(共16张PPT)
最值问题——垂线段最短（含胡不归模型）
以题串模型
例 一题多问 在 中， ， ， 是角平分线，
点 为 的中点， .
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（5）
（1）如图（1），若点 ， 分别为线段 ， 上的动点.
①连接 ，则 的最小值为___;
2
②连接 ， ，则 的最小值为___.
2
（2）如图（2），若点 ， 分别为线段 ， 上的动点，连接 ， .
①当 的值最小时，在图（3）中作出点 ， 的位置;
图（1）
[答案] 如图（1）所示（注：点 是点 关于 的对称
点， ）.
② 的最小值为_ ____.
（3）如图（4），点 是 上一点，且 ，点 ， 分别为线段
， 上的动点，连接 ， .
①当 的值最小时，在图（5）中作出点 ， 的位置；
图（2）
[答案] 如图（2）所示（注：点 是点 关于 的对
称点， ）.
② 的最小值为_ ____.
模型总结
类型1 一动点+一定直线+一定点
如图（1），定点 在直线 外，点 为直线 上一动点，当 最短时，确
定点 的位置.
图（1）
图（2）
作法：如图（2），过点 作 于点 ，点 即为所求.
类型2 两动点+两定直线+一定点
1.如图（3），定点 在 的外侧，动点 ， 分别在 ， 上，当
的值最小时，确定点 ， 的位置.
图（3）
图（4）
作法：如图（4），过点 作 于点 ，交 于点 ，点 ， 即为
所求.
2.如图（5），定点 、动点 在 上，动点 在 上，当 的值
最小时，确定点 ， 的位置.
图（5）
图（6）
作法：如图（6），作点 关于 的对称点 ,过点 作 于点 ，
交 于点 ，点 , 即为所求.
3.如图（7），点 在 的内部，在 上求作一点 ，在 上求作一
点 ，使 的值最小.
图（7）
图（8）
作法：如图（8），作点 关于 的对称点 ，过点 作 于点 ，
交 于点 ，此时 的值最小，最小值即为 的长.
强化训练
（第1题）
1.如图， 中， , 是角平分线.若
, 为 上一动点，则 的最小值为___.
1
（第2题）
2.如图， 为等边三角形，边长为6， 于点 ，
点 ， 分别是线段 ， 上的两个动点，连接 ， ，
则 的最小值为_ ____．
（第3题）
3.如图，在 中， ，
， ，点 为边 上的动点，点
为边 上的动点，则 的最小值是_ _.
（第4题）
4.如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点 ，
点 为线段 上一动点（不与点 重合），连接 ，
将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连
接 .若 ， ，则线段 的最小
值为_ _.
问题背景 构图
点 为直线 上一定点,点 为 直线 外一定点,点 为直线 上一动点,当 的值最小 时，确定点 的位置． ______________________________________ ①作角：以点 为顶点作 ,使
;
②作垂线：过点 作 于点 ，
交直线 于点 ,此时 的值最
小，最小值为 的长．
________________________________________
强化训练
（第5题）
5.[2023辽宁锦州] 如图，在 中，
， ， .按下列步骤作图：
①在 和 上分别截取 ， ，使 ．②
分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，
两弧在 内交于点 ．③作射线 交 于点
．若点 是线段 上的一个动点，连接 ，则 的最小值是
_ ____.
（第6题）
6.如图，在 中， ， ， ，
交 于点 ．点 为线段 上的动点，则
的最小值为_ __．
完成练习册相关习题
作业：(共11张PPT)
动点的运动路径问题
类型1 直线类运动路径问题
（第1题）
1.如图，在矩形 中， ， ，点 为
的中点，点 为 上一动点，将 绕点 逆时针旋转
，得到线段 ，连接 ，若点 在矩形 内部
（包括边界），则 的最小值为___.
6
（第2题）
2.如图， ，点 为射线 上一定点，点 是
射线 上一动点，且点 以每秒2个单位长度的速度从点
出发向右运动，设运动时间为 秒．连接 ，以 为边向
右侧作等边三角形 ．当 时，点 的运动路径长为
___．
6
（第3题）
3.如图，点 在线段 上，
， ， ，
．点 为线段 上一动点，在动点 从点
运动到点 的过程中，线段 的中点 所经过的路径
长为_ __．
（第4题）
4.如图，在 中， ，点 是对角
线 上的动点，连接 .以点 为直角顶点，在
的右下方作等腰直角三角形 .若点 从点 出发，
沿 运动到点 时停止，设在点 运动过程中，
的中点 经过的路径长为 ， 的长为 ，则 ___.
类型2 弧类运动路径问题
（第5题）
5.如图，在边长为2的等边三角形 中，点 为 内
（含边界）一动点，且满足 ，则点 的运
动轨迹长为_ ___.
（第6题）
6.如图，已知正方形 的边长为 ，点 为正方形的中
心，点 为边 的中点，点 为线段 上一动点，直线
交 于点 ，过点 作 于点 ，当点 从点 运动
到点 时，点 所经过的路径长是_ ___.
（第7题）
7.如图，在矩形 中， , ,点 为 边上
一动点，将 沿 折叠得到 ,连接 ,则 的最
小值为_ ________.当点 从点 向点 运动，且点 落在矩形
内部时，点 运动的路径长为_ __.
（第8题）
8.如图，在等腰直角三角形 中， ，点 在
以 为直径的半圆上，点 为 的中点，在点 沿半圆从点
运动至点 的过程中，点 运动的路径长为_ ____.
（第9题）
9.如图，在直角三角形纸片 中， ，
， ，点 为 的中点，点 为 上一
动点 ，沿直线 折叠该纸片，点 的对
应点为 ,再沿直线 折叠该纸片，点 的对应点为
.则点 ， 之间的最小距离为___.
1
完成练习册相关习题
作业：(共19张PPT)
动态直线问题的求解方法
类型1 旋转型动态直线问题
图（1）
问题引入1 对于直线 （ 为常数），随着 值
的变化，直线 恒过点______，并绕点______作______变换
（选填“旋转”“平移”或“对称”）.在图（1）中画三条 值不同
的直线 .
旋转
[答案] 图略.
图（2）
问题引入2 对于直线 （ 为常数），表达
式可化为 （______），随着 值的变化，直线 恒过
点______，并绕点______作______变换（选填“旋转”“平移”
或“对称”）.在图（2）中画三条 值不同的直线 .
旋转
[答案] 图略.
图（3）
问题引入3 对于直线 （ 为常数），
表达式可化为 （______） ，随着 值的变化，
直线 恒过点______，并绕点______作______变换（选
填“旋转”“平移”或“对称”）.在图（3）中画三条 值不同
的直线 .
旋转
[答案] 图略.
例1 一题多问 在平面直角坐标系中，函数
的图象如图所示.
（1）该函数的图象是________图形（选填“轴对称”或
“中心对称”），对称____（选填“轴”或“中心”）是
_ ____________.
轴对称
轴
直线
（2）直线 的表达式为_ _________，直线 的表达式为____________.
（3）①当直线 与直线 平行时， 的值为___；当直线 与直
线 平行时， 的值为_ ___.
1
②当直线 与射线 有交点时， 的取值范围为_ ___________.
③当直线 与函数 的图象有两个交点时， 的取值范围为
_ ___________.
（4）①直线 恒过点_ _____.
②当直线 经过点 时， 的值为_ ___；当直线
经过点 时， 的值为_ ___；当直线 经过点 时，
的值为_ ___.
③当直线 与函数 的图象围成三角形，且该三角形内
（不含边界）有一个整点（横、纵坐标均为整数的点）时， 的取值范围为
_ ____________，有两个整点时， 的取值范围为_____________.
（5）①直线 恒过点_ _____.
②当直线 与函数 的图象有两个交点时， 的取
值范围为_ ___________.
③当直线 与函数 的图象只有一个交点时， 的
取值范围为_ ______________________.
， 或
强化训练
1.如图，在平面直角坐标系中， ， ，若直线
与线段 有交点，则 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
2.如图，在平面直角坐标系中，直线
与 轴交于点 ，且经过定点 ，
将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ．
（1）点 的坐标为_ _____.
（2）求点 的横坐标.
[答案] 点 的横坐标为 .
（3）若点 的纵坐标 满足 ，请直接写出相应的 的取值范
围．
[答案] .
3.如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在
轴上，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，直线
的表达式为 .
（1）直线 恒过点_ _____；
（2）当直线 把矩形 分成面积相等的两部分时， 的值为_ ___；
（3）当直线 与线段 相交时，交点为 （点 不与点 重合），设
的面积为 ，试求 与 之间的函数关系式及 的取值范围.
[答案] .; 的取值范围为 .
类型2 平移型动态直线问题
问题引入 直线 （ 为常数）与 轴的交
点坐标为______,随着 值的变化，可看作直线 在沿
轴作______变换（选填“旋转”“平移”或“对称”），在图
中画三条 值不同的直线 .
平移
[答案] 图略.
例2 一题多问 在平面直角坐标系中，函数
的图象如图所示.
（1）当直线 与直线 重合时， 的值为__；
当直线 与直线 重合时， 的值为
_ ___.
1
（2）①当直线 与射线 有交点时， 的取值范围为_ ______.
②当直线 与射线 有交点时， 的取值范围为_ _______.
（3）①当直线 经过点 时， 的值为__.
②当直线 与函数 的图象有两个交点时， 的取值范围
为_ _____.
③当直线 与函数 的图象围成三角形，且该三角形内
（不含边界）有一个整点（横、纵坐标均为整数的点）时， 的取值范围为
_ _________，有两个整点时， 的取值范围为__________.
强化训练
4.如图，佳佳设计了一种挖宝游戏，屏幕上正方形
（含边界）满是宝藏，其中 ， .某个游戏者沿
直线 行走，若他能够挖到宝藏，则 的取值范围
为( )
C
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，函数 的图象如图所示.
（1）该函数的图象是________图形（选填“轴对称”或
“中心对称”），对称____（选填“轴”或“中心”）是______
_______.
轴对称
轴
直线
（2）①当直线 与函数 的图象有交点时， 的
取值范围为_ ______.
②当直线 与函数 的图象有两个交点时， 应当满足_____
__.
③当直线 与函数 的图象有三个交点时， 应当满足_____
__.
完成练习册相关习题
作业：
