四川省资阳市重点中学2023-2024学年高一上学期1月阶段测试（示范班）数学试题（含解析）

四川省资阳市重点中学2023—2024学年第一学期1月阶段测试
高一数学（示范班）
时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题．本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 复数 满足(为虚数单位), 则的共轭复数的虚部为（ ）
A. B.
C. D.1
2. 设 是针角三角形的三边长，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量 (单位:), 放电时间(单位:) 与放电电流(单位:) 之间关系的经验公式, 其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时, 放电时间, 则当放电电流时, 放电时间为 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知 ,,, 则（ ）
A. B.
C. D.
5. 在 中,,是线段上的动点 (与端点不重合), 设, 则的最小值是 ( )
A.3 B.1 C.2 D.4
6. 已知函数 , 若关于的方程在上有且只有一个解, 则为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7. 设 是定义域为的偶函数, 且在单调递增, 设,, 则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数 为一次函数, 若, 有, 当时, 函数的最大值与最小值之和是 ( )
A.10 B.8 C.7 D.6
二、多项选择题：本题共4道小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C.若 , 则 D.
10. 已知向量 , 则下列说法正确的是（ ）
A.与能作为平面的一组基底
B.若 , 则
C.在上的投影向量为
D.若 , 则
11. 关于函数 , 如下结论中正确的是（ ）
A.函数 的周期是
B.函数 的值域是
C.函数 的图象关于直线对称
D.函数 在上递增
12. 已知 是定义在上的函数, 同时满足以下条件:
① 为奇函数,为偶函数, 且
②
③ 在上单调递减. 下列叙述正确的是（ ）
A.函数 有 5 个零点
B.函数 的最大值为 20
C.成立
D.若 , 则
三、填空题：本题共4道小题，每小题5分，共20分．
13已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为___________．
14 已知函数 , 若在既有最大值又有最小值, 则实数的取值范围为___________．
15设定义在 上的函数, 则不等式的解集是___________．
16平面向量 满足,,, 则的最小值为___________．
四、解答题：本题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）已知 .
(1) 求 的值;
(2) 求 的值.
18.（本题满分12分）在 中, 角 A,的对边分别为,.
(1) 求 ;
(2) 若点 是上的点,平分, 且, 求面积的最小值.
19.（本题满分12分）在圆内接四边形 中, 已知平分.
(1) 若 , 求的长度;
(2) 求 的值.
20.（本题满分12分）某公司竞标得到一块地, 如图 1, 该地两面临湖 ( 面临湖) ,,,,.
(1) 求 的长;
(2) 该公司重新设计临湖面, 如图 2, 弧 是以为直径的半圆,是弧上一点,是一条折线观光道, 已知观光道每米造价 300 元，若该公司预计用 88000 元建观光道，问预算资金是否充足？
21.（本题满分12分）已知定义在 上的函数满足且,.
(1) 求 的解析式;
(2) 若不等式 恒成立, 求实数取值范围;
(3) 设 , 若对任意的, 存在, 使得, 求实数取值范围.
22.（本题满分12分）已知函数 为奇函数, 且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1) 求 的解析式与单调递减区间;
(2) 将函数 的图象向右平移个单位长度, 再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变), 得到函数的图象, 当时, 求方程的所有根的和.
参考答案及解析
1. 【答案】C
【解析】, 则.
故选：C.
2. 【答案】B
【解析】由于 是钝角三角形的三边长,
所以 , 且, 所以,
设最长边 对的角为,
则 , 解得.
故选：B
3. 【答案】A
【解析】由 , 得时,, 即,
时,,
,
.
故选：A.
4. 【答案】D
【解析】因为 , 所以,
又 ,,
所以 ,,
所以 ,,
所以 .
故选：D
5. 【答案】D
【解析】因为 , 所以,
因为 , 所以,
因为 三点共线, 所以,
所以 ,
当且仅当 , 即时取等号,
所以 的最小值是 4.
故选：D
6. 【答案】A
【解析】
,
, 即在上有且只有一个解,
令 ,
因为 , 所以, 即在上有且只有一个解,
所以 , 解得,
又 , 所以.
故选: A.
7. 【答案】A
【解析】,
, 即,
由于函数 是偶函数, 在区间上单调递增, 所以在上单调递减,
由于函数 为偶函数, 则, 即.
故选：A.
8. 【答案】D
【解析】由题意, 设一次函数 ,
因为 , 可得, 解得,
所以 , 故的图象关于对称,
又设 , 可得函数为单调递增函数,
且 ,
即 , 所以是奇函数, 则,
则 ,,
所以
即为 的最大值与最小值之和 6.
故选：D.
9. 【答案】ACD
【解析】解：对于选项 A，由换底公式可得 , 故 A 不正确;
对于选项 B, , 故 B 正确;
对于选项 C, 设 , 两边分别平方可得,
因为 , 所以, 故, 故 C 不正确;
对于选项 D, , 故 D 正确.
故选：BD．
10. 【答案】AC
【解析】
选项 A: 因 , 所以与不共线, 故与能作为平面的一组基底, A 正确;
选项 B: , 因得, 得, 故 B 错误;
选项 C: 与的夹角为, 则,
方向上的单位向量为,
故 在上的投影向量为, 故 C 正确;
选项 D: , 因得, 得, 故 D 错误.
故选：AC.
11. 【答案】ACD
【解析】A. ,
,
是周期为的周期函数,正确;
B. 当 时,, 此时,,
, 又的周期是,时,值域是错;
C. ,
函数的图象关于直线对称, C 正确;
D. 由 B 知 时,, 当时,,单调递增, 而是周期为的周期函数, 因此在上的图象可以看作是在上的图象向右平移单位得到的, 因此仍然递增, D 正确.
故选：ACD．
12. 【答案】BCD
【解析】因为① 为奇函数, 所以, 且, 即,
所以函数 关于点对称, 即关于点对称,
因为 为偶函数, 所以, 所以关于直线对称, 即关于直线对称,
由 关于点对称, 且关于直线对称, 则函数的周期为 4,
由 关于点对称, 所以, 又关于直线对称,,
又②5 , 所以, 即, 即,
③ 在上单调递减, 画出函数的草图：
对于 A, 函数 的零点个数即为与的交点个数, 如图, 易知有 4 个交点, 即函数有 4 个零点, 故 A 错误;
对于 B, 因为 , 所以当时, 函数的最大值为 20 , 故 B 正确.
对于 C, 易知函数 与是偶函数,
,,
所以函数 与的周期;
又 ,,
所以函数 与的对称轴为;
当 时,, 得,,,
又因为 , 所以,
因为 在上单调递增, 所以, 即,
根据周期性, 对称性可知 , 又在上单调递增,, 故 C 正确;
对于 , 若, 因为在单调递减, 在单调递增,
又 , 所以,
因为 在单调递减, 在单调递增, 所以, 所以, 则成立, 故 D 正确.
故选：BCD.
13. 【答案】 【解析】略
14【答案】 【解析】作出函数的大致图象, 令 , 得,, 得,若 在既有最大值又有最小值, 则实数的取值范围为. 故答案为:.
15【答案】 【解析】由 ,又函数定义域为 , 故为奇函数,在 上易知单调递增, 且,又 在上连续, 故上递增,所以 ,则 , 不等式解集为.故答案为: .
16【答案】. 【解析】几何意义+等和线由题记 ,则由 , 得, 且,作图，如右图所示：为正三角形,,由 , 得在直线上,又 ,, 即点在以点为圆心,为半径的圆上,.故答案为: .
17. 【答案】(1) ; (2) .
【解析】解：(1) , 解得;
(2) .
18. 【答案】(1) ; (2) 面积的最小值为.
【解析】 (1) 由题意知 中,,
故 , 即,
即 ,
所以 , 而,
,
故 , 即,
又 , 故;
(2) 由于点 是上的点,平分, 且,
则 ,
由 , 得,
即 , 则, 当且仅当时取等号,
故 , 当且仅当时取等号,
所以 , 即面积的最小值为.
19 【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1) 平分, 有,
又 ,, 所以, 有,
由 ,,
在 和中, 由余弦定理得,,
有 , 解得,
, 则有;
(2) 由 (1) 知 , 有, 设,
在 和中, 由余弦定理得,,
有 , 解得,
又 ,,,
, 在和中, 由余弦定理得,
, 即, 得, 即,
.
20. 【答案】(1) ,; (2) 预算资金充足.
【解析】(1) 在 中, 有,,
解得,,
在 中,,
,, 解得,
在 中,, 所以;
(2)【方法一】 是以为直径的半圆, 点为上一点,
,
,
,
, 所以预算资金充足.
【方法二】由题易知 , 在中, 设,
,,
,
,,,
,
, 所以预算资金充足.
21. 【答案】(1) ;
(2) 实数 的取值范围是;
(3) 实数 的取值范围是.
【解析】 (1) 由题意知, ,
即 , 所以,
故 ;
(2) 由 (1) 知, ,
所以 在上单调递增,
所以不等式 恒成立等价于, 即恒成立,
设 , 则, 当且仅当, 即时取等号,
所以 ,
故实数 的取值范围是;
(3) 因为对任意的 , 存在, 使得,
所以 在上的最小值不小于在上的最小值,
因为 在上单调递增,
所以当 时,,
又 的对称轴为,
当 时,在 [1,3] 上单调递增,, 解得,
所以 ;
当 时,在上单调递减, 在上单调递增,
, 解得, 所以;
当 时,在 [1,3] 上单调递减,, 解得,
所以 ,
综上可知, 实数 的取值范围是.
22 【答案】(1) 函数 的递减区间为;
(2) 方程 在内所有根的和为.
【解析】
(1) 由题意，,
图象的相邻两对称轴间的距离为,
的最小正周期为, 即可得,
又 为奇函数, 则,
又 ,, 故,
令 , 得,
函数的递减区间为;
(2) 将函数 的图象向右平移个单位长度, 可得的图象,
再把横坐标缩小为原来的 , 得到函数的图象,
又 , 则或, 即或,
令 , 当时,,
画出 的图象如图所示:
有两个根, 关于对称, 即,
有,
在上有两个不同的根,
,,
又 的根为,
所以方程 在内所有根的和为.