14.3.2 公式法（2）
导学案
一、学习目标：
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．
2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．
二、重、难点：
重点：运用完全平方公式分解因式.
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.
三、学习过程：
复习回顾
计算下列各式：
① (x+2)2=____________； ② (x-2)2=____________；
③ (2x+3y)2=______________； ④ (2x-3y)2=______________.
知识精讲
思考：多项式 a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 有什么特点？你能将它们分解因式吗？
每个多项式有几项？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
（3）中间项和第一项、第三项有什么关系？
完全平方式
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 这样的式子叫做完全平方式.
完全平方式的特点：
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
【针对练习】判断下列各式是不是完全平方式.
(1)a2－4a+4；
(2)1+4a ；
(3)4b2+4b-1；
(4)a2+ab+b2；
典例解析
例1. 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N =
【点睛】本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
【针对练习】
1.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么常数m的值为____
知识精讲
把整式乘法的完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2
的等号两边互换位置，就得到
典例解析
例2.分解因式：
(1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2
【针对练习】分解因式：
(1) x2+12x+36 (2) -2xy-x2-y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x2-4x+1
例3.分解因式：
(1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) (a+b)2-12(a+b)+36
【针对练习】分解因式：
(1) ax2+2a2x+a3 (2) -3x2+6xy-3y2 (3) (x+y)2-12x-12y+36
公式法
把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
三、课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）14.3.2 公式法（2）
教学设计
一、教学目标：
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．
2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．
二、教学重、难点：
重点：运用完全平方公式分解因式.
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.
三、教学过程：
复习回顾
计算下列各式：
① (x+2)2=____________； ② (x-2)2=____________；
③ (2x+3y)2=______________； ④ (2x-3y)2=______________.
知识精讲
思考：多项式 a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 有什么特点？你能将它们分解因式吗？
（1）每个多项式有几项？三项
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
（3）中间项和第一项、第三项有什么关系？
中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 这样的式子叫做完全平方式.
完全平方式的特点：
1.必须是三项式(或可以看成三项的)
2.有两个同号的平方项
3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
【针对练习】判断下列各式是不是完全平方式.
(1)a2－4a+4； 是
(2)1+4a ；不是
(3)4b2+4b-1；不是
(4)a2+ab+b2；不是
典例解析
例1. 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N =9
【点睛】本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
【针对练习】
1.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么常数m的值为____±8。
知识精讲
把整式乘法的完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2
的等号两边互换位置，就得到
典例解析
例2.分解因式：
(1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24 x+9= (4 x)2 + 2·4 x·3 + 32
分析:(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.
解：(1)原式=(4 x)2+2·4 x·3+32=(4x+3)2
(2)原式=-(x2-4xy+4y2) =-[(x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2
【针对练习】分解因式：
(1) x2+12x+36 (2) -2xy-x2-y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x2-4x+1
解：(1)原式= x2+2·x 6+62=(x+6)2
(2)原式= -(x2+2xy+y2)=-(x+y)2
(3)原式=(a+1)2
(4)原式=(2x)2-2·2x·1+1=(2x-1)2
例3.分解因式：
(1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) (a+b)2-12(a+b)+36
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36.
解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2
【针对练习】分解因式：
(1) ax2+2a2x+a3 (2) -3x2+6xy-3y2 (3) (x+y)2-12x-12y+36
解：(1)原式= a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2
(2)原式= -3(x2-2xy+y2)=-3(x-y)2
(3)原式=(x+y)2-12(x+y)+36=(x+y)2-2·(x+y)·6+62=(a+b-6)2
公式法
把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
三、课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
四、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）
五、课堂板书(共18张PPT)
人教版八年级上册
14.3.2 公式法（2）
——运用完全平方公式因式分解
1.探索并运用完全平方公式进行因式分解，体会转化思想．
2.能综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解．
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.
可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”)
计算下列各式：
①(x+2)2=____________； ②(x-2)2=____________；
③(2x+3y)2=______________； ④(2x-3y)2=______________.
x2＋4x＋4
x2 - 4x＋4
4x2+12xy＋9y2
4x2-12xy＋9y2
新课导入
多项式 a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 有什么特点？你能将它们分解因式吗？
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项、第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍
三项
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
知识讲解
完全平方式的特点：
完全平方式:
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：
凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式,将它写成完全平方形式,便实现了因式分解.
2ab
+b2
±
=(a±b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
首平方,尾平方,首尾两倍在中央.
知识讲解
1.下列各式是不是完全平方式？
(1)a2－4a+4；
(2)1+4a ；
(3)4b2+4b-1；
(4)a2+ab+b2；
是
因为它只有两项；
不是
4b 与-1的符号不统一；
不是
不是
因为ab不是a与b的积的2倍.
针对训练
例1 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( )
A . 11 B. 9 C. - 11 D. - 9
B
变式训练 如果 x2 - mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_______.
±8
解析：根据完全平方式的特征，中间项
-6x = -2×x×3，故可知 N = 32 = 9.
例题讲解
把整式乘法的完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2
的等号两边互换位置，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
知识讲解
例2.分解因式：
(1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24 x+9= (4 x)2 + 2·4 x·3 + 32
a2
+
2 · a ·b + b2
解：(1)原式=(4 x)2+2·4 x·3+32
=(4x+3)2
例题讲解
例2.分解因式：
(1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2
(2)原式=-(x2-4xy+4y2)
=-[(x2-2·x·2y+(2y)2]
=-(x-2y)2
分析:(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.
例题讲解
分解因式：
(1) x2+12x+36 (2) -2xy-x2-y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x2-4x+1
解：(1)原式= x2+2·x 6+62=(x+6)2
(2)原式= -(x2+2xy+y2)=-(x+y)2
(3)原式=(a+1)2
(4)原式=(2x)2-2·2x·1+1=(2x-1)2
针对训练
例3.分解因式：
(1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) (a+b)2-12(a+b)+36
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36.
解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=(a+b-6)2
例题讲解
分解因式：
(1) ax2+2a2x+a3 (2) -3x2+6xy-3y2 (3) (x+y)2-12x-12y+36
解：(1)原式= a(x2+2ax+a2)
=a(x+a)2
(3)原式=(x+y)2-12(x+y)+36
=(x+y)2-2·(x+y)·6+62
=(a+b-6)2
(2)原式= -3(x2-2xy+y2)
=-3(x-y)2
针对训练
把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+
2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式：
用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
知识讲解
课后小结
整式的乘法
相反
变形
因式分解
a2 + 2ab + b2 =_______.
a2 - 2ab + b2 =_______.
(a + b)2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab - b2
完全平方公式
(a - b)2
两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的___(或___)的平方.
和
差
课堂练习：课本119页练习.
作业布置
见精准作业单
谢谢观看14.3.2 公式法（2）
精准作业
课前诊断
1. (1) x4-y4 (2) a3b-ab
必做题
1. 把下列多项式因式分解：
(1) x2 - 12x + 36；
(2) 4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1；
(3) y2 + 2y + 1 - x2.
2. 分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
思考题
1. .(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
参考答案
课前诊断
1. 解：(1) x4-y4
=(x2+y2)(x2-y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y)
(2) a3b-ab
=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1)
必做题
1. 解：(3) 原式 = (y + 1) - x
= (y + 1 + x)( y + 1 - x).
(1) 原式 = x2 - 2 · x · 6 + 62
= (x - 6)2.
(2) 原式 = [2(2a + b)] - 2×2(2a + b) · 1 + 1
= (4a + 2b - 1)2.
2. 解：（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
（4）解：＝
＝
＝．
思考题
1. 解(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×52＝50.
