(共31张PPT)
两点之间，线段最短
（将军饮马模型以及变形）
以题串模型
例1 一题多问 在平面直角坐标系中， ， ， ，点 为
轴上一动点，连接 ， ， .
（1）当 的值最小时，在图（1）中作出点 的位置， 的最
小值为_ ____.
图（1）
[答案] 如图（1）所示.
如图（1）
（2）当 的值最小时，在图（2）中作出点 的位置， 的最
小值为_ ____.
图（2）
[答案] 如图（2）所示.
图（2）
（3）当 的值最大时，在图（3）中作出点 的位置，
的最大值为_ ___，此时点 的坐标为______.
图（3）
[答案] 如图（3）所示.
图（3）
（4）当 的值最大时，在图（4）中作出点 的位置，
的最大值为_ ___，此时点 的坐标为______.
图（4）
[答案] 如图（4）所示.
图（4）
模型总结
类型1 两定点在定直线异侧
如图（1），定点 ， 在直线 的两侧.
图（1）
1.在直线 上求作点 ，使得 的值最小.
作法：如图（2），连接 ， 与直线 的交点即为点 .
图（2）
2.在直线 上求作点 ，使得 的值最大.
作法：如图（3），作点 关于直线 的对称点 ，连接 并延长， 的
延长线与直线 的交点即为点 .
图（3）
类型2 两定点在定直线同侧
如图（4），定点 ， 在直线 的同侧.
图（4）
1.在直线 上求作点 ，使得 的值最小.
作法：如图（5），作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， 与直线
的交点即为点 .
图（5）
2.在直线 上求作点 ，使得 的值最大.
作法：如图（6），连接 并延长， 的延长线与直线 的交点即为点 .
图（6）
强化训练
（第1题）
1.如图， ， 两点的坐标分别为 ， ，在 轴上
找一点 ，使线段 的值最小，则点 的坐标是_ _____.
（第2题）
2.如图，在 中， ， ， ， 是
的垂直平分线．点 是 上的动点，则 的最
大值为___．
3
（第3题）
3.如图，在 中, ， ，
， 的垂直平分线 分别交 ， 边于
点 ， ，若点 为 边的中点，点 为线段 上一动
点，则 周长的最小值为____.
12
（第4题）
4.[2023四川泸州] 如图,点 ， 是正方形 的边 的
三等分点， 是对角线 上的动点，当 取得最小值
时， 的值是__.
以题串模型
例2 一题多问 点 , 在等边三角形 内部，且 ，
， .点 ， 分别是边 ， 上的动点.
图（1）
（1）连接 ， ， .
①当 的周长最小时，在图（1）中作出点 , 的位置；
[答案] 如图（1）所示（注：点 ， 分别是点 关于 ， 的对称点）.
图（1）
② 周长的最小值为_ ____.
图（2）
（2）连接 ， ， .
①当 的值最小时，在图（2）中作出点 , 的位置；
[答案] 如图（2）所示（注：点 是点 关于 的对称点，点 是点 关
于 的对称点）.
图（2）
② 的最小值为___.
5
模型总结
类型1 两动点 两定直线 一定点
如图（1），点 在 的内部，在 ， 上分别求作点 ， ，使
的周长最小.
图（1）
作法：如图（2），分别作点 关于 ， 的对称点 ， ，连接 ，
分别交 ， 于点 ， ，此时 的周长最小，最小值即为 的长.
图（2）
类型2 两动点 两定直线 两定点
如图（3），点 ， 在 的内部，在 ， 上分别求作点 ， ，
使得四边形 的周长最小.
图（3）
作法：如图（4），作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，
连接 ，分别交 ， 于点 ， ，此时四边形 的周长最小，
最小值等于 .
图（4）
强化训练
（第5题）
5.如图，已知 的大小为 ，点 是 内部
的一个定点，且 ，点 ， 分别是 ，
上的动点.若 周长的最小值为 ，则 ___
.
45
（第6题）
6.如图，在矩形 中， ， ，
， ，点 ， 分别是边 ， 上的
动点，则四边形 周长的最小值为_ ____.
模型总结
类别 问题背景 构图
“建 桥选 址” 模型 __________________________________ 定点 ， 在两条平行线 ， 两侧，在直线 ， 上分别找点 ， ，使 与直线 , 垂直， 且 的值最小. __________________________________
将点 向下平移到点 处，使
，连接 交直线 于点
，作 交直线 于点 ，此
时 的值最小.
类别 问题背景 构图
“建 桥选 址” 模型 的变 形 __________________________________________ 定点 ， 在直线 两侧，动点 ， 在直线 上（点 在点 左 侧），且 的长度固定.确定点 ， 的位置，使 的值 最小. __________________________________________
将点 向左平移到点 ，使
，连接 交直线 于点
，进而可确定点 ，此时
的值最小.
续表
类别 问题背景 构图
“建 桥选 址” 模型 的变 形 ________________________________________ 定点 ， 在直线 同侧，动点 ， 在直线 上（点 在点 左 侧），且 的长度固定.确定点 ， 的位置，使 的值 最小. ________________________________________
作点 关于直线 的对称点 ,将点
向左平移到点 ，使
，连接 交直线 于
点 ，进而可确定点 ，此时
的值最小.
续表
强化训练
（第7题）
7.如图，在菱形 中， ， ，
线段 在 上运动且 ，则 的最小
值为( )
B
A.4 B. C. D.
（第8题）
8.如图，在矩形 中， ， ，点
为 中点， , 为 边上两个动点，且 ，
当四边形 周长最小时， 的长为___.
4
（第9题）
9.如图，在平面直角坐标系中， ， ，
点 ， 分别是直线 ， 轴上的动点，且
轴，当 的值最小时，点 的坐标为_ ______.
完成练习册相关习题
作业：(共16张PPT)
对角互补模型探究系列
模型总结
基本模型 图示 常用辅助线 结论
— 模型 ①
_ ____.
基本模型 图示 常用辅助线 结论
— 模型 特殊地，点 在 的平分线上： _________________________________________________ ②
_____；
2. ③____；
3. , , 之间
的数量关系为④
________________.
续表
基本模型 图示 常用辅助线 结论
— 模型 ⑤
_____.
特殊地，点 在 的平分线上： __________________________________________________________ ⑥
_____；
2. ⑦____；
3. , , 之间
的数量关系为⑧
_______________.
续表
基本模型 图示 常用辅助线 结论
— 模型 ⑨
_ ____.
续表
基本模型 图示 常用辅助线 结论
特殊地，点 在 的平分线上： _____________________________________________________ ⑩
_____；
2. ____；
3. , , 之间
的数量关系为
______________
________________.
续表
强化训练
1.如图，在四边形 中， ， 平
分 ，若 , ,则 的长为_____.
2.如图，在等腰直角三角形 中， ， ，
点 是 的中点，点 为 上一点，且 ，点 为
上一点，若 ，则 的长度为_ ___.
3.
（1）【操作判断】
①在学习特殊平行四边形的性质时，赵老师让学生制作两个大小相同的正方
形纸片 和 ，其中正方形 的对角线相交于点 .赵老师让
学生固定正方形纸片 ，将正方形纸片 的顶点 与点 重合，
并将纸片 绕着点 旋转，如图（1），学生们惊奇地发现两个正方
形重叠部分的面积______.（填“变了”或“不变”）
不变
②赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片 和 ，其中
菱形 的对角线相交于点 ， .赵老师让学生固定菱
形纸片 ，将菱形纸片 的顶点 与点 重合，并将纸片
绕着点 旋转， 交 边于点 , 交 边于点 ,如图（2），
学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分（四边形 ）的面积______.（填
“变了”或“不变”）
不变
（2）【探索发现】
根据（1）中的发现，学生们认为图（1）和图（2）存在共同的特征：
①射线 是 的________；
平分线
② _ _____.
（3）【迁移探究】
如图（3）， 平分 ，点 在 上，点 , 分别是 , 上的动点，且 ，当点 , 分别在 , 上运动时，试判断四边形 的面积是否发生变化，并利用图（3）说明理由.
[答案] 不变.
理由：如图，过点 作 , ，垂足分别为 ,
，则 ,
.
又 ， ,
.
平分 ， , ，
，
.
, , ，
.
易知 为定值，
故四边形 的面积不发生变化.
（4）【拓展应用】
如图（4），平行四边形 中， ， ， ，点
为 边上一点，且 平分 ，连接 .将 绕点 旋转，当点
的对应点 落在 上时，点 恰好为 的三等分点，请直接写出 的值.
[答案] 的值为7或8.
完成练习册相关习题
作业：(共25张PPT)
半角模型探究系列
以题串模型
例1 一题多问 如图（1），四边形 是正方形， ，射线
分别与直线 、直线 交于点 ， ，射线 分别与直线 、直
线 交于点 , .
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（5）
（1）当点 在线段 上时.
①如图（2），请延长 到点 ，使 ，并证明 .
[答案] 如图（1）.
图（1）
证明：连接 .
， ， ，
， ， ，
.
又 ， ，
.
②如图（3），将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，请画出
，并证明 .
图（2）
[答案] 如图（2）.
证明：连接 .
由题意得 ，
， .
, ， ,
， .
又 ,
.
（2）当点 在线段 的延长线上时.
①如图（4）， ， ， 之间的数量关系为_ ______________;
②如图（5）， ， ， 之间的数量关系为_ _________________.
模型总结
1.如图，四边形 是正方形， .
重要结论：
；
, .
2.如图，四边形 是正方形， .
重要结论：
；
.
3.如图， 是等腰直角三角形， ， .
作法：如图，旋转 至 的位置,使 与 重合,连接 .
如图，旋转 至 的位置,使 与 重合,连接 .
重要结论：
.
强化训练
（第1题）
1.如图，在正方形 中，点 ， 分别是边 ，
上的点， ， ， ，则正方形
的面积为____．
36
（第2题）
2.如图，在 中， ，
．点 ， 都在边 上，且
．若 ，则 的长为_ ____.
备用图
3.在正方形 中，点 是直线 上一
点，将射线 绕点 逆时针旋转 交
直线 于点 ，连接 ．
（1）如图，点 在 的延长线上，点 在 的延长线上，试猜想线段 ， 与 之间的数量关系，并加以证明.
[答案] ．
证明：如图，在线段 上截取线段 ，使得 ，
连接 ．
又 ， ，
，
， ，
.
， .
又 ，
， ，
.
（2）若 ， ，直接写出 的长．
[答案] 的长为 或10.
以题串模型
例2 如图，在四边形 中， ，
, ，射线 交线段
于点 ，射线 交线段 于点 .
（1）判断 ， ， 之间的数量关系，并加以证明.
[答案] .
证明：将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
如图，
则 ， ， ，
（2）若 ，则 ____ .
60
.
又 ， ，
.
模型总结
如图， , , , .
作法:如图，旋转 至 的位置,使 与 重合.
重要结论：
；
, .
强化训练
4.如图， 是边长为3的等边三角形， 是等腰三
角形，且 ．点 ， 分别在 ， 上，
且 ，连接 ，则 的周长为___．
6
5.问题背景：如图（1），在 中，
， ，点 ， 为 边上的
点，且 ，若 ， ，求
的长．
（1）观察发现：注意到条件中有 ，
，不妨把 绕点 顺时针旋转
，得到 ，连接 ，易证 ，从而将线段 ，
， 集中在 中，因为 的度数是_____， ，
，所以 的长为_ ___．
（2）类比探究：如图（2），在 中， ， ，点
， 为 边上的点，且 ， ， ，求 的长.
[答案] .
完成练习册相关习题
作业：
