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2023-2024学年第一学期浙江省温州市九年级数学期末模拟训练试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分 ）
1．已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．cosB＝ D．tanB＝
3 . 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中半径与弦垂直于点D，且，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
已知点A（﹣3，a），B（﹣2，b），C（1，c）均在抛物线y＝3（x+2）2+k上，
则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，
已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m
A．3.5 B．4 C．4.5 D．
7 . 如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，
已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8 .如图，从点看一山坡上的电线杆，观测点的仰角是45°，向前走到达点，
测得顶端点和杆底端点的仰角分别是60°和30°，则该电线杆的高度（ ）
A． B． C． D．
9 . 如图，在中，，高，正方形一边在上，
点E，F分别在上，交于点N，则的长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
10 . 二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：
①， ②， ③，
④， ⑤（m为任意实数）．
其中正确的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11. 若，则 ．
12 . 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为_______
13 . 竖直上抛某物体时，物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系
可用公式来表示，由公式可知，该物体经过 s离地面的高度为30m.
14 . 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，
的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______
如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，
已知斜边DF保持水平并且边DE与点B在同一直线上，若DE＝40cm，EF＝20cm．
DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树的高度AB＝ 米．
16 . 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，
则阴影部分的面积为_________（结果保留）．
17 . 如图1是抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，
正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽_____
18 . 如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，
延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．
在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19. 某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：
A ：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，
学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，
制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
(1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，
李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，
请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
20 .如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）如果BC=， AC=3，求CD的长．
如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，
量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，
且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．
(参考数值，，)
(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，
该产品每天的销售量W（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．
设这种产品每天的销售利润为y（元）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23.如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F．
（1）求证：△FBD∽△FAC；
（2）如果BD平分∠ADC，BD＝5，BC＝2，求DE的长；
（3）如果∠CAD＝60°，DC＝DE，求证：AE＝AF．
抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，顶点D的坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求四边形的面积．
(3)若P是抛物线上位于线段所在直线下方的一个动点，求的面积的最大值．
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2023-2024学年第一学期浙江省温州市九年级数学期末模拟训练试卷解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分 ）
1．已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系解决问题即可．
【详解】解：∵点P在⊙O上，
∴OP＝r＝5cm，
故选：B．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．cosB＝ D．tanB＝
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可．
【详解】解：
由勾股定理得：，
所以，，，，
即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误．
故选：B．
3 . 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
，
故选：B．
4.如图，在中半径与弦垂直于点D，且，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
【详解】解：连接OA，
设CD=x，
∵OA=OC=5，
∴OD=5-x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AD=4，
由勾股定理可知：52=42+（5-x）2，
∴x=2，
∴CD=2，
故选：B．
已知点A（﹣3，a），B（﹣2，b），C（1，c）均在抛物线y＝3（x+2）2+k上，
则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】C
【分析】通过确定A、B、C三个点和函数对称轴的距离，确定对应y轴的大小．
【详解】解：函数的对称轴为：x＝﹣2，
a＝3＞0，故开口向上，
x＝1比x＝﹣3离对称轴远，故c最大，b为函数最小值，
故选：C．
如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，
已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m
A．3.5 B．4 C．4.5 D．
【答案】D
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE=1.5m，AB=3m，BC=7m，
∴AC=AB+BC=10m，
∴，
解得，DC=5，
即建筑物CD的高是5m；
故选：D
7 . 如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，
已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据圆周角定理可证∠C=∠B，又由AD=BD，可证∠B=∠DAB，即得∠DAP=∠C，可证△DAP∽△ACA，得到AD∶CD=DP∶AD，代值即可计算CD的长．
【详解】解：如图所示，连接AC，
由圆周角定理可知，∠C=∠B，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB，
∴∠DAP=∠C，
∴△DAP∽△DCA，
∴AD∶CD=DP∶AD，
得 ，
把，代入得，，
故选：C．
8 .如图，从点看一山坡上的电线杆，观测点的仰角是45°，向前走到达点，
测得顶端点和杆底端点的仰角分别是60°和30°，则该电线杆的高度（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．
在直角△APE中，∠PAE=45°，
则AE=PE=x；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，，
∵AB=AE-BE=6，
则解得：
∴
在直角△BEQ中，
故选：A
9 . 如图，在中，，高，正方形一边在上，
点E，F分别在上，交于点N，则的长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：设正方形的边长，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
10 . 二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：
①， ②， ③，
④， ⑤（m为任意实数）．
其中正确的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象先判断a、b、c的取值，然后再根据对称轴与图象的交点情况进行等量代换和推理即可．
【详解】由图象可知，图象开口向下，
∴，
抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
又对称轴为，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
抛物线与x轴交于，
∴，
∴，故②错误；
由二次函数的对称性可知，当时，，
则有，故③正确；
∵，，
∴，
又，
∴，故④错误；
当时，函数值最大，，
而当时，，
∴
，故⑤错误．
故选：A．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11. 若，则 ．
【答案】
【分析】由比例的基本性质，可得，进而得，代入计算即可．
【详解】解：
12 . 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为_______
【答案】6
【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为．
∵袋子中有4个黑球，
∴袋子中共有10个球，
∴白球有6个．
故答案为：6．
13 . 竖直上抛某物体时，物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系
可用公式来表示，由公式可知，该物体经过 s离地面的高度为30m.
【答案】2或3
【分析】利用二次函数的性质把h=30代入，求出即可．
【详解】解：设该物体经过ts离地面的高度为30m
则整理得：
解得：t=2或3
14 . 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，
的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______
【答案】
【分析】过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．
【详解】如图，过作于，则，
AC＝＝5．
．
故答案为：
如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，
已知斜边DF保持水平并且边DE与点B在同一直线上，若DE＝40cm，EF＝20cm．
DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树的高度AB＝ 米．
【答案】5.5
16 . 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，
则阴影部分的面积为_________（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，
利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
17 . 如图1是抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，
正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽_____
【答案】米
【分析】根据正常水位时水面宽米，求出当时，
再根据水位上升5米时，代入解析式求出x即可；
【详解】解：∵米，
∴当时，，
当水位上升5米时，，
把代入得，，
解得，
此时水面宽米，
故答案为米
18 . 如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，
延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．
在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①②④．
【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12-x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，
则△GED不是等腰三角形，
△GDE与△BEF不相似， ③错误；
S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确.
故答案为：①②④
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19. 某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：
A ：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，
学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，
制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
(1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，
李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，
请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
【答案】(1)50，72
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用“选A：篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数，
再利用学生选D“羽毛球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果；
利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，
再利用总人数减去其他课程的人数求得选兵乓球的学生人数，即可补全条形统计图；
（3）画出树状图可得共有12种等可能的情况，
其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得：该班的总人数为：（人），
学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：50；72；
（2）解：由题意可得：
选“B：足球”的学生人数为：（人），
选“E：兵乓球”的学生人数为：（人）
补全条形统计图如下；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种；
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为．
20 .如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）如果BC=， AC=3，求CD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）CD=2.
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】证明：（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴CD=2．
如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，
量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，
且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．
(参考数值，，)
(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】(1)点C到直线的距离约为13.8cm
(2)点A到直线的距离约为21.5cm
【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N
由题意可知，，
在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，
该产品每天的销售量W（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．
设这种产品每天的销售利润为y（元）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润为200元
【分析】（1）根据数量乘以单位的利润，等于总利润，可得答案．
（2）根据二次函数的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴当时，y有最大值200．
23.如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F．
（1）求证：△FBD∽△FAC；
（2）如果BD平分∠ADC，BD＝5，BC＝2，求DE的长；
（3）如果∠CAD＝60°，DC＝DE，求证：AE＝AF．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）可得出∠ADB=∠ACB，∠AFC=∠BFD，则结论得证；
（2）证明△BEC∽△BCD，可得，可求出BE长，则DE可求出；
（3）根据圆内接四边形的性质和三角形的内角和定理进行证明AB=AF；根据等腰三角形的判定与性质和圆周角定理可证明AE=AB，则结论得出．
【详解】（1）证明：∵∠ADB＝∠ACB，∠AFC＝∠BFD，
∴△FBD∽△FAC；
（2）解：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠BDC，
∵∠EBC＝∠CBD，
∴△BEC∽△BCD，
∴，
∴，
∴BE＝，
∴DE＝BD﹣BE＝5﹣＝；
（3）证明：∵∠CAD＝60°，
∴∠CBD=60°，∠ACD=∠ABD，
∵DC＝DE，
∴∠ACD=∠DEC，
∵∠ABC+∠ADC=∠ABC+∠ABF=180°，
∴∠FBD=180°，
∴∠ABF＝∠ADC=120°
＝120°﹣∠ACD
＝120°﹣∠DEC
＝120°﹣（60°+∠ADE）
＝60°﹣∠ADE，
而∠F＝60°﹣∠ACF，
∵∠ACF＝∠ADE，
∴∠ABF＝∠F，
∴AB＝AF．
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠ABD＝∠ACD，
又∵DE＝DC，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，
∴∠ABD＝∠AEB，
∴AB＝AE．
∴AE＝AF．
抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，顶点D的坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求四边形的面积．
(3)若P是抛物线上位于线段所在直线下方的一个动点，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)9
(3)当时，面积最大，最大为
【分析】（1）用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）先求出二次函数与x轴交点，再利用求出即可；
（3）设点P的坐标为，通过求直线表达式表示出点Q的坐标，进而求出及面积，利用配方即可求出面积的最大值．
【详解】（1）解：设抛物线顶点式为：，
∵抛物线顶点，
即，
∵过点，
将代入中，
得：，
解得：，
故抛物线解析式为：；
（2）解：∵二次函数与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），
∴令，得，
解得：，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
；
（3）解：过点P作轴，交于点Q，
设点P的坐标为，
直线表达式为，过点及，
得，
解得，
故直线表达式为，
∴点Q的坐标为，
∴
，
∴
，
由题意可知：，
∴当时，面积最大，最大为．
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