB，
∴PE=PD,
∵PD=2,
∴PE=2,
即点P到OA的距离是2cm.
故答案为B.
【点评】本题考查的是角平分线的性质，涉及到等腰三角形性质，角平分线定义，勾股定理等知识点的运用，关键是综合运用这些性质进行推理，题目比较好，是一道综合性比较强的题目．
【考点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【分析】结合条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答．
解：A．本次抽样调查的样本容量是=5000，正确；
B、扇形图中的m为10%，正确；
C、样本中选择公共交通出行的有5000×50%=2500人，正确；
D、若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%=20万人，错误；
故选：D．
【点评】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，熟悉样本、用样本估计总体是解题的关键，另外注意学会分析图表．
【考点】逻辑判断推理题型问题；真假命题的判定.
【分析】针对逻辑判断问题逐一分析作出判断
解：A．若甲对，即只参加一项的人数大于14人，等价于等于15或16或17或18或19人，则两项都参加的人数为5或4或3或2或1人，故乙不对；
B.若乙对，即两项都参加的人数小于5人，等价于等于4或3或2或1人，则只参加一项的人数为等于16或17或18或19人，故甲对；
C.若乙错，即两项都参加的人数大于或等于5人，则只参加一项的人数小于或等于15人，故甲可能对可能错；
D.若甲粗，即只参加一项的人数小于或等于14人，则两项都参加的人数大于或等于6人，故乙错.
综上所述，四个命题中，其中真命题是“若乙对，则甲对”.
故选B.
【点评】 此题主要考查了推理与论证，关键是分两种情况分别进行分析．
【考点】多项式乘多项式，完全平方公式，因式分解﹣分组分解法
【分析】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．
解：xy+x﹣y﹣1＝x（y+1）﹣（y+1）＝（x﹣1）（y+1），A正确，不符合题意，
x2+y2+z2+xy+yz+zx＝[（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B错误，符合题意，
（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3，C正确，不符合题意，
（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，D正确，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题的关键．
【考点】 全等三角形的判定与性质．
【分析】 根据HL证Rt△ACD≌Rt△BCE即可判断A；根据以上全等推出AE=BD，再证△AOE≌△BOD，即可判断B和D，根据已知只能推出AE=BD，CE=CD，不能推出AE=CE，即可判断C．
解：A．∵∠C=∠C=90°，
∴△ACD和△BCE是直角三角形，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
∵，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），正确；
B、∵Rt△ACD≌Rt△BCE，
∴∠B=∠A，CB=CA，
∵CD=CE，
∴AE=BD，
在△AOE和△BOD中
∵，
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴AO=OB，正确，不符合题意；
AE=BD，CE=CD，不能推出AE=CE，错误，符合题意；
D、∵Rt△ACD≌Rt△BCE，
∴∠B=∠A，CB=CA，
∵CD=CE，
∴AE=BD，正确，不符合题意．
故选C．
【点评】 本题考查了全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
【考点】勾股数．
【分析】根据题目要求逐一代入符合条件的m，n进行验证、辨别．
解：∵当m＝3，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（32﹣12）＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝（m2+n2）＝×（32+12）＝5，
∴选项A不符合题意，
∵当m＝5，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（52﹣12）＝12，b＝mn＝5×1＝5，c＝（m2+n2）＝×（52+12）＝13，
∴选项B不符合题意，
∵当m＝7，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（72﹣12）＝24，b＝mn＝7×1＝7，c＝（m2+n2）＝×（72+12）＝25，
∴选项D不符合题意，
∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，
∴选项C符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
【分析】过点C作CE⊥AD于点E，证明≌即可解决问题．
解：过点C作CE⊥AD于点E，则CE//AB，
，且PD=PC，
为等边三角形，
， ，
，
，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
在和中，
，
∴≌，
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，作辅助线CE是解答此题的关键．
2 、填空题
【考点】算术平方根．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
解：∵42=16，
∴4是16的算术平方根．
故答案为：16．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
【考点】绝对值，零指数幂
【分析】估算的大小从而确定 1的符号，再根据绝对值的定义及零指数幂的意义即可完成．
解：
故答案为：
【点评】本题考查了算术平方根据的估值，绝对值的意义，零指数幂的意义等知识，关键是掌握绝对值的意义和零指数幂的意义，并能对算术平方根正确估值．
【考点】扇形统计图
【分析】根据扇形统计图的特点可知最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的百分比少40％-30％=10％，因此可根据最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，求得学生的总数为6÷10％=60人.
解：最喜欢羽毛球的人数所占百分率比最喜欢乒乓球的人数所占百分率少10%，故被调查总
人数为6÷105=60（人）.
【点评】此题考查了扇形统计图，关键的要掌握扇形统计图的特点。
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
解：a3﹣4a=a（a2﹣4）=a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
解：∵等腰三角形底角相等，
∴180°﹣50°×2=80°，
∴顶角为80°．
故填80°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．
【考点】平面展开﹣最短路径问题，等边三角形的性质，勾股定理．
【分析】利用平面展开图可总结为3种情况，画出图形利用勾股定理求出B1M的长即可．
解：如图1，将三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C和侧面CC1A1A沿CC1展开在同一平面内，连接MB1，
∵M是AC的中点，△ABC和△A1B1C1是等边三角形，
∴CM＝AC＝＝，
∴BM＝CM+BC＝3，
在Rt△MBB1中，由勾股定理得：
B1M＝＝，
如图2，把底面ABC和侧面BB1A1A沿AB展开在同一平面内，连接MB1，过点M作MF⊥A1B1于点F，交AB于点E，
则四边形AEFA1是矩形，ME⊥AB，
在Rt△AME中，∠MAE＝60°，
∴ME＝AM sin60°＝×＝，
AE＝AM cos60°＝，
∴MF＝ME+EF＝+2＝，
B1F＝A1B1﹣A1F＝，
在Rt△MFB1中，由勾股定理得：
B1M＝＝，
如图3，连接B1M，交A1C1于点N，则B1M⊥AC，B1N⊥A1C1，
在Rt△A1NB1中，∠NA1B1＝60°，
∴NB1＝A1B1 sin60°＝3，
∴B1M＝NB1+MN＝5，
∵＜5＜，
∴小虫爬行的最短路程为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了立体图形的展开图，两点之间距离最短，关键是正确画出立体图形的平面展开图并进行分类讨论．
3 、解答题
【考点】全等三角形的判定
【分析】先证明∠DOC=∠BOA，再由边角边即可证明△AOB≌△COD．
解：由图可知：，
，
∵，
∴，
在和中： ，
∴．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
【考点】全等三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理
【分析】根据勾股定理的逆定理得到，推出，根据全等三角形的性质得到，然后由勾股定理即可得到结论．
证明： 在 中，，
为直角三角形，，
又 ，，，
，
，
，
．
【点评】考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理和勾股定理的逆定理，由勾股定理的逆定理得到∠E=90°是解题的关键．
【考点】 平方差公式的几何背景．
【分析】 （1）大正方形与小正方形的面积的差就是阴影部分的面积；
（2）根据矩形的面积公式求解；
（3）根据两个图形的面积相等即可得到公式；
（4）利用（3）的公式即可直接求解．
解：（1）a2﹣b2；
（2）（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；
（4）原式=（100﹣0.2）（100+0.2）
=1002﹣0.22
=10000﹣0.04
=9999.96．
【点评】 本题考查了平方差公式的几何解释，根据阴影部分的面积相等列出面积的表达式是解题的关键．
【考点】条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体
【分析】（1）根据统计图中D组的数据，可以求得本次抽取的人数， 并求得C组所对应的圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，得出C组及D组的人数，即可计算出该校平均每周劳动时间不少于的学生人数．
解：（1）这次调查活动共抽取10÷10%=100（人），
组所在扇形的圆心角为360°× =108°，
故答案为：100，；
（2）B组的学生有：100-15-30-10=45（人），
补充完整的条形统计图如图所示：
（3）解：（人）．
∴估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数大约有600人
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，掌握统计数据的意义．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰直角三角形的性质，即可证得：△EAB≌△EDC即可证明．
解答： 数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．
证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC﹣∠EDA=180°﹣45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD=AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中
，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=90°，
∴BE⊥EC．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与应用，证明线段相等的问题一般的解决方法是转化为证明三角形全等．
【考点】因式分解的应用
【分析】（1）根据所给的定义直接求解即可，
（2）①分两种情况讨论：当交换百位与十位数字时，新的三位正整数是100x+60+y，此时不符合题意，当交换百位与个位数字时，新的三位正整数是100y+6+10x，根据题意可知2y+1+9x能被11整除，再由1≤x＜y≤9，x，y为自然数，分别求出对应的x、y的值即可，
②在①的基础上，分别求出每组对应的F（m）的值，再比较大小即可．
解：（1）∵24＝4×6，
∴F（24）＝＝，
∵270＝15×18，
∴F（270）＝＝，
（2）①当交换百位与十位数字时，新的三位正整数是100x+60+y，
∴10x+y+600+100x+60+y＝660+110x+2y，
∵660+110x+2y不能被11整除，
∴此时不符合题意，
当交换百位与个位数字时，新的三位正整数是100y+6+10x，
∴10x+y+600+100y+6+10x＝606+101y+20x，
∵606+101y+20x能被11整除，
∵606+101y+20x＝605+1+99y+2y+11x+9x，
∴2y+1+9x能被11整除，
∵1≤x＜y≤9，x，y为自然数
∴x＝0，y＝5，x＝1，y＝6，x＝2，y＝7，x＝3，y＝8，x＝4，y＝9，
∴所有的“心意数”t为605，616，627，638，649，
②当x＝0，y＝5时，m＝5，F（m）＝，
当x＝1，y＝6时，m＝16，F（m）＝1，
当x＝2，y＝7时，m＝27，F（m）＝，
当x＝3，y＝8时，m＝38，F（m）＝，
当x＝4，y＝9时，m＝49，F（m）＝1，
∴F（m）的最小值为．
【点评】本题考查因式分解的应用，弄清定义，将所求的问题转化为整式的运算，分类讨论是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；
②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH，由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．
①证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC，CE=CD
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
②△CFH是等边三角形．
理由如下：
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH，
在△BCF和△ACH中，
，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH；
∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形．
【点评】 本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA．SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．
【考点】三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出∠BAC＝∠PAQ＝60°，AB＝AC，AP＝AQ，再由SAS定理即可得出结论；
（2）由∠APC=∠CAP，∠B=∠BAC，∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°，得∠BAP=90°，再结合，进而即可求解；
（3）设CD与AP交于点O，由，得∠ACD=∠APD，结合∠AOC=∠DOP，三角形内角和定理，即可得到结论．
证明：（1）∵△ABC与△APD是等边三角形，
∴∠BAC＝∠PAD＝60°，AB＝AC，AP＝AD，
∴∠BAP＝∠DAC，
在△ABP与△ACD中，
，
∴（SAS）；
（2）∵，
∴∠APC=∠CAP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，
又∵∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°，
∴∠BAC+∠CAP=×180°=90°，即：∠BAP=90°，
∴∠APB=90°-60°=30°，
∴∠ADC=∠APB=30°，
∵△APD是等边三角形，
∴=60°-∠ADC=60°-30°=30°；
（3）=，随着点位置的变化，与的数量关系不会发生变化，理由如下：
设CD与AP交于点O，
∵，
∴∠ACD=∠ABP=60°，
∵∠APD=60°，
∴∠ACD=∠APD，
又∵∠AOC=∠DOP，∠AOC+∠ACD+∠PAC=180°，∠DOP+∠APD+∠PDC=180°，
∴=．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
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