2023-2024学年北师大版九年级上册第一章《特殊平行四边形》跟踪训练（含答案）

北师大版2024年九年级上册第一章《特殊平行四边形》跟踪训练
一、选择题
1.正方形具备而菱形不具备的性质是（）
A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角
2.下列命题是真命题的是（）
A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 有三条边相等的四边形是菱形
3.从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A. B. C. D.
4.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）
①平行四边形 ②菱形 ③等腰梯形 ④对角线互相垂直的四边形
A.①③ B.②③ C.③④ D.②④
5.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点，使该点到各顶点距离相等的图形是（）
A.平行四边形和菱形 B.菱形和矩形 C.矩形和正方形 D.菱形和正方形
6.矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角的角平分线分长边为两部份，这两部份的长为（）A.6cm和9cm B. 5cm和10cm C. 4cm和11cm D. 7cm和8cm
7.如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，AFBE于点F，交BD于点G，则下述结论中不成立的是（）A.AG=BE B.△ABG≌△BCE C.AE=DG D.∠AGD=∠DAG
二、填空题
8.矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：四个角 ，对角线 。
9.在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若，则 。
10.已知菱形一个内角为，且平分这个内角的一条对角线长为8cm，则这个菱形的周长为 。
11.矩形的两条对角线把这个矩形分成了四个 三角形。菱形的两条对角线把这个菱形分成了四个 三角形。正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个 三角形。
12.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”型图案，则 , 。
13.正方形的边长为，则它的对角线长 ，若正方形的对角线长为，它的边长为 。
14.边长为的正方形，在一个角剪掉一个边长为的正方形，则所剩余图形的周长为 。
15.顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 。顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的图形是矩形。顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是菱形。顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是正方形。
16.菱形的面积为24cm2，边长为5cm，则该菱形的对角线长分别为 。
三、解答题
17.已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。
求证：四边形CEDF是正方形。
18.已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F。
求证：四边形AEDF是菱形。
如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点。
求证：FM⊥DE。
20.如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P。
求证：AP＝AB。
21.如图，已知点F是正方形ABCD的边BC的中点，CG平分∠DCE，GF⊥AF。
求证：AF=FG。
22.已知中对角线AC的垂直平分线交AD于点F，交BC于点E。
求证：四边形AECF是菱形。
证明：∵EF是AC的垂直平分线（已知）
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）。
老师说小明的解答不正确
⑴你能找出小明错误的原因吗？请你指出来。
⑵请你给出本题的证明过程。
23.请阅读如下材料。
如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD于点O，E是AC上一点，AG⊥BE，垂足为G。求证：OE=OF。
证明：∵四边形ABCD是正方形。
∴∠BOE=∠AOF=90°,且OA=OE.
又∵AG⊥BE，∴∠1+∠3＝90°＝∠2+∠3，即∠1＝∠2.
∴Rt△BOE≌Rt△AOF,∴OE=OF。
⑴根据你的理解，上述证明思路的核心是利用 使问题得以解决，而证明过程中的关键是证出 。
⑵若上述命题改为：点E在AC的延长线上，AG⊥BE交EB的延长线于点G，延长AG交DB的延长线于点F，如图，其他条件不变。
求证：OF=OE.
北师大版2024年九年级上册第一章《特殊平行四边形》跟踪训练
参考答案
一、选择题
1.C 2.C 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D
二、填空题
8. 都是直角，相等
9. 40°
10. 32cm
11. 等腰，直角，等腰直角
12. 90°，45°
13. ，
14.
15. 平行四边形，互相垂直，相等，互相垂直且相等
16. 6cm和8cm
三、解答题
17. ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴矩形DECF是正方形。
18. ∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD，
∵∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA,
∴EA=ED，
∴AEDF是菱形。
19.连接MD、ME
∵Rt△CBD中M为BC的中点，
∴MD＝BC，
∵Rt△CBE中M为BC的中点，
∴ME＝BC，
∴MD=ME，
∵F是DE的中点，
∴FM⊥DE。
20.提示：延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，得BE=CF。
再证：△CDF≌△AMF得BA＝MA，由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP=BM，即AP=AB。
21.提示：取AB的中点M,连接FM，由∠FAM=∠GFC，AM=FC，∠AMF=∠FCG=135°，可证△FAM≌△GFC，即得AF=FG.。
22.⑴小明错在AC和EF并不是互相平分的，EF垂直平分AC，但AC并不平分EF，需要通过证明得出。
⑵∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠FAC＝∠ECA。
在△AOF与△COE中
∴△AOF≌△COE，∴EO=FO
∴四边形AECF是菱形。
23.⑴三角形全等，∠1＝∠2
⑵∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOF＝∠BOE＝90°，且OA＝OB，
又∵∠F+∠FAO=90°,∠E+∠FAO=90°,即∠E=∠F
∴Rt△AOF≌Rt△BOE,∴OE=OF.