2023--2024学年京改版九年级数学上册第二十章解直角三角形单元达标测试卷（含解析）

京改版九年级数学上册第二十章解直角三角形单元达标测试卷
一、单选题
1．的值为（　　）
A．1 B．－1 C． D．
2．如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离AB为(　　)
A．mcosα B． C．msinα D．
3．计算 =（　　）
A． B．1 C． D．
4．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 的平分线交 于点 ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
5．已知sina= ，且a是锐角，则a=（　　）
A．75° B．60° C．45° D．30°
6．已知锐角A满足关系式2sin2A-7sinA+3=0，则sinA的值为（　　）
A． B．3 C．或3 D．4
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边上的高为h，sinA=，则AB的长等于（　　）
A．h B．h C．h D．h
8．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF=45°，边 交 于点 ，连接 ，则下列说法中：① ；② ；③tan∠AFE=3；④ 正确的有（　　）
A．①②③ B．②④ C．①④ D．②③④
10．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值（　　）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
二、填空题
11．如图，在中，，，，则　 　．
12．已知∠α=36°，若∠β是∠α的余角，则∠β=　 　度，sinβ=　 　 （结果保留四个有效数字）
13．计算：tan45°﹣（﹣1）0= 　 　．
14．在△ABC中，CO是AB边上的中线，∠AOC＝60°，AB＝2，点P是直线OC上的一个动点，则当△PAB为直角三角形时，边AP的长为　 　.
三、解答题
15．如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：
∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．
请你计算出这片水田的面积．
（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376， ≈1.732）
16．如图，在山坡BC坡顶的平台CD上竖直立有一根旗杆MN，已知山坡BC的坡度为3：4．小明站在A处测得旗杆顶端M的仰角是，向前步行3米到达B处（米），再延斜坡BC步行5米至平台点C处（），测得点M的仰角是，若A、B、C、D、M、N在同一平面内，且A，B和C，D，N分别在同一水平线上，小明的眼睛距离脚底的高度米，求旗杆MN的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）
17．如图，已知在中，，，，求的长和的值
18．如图，一艘渔船以60海里每小时的速度向正东方向航行.在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上；继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔C在北偏东30°方向上.已知在灯塔C周围50海里范围内有暗礁，问这艘渔船继续向东航行有无触礁的危险？
四、综合题
19．
计算： ；
20．
在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
请写出正确的计算过程．
21．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度 ，AB=10米，AE=15米．
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： ）
22．
（1）知识延伸：如图1，在 中， ， ，根据三角函数的定义得： 　 　；
（2）拓展运用：如图2，在锐角三角形 中， ．
①求证： ；
②已知： ，求 的度数．
23．如图，等腰三角形△ABC的腰长AB=AC=25，BC=40，动点P从B出发沿BC向C运动，速度为10单位/秒．动点Q从C出发沿CA向A运动，速度为5单位/秒，当一个点到达终点的时候两个点同时停止运动，点P′是点P关于直线AC的对称点，连接P′P和P′Q，设运动时间为t秒．
（1）若当t的值为m时，PP′恰好经过点A，求m的值．
（2）设△P′PQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式（m＜t≤4）
（3）是否存在某一时刻t，使PQ平分角∠P′PC？存在，求相应的t值，不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：的值为，
故答案为：D．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：cosα= ，
则AB= .
故答案为：B.
【分析】根据余弦三角函数的定义，直接利用锐角三角函数关系得出cosα= ，进而得出答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】解 ： tan 45 ° =1
故答案为：B。
【分析】根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。
4．【答案】C
【解析】【解答】∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=
在Rt△ADC中，AC=4，∠C=
∴AD=
在Rt△ADB中，AD= ，∠ABD=
∴BD=
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD= .
在Rt△EBD中，BD= ，∠EBD=
∴DE= ，BD=
∴AE=AD DE= - =
故答案为：C
【分析】因为AD⊥BC，所以∠ADC=∠ADB= .在Rt△ADC中，AC=4，∠C= ，所以AD= .在Rt△ADB中，AD= ，∠ABD= ，可求得BD= .因为BE平分∠ABC，所以∠EBD= ，所以，在Rt△EBD中，DE=，所以，AE=AD DE= - = .
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵sina=sin60°= ，a是锐角，
∴a=60°．
故选B．
【分析】根据sin60°= 得出a的值．
6．【答案】A
【解析】【分析】将sinA看做一个整体，采用换元思想解方程即可解答．
【解答】设sinA=y，则上式可化为2y2-7y+3=0．
2y2-7y+3=（2y-1)（y-3)=0，
所以y1=3，y2=．
∵A为锐角，∴0＜sinA＜1，
故选A．
【点评】此题要注意换元思想与锐角正弦值的求法，提高了学生的灵活应用能力．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，CD为斜边AB上的高，
在Rt△ABC中，sinA==，
设BC=3k，则AB=5k，
根据勾股定理，得AC==4k；
在Rt△ACD中，sinA===，
AC=h，
∵4k=h，
∴k=h，
∴AB=5×h=h．
故选C．
【分析】在Rt△ABC中，根据正弦的定义得sinA==，设BC=3k，则AB=5k，根据勾股定理求出AC=4k；在Rt△ACD中，由h与sinA的值，求出AC=h，那么4k=h，求出k，进而得到AB．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：连接BC，
由题意可得：OB=OC=BC，
则△OBC是等边三角形，
故sin∠AOC=sin60°= ．
故选：D．
9．【答案】D
【解析】【解答】证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG．如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠D=90°，
∴∠ABG=90°=∠D，
∵△ABG和△ADF中，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠1=∠2，
又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，
∴∠2+∠3=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∴∠GAE=∠EAF=45°．
在△AEG和△AEF中，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴GE=EF，
∵GE=BG+BE，DF=BG，
∴EF=DF+BF，故②符合题意，
∵BE=EC=3，AB=6，
，
∴∠3≠30°，故①不符合题意，
设DF=x，则EF=x+3，
在Rt△EFC中，∵EF2=CF2+EC2，
∴（x+3）2=32+（6-x）2，
∴x=2，
∴DF=BG=2，
，故③符合题意，
，故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】延长延长CB到G，使BG=DF，连接AGCB到G，使BG=DF，连接AG，根据已知条件判定△ABG≌△ADF（SAS），对应角相等，再判定△AEG≌△AEF（SAS）。因此可得出GE=EF，GE=BG+BE，DF=BG，所以EF=DF+BF。设DF=x，在直角三角形ECF中，勾股定理即可求x，即而求出tan∠AFE，S△CEF列出表达式代数即可。根据∠EAB的正切函数值，可以判定∠EAB的度数。
10．【答案】A
【解析】【分析】由题意可知扩大后的三角形与△ABC是相似三角形，再根据相似三角形的性质及正弦的定义即可判断.
【解答】由题意得，锐角A的大小不变，则锐角A的正弦值不变，
故选A.
【点评】解答本题的的关键是熟练掌握相似三角形的对应角相等，同时注意三角函数值的大小只与角的大小有关，与角两边的长度无关.
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴
故答案为：
【分析】由正弦的定义可得。
12．【答案】54；0.8090
【解析】【解答】解：根据题意：∠β=90°﹣36°=54°，
借助计算器可得sinβ=0.8090．
【分析】根据余角定义计算．
13．【答案】
【解析】【解答】解：原式=1﹣=．
故答案为：
【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
14．【答案】 或 或1
【解析】【解答】解：如图1，当∠APB＝90°，点P在CO的延长线上时，
∵AO＝BO，∴PO＝BO，
∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，
∴△BOP为等边三角形，
∴∠ABP＝60°，
∵AB＝2，
∴AP＝AB sin60°＝2× ；
如图2，当∠ABP＝90°时，
∵∠AOC＝∠BOP＝60°，
∴BP＝ ，
在直角△ABP中，由勾股定理，得AP＝ ；
如图3，当∠APB＝90°时，点P在CO上时，
∵AO＝BO，∠APB＝90°，
∴PO＝AO，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP＝AO＝1；
综上，AP＝ 或 或1.
故答案为： 或 或1.
【分析】当∠ABP＝90°时，如图2，易得∠BOP＝60°，进而可利用三角函数求出BP的长，再根据勾股定理即可求出AP的长；当∠APB＝90°时，分两种情况讨论：①如图1，点P在CO的延长线上时，利用直角三角形的性质可得PO＝BO，进而可得△BOP为等边三角形，然后利用锐角三角函数可得AP的长；②如图3，点P在CO上时，易证△AOP为等边三角形，再利用等边三角形的性质可得结论.
15．【答案】解：作CM⊥BD于M，如图所示：
∵∠A=90°，∠ABD=60°，
∴∠ADB=30°，
∴BD=2AB=400m，
∴AD= AB=200 m，
∴△ABD的面积= ×200×200 =20000 （m2），
∵∠CMB=90°，∠CBD=54°，
∴CM=BC sin54°=300×0.809=242.7m，
∴△BCD的面积= ×400×242.7=48540（m2），
∴这片水田的面积=20000 +48540≈83180（m2）．
【解析】【分析】作CM⊥BD于M，由含30°角的直角三角形的性质求出BD，由勾股定理求出AD，求出△ABD的面积，再由三角函数求出CM，求出△BCD的面积，然后根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD列式计算即可得解．本题考查了勾股定理，由含30°角的直角三角形的性质，三角函数的运用；熟练掌握勾股定理，由三角函数求出CM是解决问题的关键．
16．【答案】解：作EG⊥MN于点G，FH⊥MN于点H，延长FC交AB于点P，EG、FP交于点Q，
由题意知，四边形APQE、FHGQ、CQGN是矩形，tan∠PBC＝，∠MEG＝37°，∠MFH＝50°，
∴AE＝PQ＝CF＝HN＝1.6，
∵tan∠PBC＝＝，
∴sin∠PBC＝＝，cos∠PBC＝＝，
∴CP＝BC＝×5＝3，BP＝BC＝×5＝4，
∴HG＝FQ＝CP＝3，EQ＝AP＝AB＋BP＝3＋4＝7，
设MH＝x，则MG＝MH＋HG＝x＋3，
在Rt△FMH中，tan∠MFH＝，
∴FH＝＝，
∴EG＝EQ＋QG＝7＋FH＝7＋，
在Rt△MEQ中，，
解得x≈6.9，
∴MN＝MH＋HN≈6＋1.6＝7.6．
答：旗杆MN的高度约为7.6米．
【解析】【分析】作EG⊥MN于点G，FH⊥MN于点H，延长FC交AB于点P，EG、FP交于点Q，先利用锐角三角函数求出CP和BP的长，再利用线段的和差求出HG和EQ的长，设MH＝x，则MG＝MH＋HG＝x＋3，利用tan∠MFH＝， 求出FH的长，再结合求出x的值，即可得到答案。
17．【答案】解：在中，
∵，，，
∴，
∴.
【解析】【分析】根据勾股定理可求出BC的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
18．【答案】解：作CH⊥AB于H.
∵∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，
∵∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴BA＝BC＝60海里，
在Rt△CBH中，CH＝CB sin60°＝60× ＝30 （海里），
∵30 ＞50，
∴渔船继续向正东方向航行是安全的.
【解析】【分析】作CH⊥AB于H，首先找出 ∠BAC＝∠BCA＝30°， 利用等角对等边得出 BA＝BC＝60 ， Rt△CBH中，利用正弦函数的定义，由CH＝CB sin60° 求出PH的值即可判定.
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解： ，
由①得 ，
由②得 ，
将不等式组的解集表示在数轴上，得
所以原不等式组的解集为： .
【解析】【分析】（1）由非负数的0指数幂结果为1，负整数指数幂：底变倒，指变反以及特殊角的三角函数值可化简原式，合并即可；
（2）分别求解两个不等式，在数轴上表示公共部分即可.
20．【答案】（1）解：其他错误，有：④tan30°=；⑤（-2）-2=，⑥（-2）0=1，
正确的计算过程：
解：
=28；
（2）解：
=，
∵x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵x=3分式没有意义，
∴x的值为-1，
当x=-1时，原式==．
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的定义、零指数幂性质解答即可；
（2）根据分式的运算法则，一元二次方程的解法解答即可。
21．【答案】（1）解： 过B作BG⊥DE于G，Rt△ABF中，i=tan∠BAH=
∴∠BAH=30°，∴BH= AB=5；
（2）解：由（1）得：BH=5，AH=5 ，∴BG=AH+AE=5 +15，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5 +15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE= AE=15 ．
∴CD=CG+GE﹣DE=5 +15+5﹣15 =20﹣10 ≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
【解析】【分析】（1）由i=tan∠BAH的值，求出BH的值；（2）由（1）得到BH，AH ，BG=AH+AE的值，Rt△BGC中，∠CBG=45°，得到CG=BG的值；在Rt△ADE中，由∠DAE=60°，AE的值，求出DE、AE的值，得到CD=CG+GE﹣DE的值，即宣传牌CD的高．
22．【答案】（1）1
（2）解：①过A作AD⊥BC于点D，如图，
设BD=x，则CD=a﹣x．在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD2=AB2﹣BD2．在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2=AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即c2﹣x2=b2﹣（a﹣x）2，∴b2=a2+c2﹣2ax．在Rt△ABD中，cosB= ，∴x=ccosB，∴b2=a2+c2﹣2accosB；
②当a=3，b= ，c=2时，代入①中结论，可得（ ）2=32+22﹣2×3×2cosB，∴cosB= ，∴∠B=60°．
【解析】【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，∴sinA= ，cosA= ，且a2+b2=c2，∴sin2A+cos2A=（ ）2+（ ）2= = =1．
故答案为：1；
【分析】（1）①过A作AD⊥BC于点D，构建直角三角形，设BD=x，则CD=a﹣x，在Rt△ABD中和在Rt△ACD中分别利用勾股定理得出等式b2=a2+c2﹣2ax，在Rt△ABD中利用∠B得余弦求出x=cosB，代入等式即可.
（2）当a=3，b= ，c=2时，代入①中结论计算即得.
23．【答案】（1）解：如图1中，作AM⊥BC于M．
∵AB=AC=25，AM⊥BC，
∴BM=MC=20，
在Rt△ABM中，AM= = =15，
当PP′恰好经过点A，∵cos∠C= = ，
∴ = ，
∴t= ．
∴m= s
（2）解：如图2中，设PP′交AC于N．
当 ＜t≤4时，由△PCN∽△ACM，可得PC=40﹣10t，PN=P′N=24﹣6t，CN=32﹣8t，
∵CQ=5t，
∴NQ=CN﹣CQ=32﹣13t，
∴y= PP′ NQ= （48﹣12t） （32﹣13t）=78t2﹣504t+768（ ＜t≤4）
（3）解：存在．理由如下：如图3中，作QE⊥BC于E．∵PQ平分∠CPP′，QE⊥PC，QN⊥PP′，∴QN=QE，
∵sin∠C= = ，
∴t=2，
∴t=2时，PQ平分角∠P′PC
【解析】【分析】（1）由∠C的余弦定义既在Rt△APC，又可在Rt△ACM中列出比例式，二者相等，构建方程，求出m;（2）由△PCN∽△ACM,可表示出PC=40﹣10t，PN=P′N=24﹣6t,CN=32﹣8t，代入面积公式，即可得y= PP′ NQ=78t2﹣504t+768;（3）利用∠C的正弦有两种表示的比例式，二者相等，可列出方程,求出t.