(共31张PPT)
弧长的计算，阴影部分周长、面积的计算
类型1 弧长的计算、阴影部分周长的计算
知识铺垫
1.弧长计算公式： ①_ ___.（圆心角为 ，半径为 ）
2.求弧长的一般步骤：
第一步：找圆心（确定所求弧所在圆的圆心）；
第二步：求半径和圆心角（计算半径长和所求弧所对圆心角度数）；
第三步：求弧长（利用弧长计算公式进行计算）.
（第1题）
1.如图是由边长为2的小正方形组成的网格图，优弧 经过
格点（网格线的交点） ，且其端点 ， 均在格点上.点
, 在优弧 上，且 ，则 的长为____.
（第2题）
2.如图，在矩形 中， ， .将矩形
绕点 旋转,得到矩形 ，点 的运动路径为
，当点 落在边 上时，图中阴影部分的周长是
_ ____________.
（第3题）
3.如图,在扇形 中,圆心角 , ,分别
以 , 的中点 , 为圆心， 的长为半径作半圆,两
个半圆相交于点 ，则图中阴影部分的周长为_ ______.
（第4题）
4.[2023商丘二模] 如图， 是半圆 的直径，且
，点 ， ， 将半圆 四等分，连接 ，
， ，其中 交 于点 ，则图中阴影部分的周
长为__________．
（第5题）
5.[2023洛阳三模] 如图,已知 的半径为5,所对的弦 长
为8,点 是 的中点,将 绕点 逆时针旋转 后得
到 ,则在该旋转过程中,点 的运动路径长是______.
（第6题）
6.如图，以平行四边形 的对角线 的中点 为圆
心， 为半径作圆，再将 下方的部分沿 折叠，交
于点 ，若 ， ，则 的长度为
_ ___.
（第7题）
7.如图，点 在 上，若 ， ，
，则 的长为_____.
（第8题）
8.如图是由相同的小菱形组成的网格，其中小菱形的边长为
1，一个内角为 .一条弧经过小菱形的顶点 ， ， ，
点 ， 在该弧上.若 ，则 的长度为_ _____.
类型2 阴影部分面积的计算
知识铺垫
1.扇形面积的计算公式：如图（1）， ②_____ ③___.
图（1）
2.阴影部分面积的计算方法：
（1）分割求和（差）法：如图（2），连接④____， ⑤____________
______.
（第2题）
（2）等积转化法：如图（3）， ，连接⑥____， ⑦_ _______；
如图（4）， ⑧_ _________.
图（3）
图（4）
（3）容斥原理法：如图（5）， ⑨______________.
图（5）
角度1 分割求和（差）法
（第9题）
9.[2023驻马店二模] 如图,将扇形 沿射线 平移得到扇
形 ,线段 交 于点 .当 时，平移停止.若
, ,则阴影部分的面积为_ ______.
（第10题）
10.[2023商丘一模] 如图，正方形 的顶点 ， 在
上，若 ， 的半径为 ，则阴影
部分的面积是_ _______________ ．（结果保留根号和
）
（第11题）
11.[2023洛阳二模] 如图,在 中,
, , ,以点 为圆心、 为
半径作圆弧交 于点 ,交 于点 .则阴影部分的面
积为_ _______.
（第12题）
12.如图，在扇形 中，点 在线段 上，连接 ，将
沿 所在直线翻折，使得点 的对应点 恰好落在
上，若 ，则图中阴影部分的面积为_________.
（第13题）
13.[2023许昌二模] 如图,在扇形 中, ,点
为 的中点,点 为 的中点,连接 ,交 于点 ,若
,则阴影部分的面积是_ _____.
（第14题）
14.[2023新乡一模] 在如图所示的网格中，每个小正方
形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点.已知
的三个顶点均在格点上，且 ，
点 为 上一点，以点 为圆心， 的长为半径作
圆与边 相切于点 ，已知 为该圆的一部分,则图
中由线段 ， 及 所围成的阴影部分的面积为
_ _______．
（第15题）
15.如图，在扇形 中， ， ，点
为 的中点，将扇形 绕点 顺时针旋转，得到扇形
，连接 ，当 时，阴影部分的面积为_____
____.
（第16题）
16.［原创新题］如图，在平面直角坐标系中，菱形
的顶点 在反比例函数 的图象上，
顶点 在 轴正半轴上，顶点 ， 在 轴正半轴上.以
点 为圆心， 为半径作弧，该弧经过点 ，则图中阴
影部分的面积为_ ________.
角度2 等积转化法
（第17题）
17.[2023河南省实验中学五模] 如图，在 中，
，点 在 上， 与 ， 相切，切点
分别为点 ， .若 ，则阴影部分的面积为_ __．
（第18题）
18.［原创新题］如图，在平面直角坐标系中， 经过坐
标原点 ，且分别与 轴、 轴相交于点 ， .
反比例函数 的图象经过圆心 ，作射线 ，
则图中阴影部分的面积为_ _______.
（第19题）
19.［原创新题］如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
的图象与一次函数 的图象交于点
， ，以点 为圆心， 为半径画弧，则图中
阴影部分的面积为_ __.
角度3 容斥原理法
（第20题）
20.[2023四川广安] 如图，在等腰直角三角形 中，
， ，以点 为圆心， 为半
径画弧，交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，
交 于点 ，则图中阴影部分的面积是( )
C
A. B. C. D.
（第21题）
21.如图，在等腰直角三角形 中， ，
是以 为直径的半圆.以点 为圆心，
长为半径作弧，交 于点 ，则图中阴影部分的面积为
_ _______.
类型3 与最值相关的弧长或阴影面积的计算
（第22题）
22.[2023濮阳经济开发区一模] 如图, ,以
为圆心,4为半径画弧交 于点 ，交 于点 ，分别
以点 , 为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧在
的内部相交于点 ，画射线 交弧 于点 .
点 为 上一动点,连接 , ,则图中阴影部分周长的
最小值是_ ______.
（第23题）
23.[2023开封二模] 如图,扇形 的圆心角
,半径 ,点 为扇形内一点,且 ,
延长 交 于点 ,当 取最小值时,图中阴影部
分的周长为_ ____________.
（第24题）
24.[2023三门峡二模] 如图,在扇形 中,
, ,点 是 的中点,点 , 分别为
线段 , 上的点,连接 , ,当 的值最小时,
图中阴影部分的面积为_ _________.
（第25题）
25.如图，在 中， ， ，点 为
上一点，以点 为圆心， 长为半径的圆与 相切于
点 ，交 于另一点 ，点 为 上一动点，则图中阴
影部分面积的最大值为_ _______.
（第26题）
26.如图，在半径为2、圆心角为 的扇形 中，
，点 是线段 上一动点．在点 运动的过程中，
线段 ， 与 所围成的区域（图中阴影部分）面积的
最小值为_ ______.(共18张PPT)
利用“隐形圆”解决动点问题
以题串模型
例1 如图，在矩形 中， ， ，点 是
折线 上的动点，连接 ，将矩形沿 折叠，点
的对应点为点 .在点 运动过程中：
（1）点 在以点___为圆心，长度___为半径的圆上运动，
并在图中画出该圆；
5
[答案] 图略.
（2）点 , 之间的最小距离为_ ________；
（3）点 ， 之间的最小距离为___.
2
模型总结
1.知识依据：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆（圆的定义），如图
（1）.
2.模型说明：如图（2），若 ，则点 ， ， 在以点 为圆
心、 的长为半径的圆上.
提分技法
某点到圆上点的距离的最值问题
如图，点 是 外一点，作直线 交 于点 , ，则点 到 上点的最大距离为 的长，最小距 离为 的长. _____________________________________________ 如图，点 为 内一点，作直线
交 于点 , ，则点 到
上点的最大距离为 的长，最小距
离为 的长.
_________________________________
强化训练
（第1题）
1.[2022辽宁抚顺] 如图,正方形 的边长为10,点 是边
的中点,点 是边 上一动点,连接 ,将 沿
翻折得到 ,连接 ,当 最小时, 的长是_ _______.
（第2题）
2.如图，直线 分别与 轴、 轴交于
点 ， ，点 是坐标平面内一动点，且 ，
连接 ，若点 为线段 的中点，连接 ，则
的最大值是_ _____．
（第3题）
3.[2023焦作二模] 如图，在 中， ，
， ，正方形 的边长为1，将正
方形 绕点 旋转一周，点 为 的中点，连接
，则线段 的取值范围是_ ___________________.
以题串模型
例2 [2022山东泰安中考改编] 如图，四边形 为矩
形， ， ，点 是线段 上一动点，点 为
线段 上一点， .
在点 运动过程中：
（1）点 在以线段_ ___为直径的圆上运动，并在图中画出该圆;
[答案] 图略.
（2）点 到直线 的最小距离为___;
1
（3） 的最小值为_ ________.
模型总结
1.知识依据： 的圆周角所对的弦是直径（圆周角定理的推论）.
2.模型说明：（1）如图（1），在 中， ，若 的长固定，
则点 的运动轨迹为以 为直径的 不含点 ， .
图（1）
图（2）
（2）如图（2）， 和 共斜边 ，则 ， ， ， 四点共圆，均在以 为直径的 上.（确定四点共圆后，可根据圆周角定理的推论得到角相等，完成角度的等量转化）
提分技法
圆上的点到某条直线的距离的最值问题
如图， 是 中非直径的弦，过点 作 于点 ，交优弧 于点 ， 交劣弧 于点 ,则 的长为 上的 点到 的最大距离， 的长为劣弧 上的点到 的最大距离. ______________________ 如图， 是 外一条直线，
过点 作 于点 ,交
于点 , ，则 上的点
到 的最大距离为 的长，
最小距离为 的长.
______________________________
强化训练
4.如图，在平行四边形 中, ， ，
，点 是平行四边形 内部的一个动
点,且 ,则线段 的最小值为_ ________.
（第5题）
5.如图，正方形 的边长为6，点 , 分别从点 , 同时出
发，沿着射线 ,射线 匀速运动（二者速度相等）.设直线
与直线 交于点 ，连接 ，则线段 的长度的最小值
为_ ________.
（第6题）
6.如图,在平面直角坐标系 中,半径为2的 与
轴的正半轴交于点 ,点 是 上一动点,点 为弦
的中点,直线 与 轴、 轴分别交于点
, ,则 面积的最小值为___.
2
以题串模型
例3 如图，在边长为6的等边三角形 中，点 ， 分别
是边 ， 上的动点，且 ,连接 ， 交于点
，连接 .
（1） _____ ；
120
（2）点 在以线段 为弦，且所对圆心角为_____ 的圆上运动，在图中
画出该圆；
120
[答案] 图略.
（3） 的最小值为_ ____.
模型总结
1.知识依据：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等（圆周角定理
的推论）.如图（1）, .
2.模型说明：在 中，若 的长度及 的大小固定，则点 在确定的圆上， 为该定圆的弦，当 为锐角时，点 在优弧 上 不含点 ， ；当 为钝角时，点 在劣弧 上 不含点 ， ,如图（2）.其中，我们称 为“定弦”， 为“定角”.
强化训练
7.[2023四川达州] 在 中， ， ，在边 上有一
点 ，且 ，连接 ，则 的最小值为__________．
完成练习册相关习题
作业：(共48张PPT)
圆的相关证明与计算
类型1 以实际情境为背景的圆问题
1.[2023洛阳三模] 如图（1）,中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计,包
含大量零部件和工艺,所彰显的智慧让人叹服.如图（2）是马车的侧面示意
图, 为车轮 的直径,过圆心 的车架 一端点 着地时,地面 与车
轮 相切于点 ,连接 , .
（1）求证: .
证明：如图，连接 .
与 相切,
, .
为 的直径,
, .
, ,
.
（2）若 ,则 的度数是_ ____.
（3）若 , 米，求车轮的半径长.
[答案] , ，
, ,
, 米, 米,
米.
答：车轮的半径长为0.55米.
2.[2023河南省实验中学三模] 阿基米德说：
“给我一个支点，我就能撬动地球．”如图
（1），这句话形容杠杆的作用之大：只要
有合适的工具和一个合适的支点，即可轻松
撬动地球．小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的
半径为多少，他找来一块棱长为 的正方体和长度为 的木棒，
模仿阿基米德撬动地球的方法，如图（2），木棒和石头相切于点 （正方
体横截面上的点 , , , 与点 ， ， ， 在同一竖直平面内，四边形
是正方形）.
（1）求证： ；
证明： 切 于点 ， 切 于点 ，
，
.
， .
四边形 是正方形， ，
， .
（2）若木棒与水平面的夹角 ，切点 恰好为 的中点，则
石头的半径为多少？（结果保留根号）
[答案] 在 中， ，
，
， .
如图，连接 ，过点 作 于点 ，作
于点 ，
则四边形 是矩形， .
在 和 中，
， ， ，
，
， .
由（1）知 ，
.
故石头的半径为 ．
3.[2023洛阳一模] 水车是我国古老的农业灌溉工具，是古人在征服世界的过
程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产.水车由立式水轮、竹
筒、支撑架和水槽等部件组成，如图（1）.
小明受此启发设计了一个“水车玩具”,设计图如图（2）,若水轮 在动力的
作用下将水运送到点 处,水沿水槽 流到水池中， 与水面交于点 ，
,且点 , ， , 在同一直线上， 与 相切于点 ,连接 ， ，
.
请仅就图（2）解答下列问题.
（1）求证: .
证明： 与 相切于点 ， 为半径，
，即 ，
.
在 中， 为直径，
， ，
.
又 ， ，
.
（2）若点 到点 的距离为 ， ，请求出水槽 的长
度.
[答案] 设 的半径为 ，在 中，
，
.解得 .
.
.
水槽 的长度为 .
4.综合与实践
【问题情境】
如图（1）为一个圆形喷水池，水池的圆心 处有一喷水装置，数学活动小组计划使用皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡，所以无法直接测量直径，需要如何进行呢？（水池边缘厚度忽略不计）
【方案解决】
出发前，同学们设计了如下两种方案：
方案一：如图（2），先在水池边上取 ， 两点，使得 ， ， 三点共
线，再在水池外取一点 ，测得 ， 的长，在 的延长线上取点 ，
使得 ，在 的延长线上取点 ，使得 ，最后测得 的
长即为直径 的长；
方案二：如图（3），先在水池边上取 ， 两点，使得 ， ， 三点共
线，再在水池外取一点 ，测得 ， 的长，在 的延长线上取点 ，
使得 ，在 的延长线上取点 ，使得 ，最后测得
的长，便可求出 的长．
（1）请你选择其中一个方案判断理论上是否可行，并说明理由.
[答案] 选择方案一：
理论上，方案一可行.理由如下：
在 与 中，
，
，即测得 的长，可知 的长，
理论上，方案一可行.
选择方案二：
理论上，方案二可行，理由如下：
， ，
， ， .
又 ， ，
，
，即测得 的长，可知 的长，
理论上，方案二可行．
（2）同学们去实地考察后，发现喷水装置较大，阻挡视线，难以保证 ， ， 三点共线，经过讨论，同学们利用《圆》一章的知识，设计并实施了方案三：如图（4），在水池边上取三点 ， ， ，使得 ，测得 米， 米，通过计算，可以求得圆形水池的直径．请根据测量的数据，求出水池的直径．（结果精确到0.1米，其中 ）
[答案] 如图，过点 作 于点 ，则点 在 上，连
接 .
， ， ，
.
设 ，则 .
在 中， ，即
，
解得 ，
圆形喷水池的直径为 （米）．
类型2 与圆有关的证明与计算
5.[2023四川成都] 如图，以 的边 为直径作
，交 边于点 ，过点 作 交 于点
，连接 ， ， .
（1）求证： ；
证明： ， ，
.
， ，
， .
（2）若 ， ，求 和 的长.
[答案] 是 的直径， .
在 中， ，
若设 ，则 ， .
在 中，根据勾股定理，得 ，
即 ，
解得 （不合题意的值已舍去），
， ， .
连接 ， ， ，
，
，即 ， .
6.[2023郑州外国语学校四模] 如图, 为 的直径,点 ,
为 上两点,且点 为 的中点,连接 ， ， ,过
点 作 于点 ,过点 作 的切线 ,交 的延
长线于点 .
（1）求证: .
证明：如图，连接 , ,
点 为 的中点, ,
, .
, , ,
.
为 的半径, 为 的切线,
, .
（2）若 , ,求 的长.
[答案] , , ,
.
四边形 内接于 , .
由（1）可知 , .
在 和 中,
, .
7.[2023许昌二模] 如图, 内接于 , 是 的直径,过点 作
的切线,交 的延长线于点 ,点 在 上,连接 , .
易证命题:“若 是 的切线,则 ”是真命题.
（1）请写出该命题的逆命题:_ _______________________________.
若 ，则 是 的切线
（2）判断（1）中的命题是不是真命题,并说明理由.
[答案] 是真命题.
理由如下：连接 ，如图所示，
， ， .
， ， .
在 和 中，
， .
是 的切线， ， ，
， 是 的切线.
（3）若 的半径为4, ,且 ,求 的长.
[答案] , .
的半径为4， ，
.
， ， ， ，
，
，解得 ，
．
8.[2023郑州外国语学校三模] 如图,在 中,以
为直径作 ,交 ， 于点 ， ，且 是
的中点,过点 作 于点 ，交 的延长
线于点 .
（1）求证:直线 是 的切线.
证明:如图，连接 ,
, ,
是 的中位线,
, ,
, .
是 的半径, 直线 是 的切线.
（2）若 , ,求 的长.
[答案] 设 的半径为 ,则 , ,
, ,
,即 ,
解得 , , .
, ，即 ,
解得 , .
9.[2023三门峡二模] 阅读与思考
请阅读下列材料,并按要求完成相应的任务.
米勒是德国著名数学家,他在1471年提出了著名的米勒定理:
如图（1）,已知 , 是 的边 上的定点,当且仅当 的外接圆
与 相切 与 相切于点 时 的度数最大,此时
.
图（1）
小明思考后给出如下证明:
证明:如图（2）,在 上任取一点 ,连接 , , 与 相交于点 ,
连接 .
图（2）
点 , 在 上，
（依据 ）,
又 是 的一个外角，
, ,
即当且仅当 的外接圆与 相切 与 相切于点 时 的
度数最大.
如图（3）,过切点 作 的直径 ,连接 ,则 , ,
图（3）
, ,
（依据 ）,
又 , ……
.
任务:
（1）写出小明证明过程中的依据:
依据①:______________________；
依据②:________________.
同弧所对的圆周角相等
同角的余角相等
（2）请你将小明的证明过程补充完整.
[答案] .
又 , .
，即 .
图（4）
（3）结论应用:如图（4）,已知点 , 的坐标分别是
和 , 是 轴正半轴上一个动点,当 的度数最大时,
点 的坐标为_ _____.
10.如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上不同于
， 的一点，作 ，过点 作半圆 的切
线，分别交射线 和 的延长线于点 , .
（1）求证： .
证明：连接 ，则 ,
.
又 ， ， .
是半圆 的切线， ,
.
（2）若 ， ，求半圆 的半径.
[答案] ， , .
， ，
，即 , ,
即半圆 的半径是 .
（3）记 交半圆 于点 ,则当 __时,四边形 是菱形.
[解析] 解法提示：易知当 时，四边形 是菱形，此时 ,
, , , .
类型3 其他问题
11.［原创新题］已知 是 的直径，点 是 上一点，过点 作
的切线与 的延长线相交于点 ，点 是 上一动点，且 与
相交于点 .
（1）如图（1），连接 ,若 ,
①求 的度数.
图（1）
[答案] 如图（1），连接 .
是 的切线，
,即 ,
,
.
②当 是等腰三角形时，请直接写出 的度数.
[答案] ， 或 .
[解析] 解法提示：当 是等腰三角形时，分三种情况讨论.
.当 时， ，
,
.
.当 时， ,
,
.
.当 时， ,
,
,
.
（2）如图（2），当点 是 的中点时，求证： .
图（2）
证明：如图（2），连接 ， .
易知 ，
.
点 是 的中点，
，
.
， ,
.
又 ， ，
.
