(共13张PPT)
特殊三角形中的分类讨论
类型总结
类型 说明
等腰三 角形的 顶角或 底角不 确定 已知等腰三角形的一个角为 ，确定顶角与底角的度数.
分以下三种情况讨论.
若 是钝角，则 为顶角，底角度数是 .
若 是直角，则 为顶角，底角为 .
若 是锐角，则 可能是顶角，也可能是底角.当 是顶角时，
底角度数为 ；当 是底角时，顶角度数为
.
类型 说明
等腰三 角形的 腰不确 定 如图（1），已知线段 和直线 ，在直线 上确定点 ，使
是等腰三角形.
__________________________________________________________________________________________________________
如图（2），当点 是顶角顶点，即 时，点 , 即为所
求；当点 是顶角顶点,即 时，点 , 即为所求；当点
是顶角顶点，即 时，点 即为所求.
续表
类型 说明
直角三 角形的 直角不 确定 如图（1），已知线段 和直线 ，在直线 上确定点 ，使
是直角三角形.
__________________________________________________________________________________________________________
如图（2），当点 是直角顶点时，点 即为所求；当点 是直
角顶点时，点 即为所求；当点 是直角顶点时，以 为直径
作圆，该圆与直线 的交点 , 即为所求（依据：直径所对的圆
周角是 ）.
续表
强化训练
1.等腰三角形的一个内角为 ，则其顶角的度数为( )
D
A. 或 B. C. D. 或
2.若直角三角形两条边的长分别为6，10,则斜边上的中线长为( )
C
A.5 B. C. 或5 D. 或10
3.如图，在 的正方形网格中有两个格点 ， ，连接
，在网格中再找一个格点 ，使得 是等腰直角三角
形，满足条件的格点 的个数是( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
4.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若
等腰三角形 的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为( )
D
A. B. C. 或2 D. 或
（第5题）
5.如图，在 中， ， ，
点 为 的中点，点 是线段 延长线上的一个动点，
连接 ， .当 为直角三角形时， 的长为
_ _____________.
或
（第6题）
6.如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点
的坐标为 ，过点 作 轴，点 在射线 上，
若 为等腰三角形，则点 的坐标为
_ ________________________．
, 或
（第7题）
7.如图，在 中， ， ，
，将 绕点 逆时针旋转 ，
得到 ，连接 .当 是等腰三角形时，点 到
的距离为_ _______.
或1
（第8题）
8.如图，在 中， ，点 为 的
中点.将 沿 翻折，点 的对应点为点 ，
与边 交于点 .当 为直角三角形时， 的度
数为_ ____________.
或
（第9题）
9.[2023河南省实验中学五模] 如图，在矩形 中，
， ， ， 分别是边 ， 上一点，
，将 沿 翻折得 ，连接 ，当
_ _____时， 是以 为腰的等腰三角形．
或
（第10题）
10.[2023郑州桐柏一中三模] 如图，在 中，
， ，点 ， 是
边 上两点，将 沿直线 折叠， 沿
直线 折叠，使得点 ， 的对应点重合于点
．当 为直角三角形时，线段 的长为
_ ____________．
或
11.[2023四川广安] 如图，一次函数
为常数， 的图象与反比例函数 为
常数， 的图象在第一象限交于点 ，
与 轴交于点 ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
[答案] 反比例函数的表达式为 .
（2）点 在 轴上， 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点 的
坐标．
[答案] 符合条件的点 的坐标为 ， 或 ．
完成练习册相关习题
作业：(共17张PPT)
中 点 问 题
类型总结
类型 作法 结论
构造中 位线 点 , 分别是 , 的中点. ①
____,
②_ _ ,
③_ _____.
点 是 的中点.
类型 作法 结论
构造直角三 角形斜边上 的中线 在 中, ,点 是 的中点. ④
_ ___
构造等腰三 角形底边上 的高 在 中, ,点 是 的中点. ⑤
____, 平
分 ⑥
_ _____.
续表
类型 作法 结论
倍长中线、 类中线 是 的 中线.
⑦_ _____
在 中, 是 的中点,点 是 上一点.
⑧_ _____
续表
强化训练
类型1 利用三角形中位线定理解题
（第1题）
1.如图,在 中,点 , , 分别是 , , 的中点,已
知 ,则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
（第2题）
2.如图所示, 是 的边 的中点, 平分
, 于点 ,连接 ,若 , ,
则 的长是( )
B
A.10 B.12 C.14 D.16
3.如图所示,点 , 分别是 的边 , 的中点,连接
,过点 作 ,交 的延长线于点 ,若 ,则
的长为_ _.
4.如图，在四边形 中， , , ，
点 ， 分别为线段 ， 上的动点（点 不与点 重
合），点 ， 分别为 ， 的中点，则 的最大值
为___．
3
类型2 利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解题
（第5题）
5.如图,在 中, , ,
,垂足为 ,点 是 的中点,连接 ,则
的度数是( )
D
A. B. C. D.
（第6题）
6.[2022青海西宁] 如图， 中， ， ，
点 ， 分别是 ， 的中点，点 在 上，且
，则 ___．
1
7.如图,在 中, , 于点 , 于
点 , , 分别为 , 的中点,连接 ,若 ,则
的长为______.
（第8题）
8.如图,在 中, ,点 在边 上,且
, ,则 的度数为______.
类型3 利用等腰三角形的“三线合一”解题
（第9题）
9.如图,在 中, , ,点 为 的中
点,过点 作 于点 ,则 的长为_ __.
类型4 倍长中线、类中线,构造全等三角形解题
10.如图,在 中, , ,点 为
的中点, ,则 的面
积是_____.
11.问题探究:
小红遇到这样一个问题:如图（1）, 中, , , 是中线,求
的取值范围.她的做法是:延长 到 ,使 ,连接 ,证明
,经过推理和计算使问题得到解决.
请回答:
图（1）
图（2）
（1）小红证明 的判定定理是_ ____.
（2） 的取值范围是_ _________________________.
方法运用:
（3）如图（2）, 是 的中线,在 上取一点 ,连接 并延长交
于点 ,使 ,求证: .
证明:如图,延长 至 ,使 ,连接 ,
是 的中线,
.
又 , ,
,
, .
,
,又 ,
, , .
完成练习册相关习题
作业：(共14张PPT)
与角平分线相关的6大模型
类型总结
类型 描述 图示 结论
见角平分线， 用性质定理 已知 是 的 平分线, 于 点 . 作法：过点 作 于点 . 1. ①
______；
2. ②____；
3. ③_ ___.
类型 描述 图示 结论
角平分线 垂 直 三线合 一 已知 是 的 平分线， 于 点 . 作法:延长 交 于点 . ④____；
2. ⑤____；
3. ⑥
______；
4. ⑦
_ _____.
续表
类型 描述 图示 结论
角平分线 平 行线 等腰 三角形 平分 ， BA与 的数量关
系为⑧__________
___
平分 ， AB与 的数量关
系为⑨_ _________
续表
类型 描述 图示 结论
角平分线 平 行线 等腰 三角形 平分 ， 平分 ， 1. ⑩____,
____；
.
续表
类型 描述 图示 结论
两内角平分线 的夹角 中， ， 的平分线相交 于点 . 与 的数
量关系为 _____
_______________
续表
类型 描述 图示 结论
一内角一外角 平分线的夹角 已知 ， 平 分 ， 平分 外角 . 与 的数量
关系为
_ ___________
两外角平分线 的夹角 , 分别平分 的外角 ， . 与 的数量
关系为
_ _______________
续表
强化训练
（第1题）
1.[2023贵州中考改编] 如图,在四边形 中,
, , .按下列步骤作图:①以点
为圆心,适当长度为半径画弧,分别交 , 于 ,
两点；②分别以点 , 为圆心,以大于 的长为半
径画弧,两弧交于点 ；③连接 并延长交 于点
,则 的长是___.
2
（第2题）
2.如图，在 中， 平分 ， 于
点 ， ，若 ， ，则
的值为_ _.
（第3题）
3.如图，直线 ,直线 分别与 , 相
交于点 , .小宇同学利用尺规按以下步骤作图：
①以点 为圆心，以任意长为半径作弧，交 于
点 ，交 于点 ;②分别以点 , 为圆心、大
于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点
;③作射线 ，交 于点 .若 , ，则线段 的长为
_____.
（第4题）
4.[2023新疆中考改编] 如图，在 中， ,
以点 为圆心，适当长为半径作弧，交 于点 ，交 于
点 ，分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，两
弧在 的内部交于点 ，作射线 交 于点 ．若
， ，则 的长为_ _.
（第5题）
5.如图， 中， , , , 分别是其角平分
线和中线，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ,
则 的长为_ _.
（第6题）
6.如图， ， 分别为 的内、外角平分线，
， 分别为 的内、外角平分线，若
，则 _ ____.
7.如图，在 中， 和 的平分线相交
于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点
，过点 作 于点 .有下列四个结论：
① ；
② ；
③点 到 各边的距离相等；
④设 , ，则 ．
其中正确的结论是________.（填序号）
①②③
完成练习册相关习题
作业：
