江西省上饶市广丰区重点中学2023-2024学年高二上学期1月考试数学试题（含解析）

江西省广丰贞白中学2023-2024学年高二上学期1月考试
数学试题
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1．若圆与轴的两个交点位于原点的同侧,则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
2．我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是抛物线上的两点，与关于轴对称，，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．8
4．如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．若向量，，则（ ）
A． B． C． D．
6．同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（ ）
A．32种 B．128种 C．64种 D．256种
7．某中学进行数学竞赛选拔考试，，，，，共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.和去向教练询问比赛结果，教练对说：“你和都没有得到冠军．”对说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．54种 B．72种 C．96种 D．120种
8．口袋里放有大小相同的3个红球和2个白球，有放回地每次摸取一个球，每个球被摸到的机会均等.定义数列：.如果为数列的前项和，那么的概率是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9．直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．当时，或；
B．当时，；
C．当时，过直线与的交点且平行于的直线方程为：
D．当时，过直线关于对称的直线方程为：
10．已知P为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为A，下列结论正确的是（ ）
A．的横坐标为2 B．
C． D．
11．如图，已知正四面体棱长为，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值可以是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．6
12．已知由样本数据（）组成的一个样本，得到经验回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则（ ）
A．相关变量，具有正相关关系
B．去除异常数据后，新的平均数
C．去除异常数据后的经验回归方程为
D．去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变小
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为 .
14．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，于点P，Q，N．给出下列四个命题：
①；
②若P，Q是线段的三等分点，则直线的斜率为；
③若P，Q不是线段的三等分点，则一定有；
④若P，Q不是线段的三等分点，则一定有；
其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
15．2023年9月，我国成功地举办了“杭州亚运会”. 亚运会期间，某场馆要从甲、乙、丙、丁、戊5名音效师中随机选取3人参加该场馆决赛的现场音效控制，则甲、乙至少有一人被选中的概率为 .
16．某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知圆C：，直线：．
(1)求证：直线恒过定点；
(2)设直线交圆C于A，B两点，求弦长的最值及相应的值．
18．在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆过，
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在．证明：为定值．
19．如图，在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为．已知点和都在双曲线上，其中为双曲线的离心率．
(1)求双曲线的方程；
(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点．
（I）若，求直线的斜率；
（II）求证：是定值．
20．如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
(1)若，求的值；
(2)求线段的长．
21．已知函数（）.
(1)当时，用二项式定理证明能被50整除；
(2)设，，求的值.
22．“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1﹣4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．
每扇门对应的梦想基金：（单位：元）
第一扇门 第二扇门 第三扇门 第四扇门
1000 2000 3000 5000
(1)写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(2)若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望(精确到0.01)．（参考公式）
数学参考答案
1．B
【分析】令,可得关于的方程,根据位于原点的同侧,可得方程有:一是有根,二是两根之积大于,从而可求实数的取值范围.
【详解】令,则,
位于原点的同侧,关于的方程有:一是有根,二是两根之积大于,
且,
解得或.
故选：B.
2．C
【分析】根据给定条件，列出变轨前后椭圆长半轴长和离心率的关系等式，即可求解得答案.
【详解】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为，
设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为，
依题意，，整理得，即，
而，解得，
此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为.
故选：C
3．B
【分析】利用设的坐标，表示，根据题意消去多余的未知量，利用函数求最值.
【详解】设，则，所以
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
故选：B
4．A
【分析】证明线面垂直，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，推出点在上时，取得最小值，作出点的对称点，由几何关系得到最小值，求出答案.
【详解】因为⊥平面，平面，
所以⊥，⊥，
又四边形是正方形，所以⊥，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
过点分别为⊥，⊥于点，
则⊥平面，⊥平面，
过点作⊥于点，连接，
则，，
，其中，
故要想取得最小值，则，即只需点在上，
其中关于直线的对称点为，
连接，此时取得最小值，最小值为，
其中.
故选：A
5．C
【分析】由空间向量坐标运算即可得.
【详解】由，，则.
故选：C.
6．C
【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解.
【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法；
若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法．
故一共有种去法．
故选：C.
7．A
【分析】根据题意分两种情况讨论：
当是最后一名，可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次；
当不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法计数原理可得.
【详解】根据题意可知和都没有得到冠军，且不是最后一名，分两种情况：
①是最后一名，则可以为第二、三、四名，即有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，
有种情况，此时有种名次排列情况；
②不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况，则5人的名次排列方式共有种.
故选A．
8．A
【分析】表示摸次球，其中次摸到红球，次摸到白球，再根据二项分布的概率，即可求出答案.
【详解】由题意，每次摸到白球的概率为，每次摸到红球的概率为，
表示摸次球，其中次摸到红球，次摸到白球，
则的概率是.
故选：A.
9．BD
【分析】对于A、B选项，根据两条直线互相平行和垂直的充要条件即可判断；对于C选项，求出直线的点斜式方程即可判断；对于D选项，先求出两条直线的交点，再求出直线关于的对称点，根据直线上的两点即可求出直线方程，进一步判断即可.
【详解】对于A：当时，有，此方程无解，故A错误；
对于B：令，解得，此时，，，故B正确；
对于C：当时，，，联立，得直线与的交点为，平行于的直线斜率为1，
故过直线与的交点且平行于的直线方程为：，故C错误；
对于D：当时，直线与的交点为,易知点在直线上，
设该点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，因为，所以，
所以所求直线方程为，即，故D正确.
故选：BD.
10．ABC
【分析】求出双曲线的实半轴长及半焦距，再利用双曲线的定义，结合三角形内切圆的性质逐项计算判断即得.
【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，
设的内切圆在，，上的切点分别为，切点，

显然，即，而，则的横坐标为，A正确；
设的内切圆半径为，则，B正确；
延长交于点，由平分，，得，为的中点，
因此，即有，C正确；
，D错误.
故选：ABC
11．AD
【分析】由条件可知点在平面上，并且平面，利用数量积的几何意义求出的不同取值即可.
【详解】由且，得点在平面上，
由，得平面，此时点为正的中心，
由正四面体棱长为，得，则，
显然点确定的平面平行于平面，则平面，
由向量数量积的几何意义，在上投影的数量有5种情况：0、、，
所以数量积的不同取值有0，，，显然BC错误，AD可以.
故选：AD
【点睛】结论点睛：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明或对空间任一点O，有或()即可.
12．AC
【分析】A选项，根据正相关的定义得到A正确；B选项，根据得到B错误；C选项，先求出，进而得到，结合新的经验回归直线的斜率得到新的经验回归方程；D选项，去除异常数据后，斜率由增大到3，故D错误.
【详解】A选项，因为回归方程的斜率为正，所以相关变量，具有正相关关系，所以A正确；
B选项，因为，所以去除两个异常数据和后，
得到新的，所以B错误；
C选项，由代入得，
故去除两个异常数据和后，，
因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，
所以，
所以去除异常数据后的经验回归方程为，故C正确；
D选项，因为经验回归直线的斜率为正数，所以变量，具有正相关关系，
且去除异常数据后，斜率由增大到3，故值增加的速度变大，D错误.
故选：AC．
13．
【分析】求出交点坐标，根据直线的方向向量得到直线方程.
【详解】，解得，故交点坐标为，
因为直线的一个方向向量，所以直线方程为，
即.
故答案为：
14．①②
【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，利用三点共线即可判断①，若是线段的三等分点，则，利用韦达定理和弦长公式即可求判断②，运用求根公式求得点的坐标，结合的表达式，可判断③，由图像可以判断④.
【详解】由抛物线C：可知，焦点坐标为，
设直线的方程为，，设，联立得，
，则，则，
所以直线的方程为，因为三点共线，，，同理，
所以，，即，故①正确；
若是线段的三等分点，则，，，
又，，
所以，所以，解得所以②正确；
由，得
，，所以，
因为，所以，
，所以，
当时，，故③错误；
由图可知，，而，只要，就有，故④错误.
故答案为：①②
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的焦点弦的性质，及直线与抛物线的位置关系，解题的关键是通过直线与抛物线联立结合韦达定理求出点坐标，然后求出点坐标，再依次判断选项，考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题.
15．/
【分析】从5人中选取3人，那么甲、乙至少有一人被选中，包含三种情况，第一种是甲乙中只选中了甲，第二种是甲乙中只选中了乙，第三种是甲乙都被选中，再结合组合数求解.
【详解】从5名音效师中随机选取3人参加该场馆决赛的现场音效控制，记“甲、乙至少有一人被选中”为事件，那么事件包含三种情况，第一种是甲乙中只选中了甲，第二种是甲乙中只选中了乙，第三种是甲乙都被选中，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】求得，再利用正态密度曲线的对称性可求得的值.
【详解】因为服从正态分布，且，，
则，
所以，.
故答案为：.
17．【详解】（1）直线l的方程可化为
联立，解得
故直线恒过定点.
（2）
化为标准方程为，圆心，，
①当直线过圆心C时，即直线被圆截得的弦长最长，，
则，解得；
②设圆心到直线的距离为，，要使直线被圆截得线段长度最小，需最大，
当直线垂直于直线，取得最大值，最大值为的线段长度，
，，解得，
由两点间距离公式可得，
所以直线被圆截得的最短弦长为，
综上所述，弦长最大值为，对应的值为，
弦长最小值为，对应的值为.
18．【详解】（1）将，，代入到，
可得，解得，
所以椭圆的方程为：．
（2）由题意可知，蒙日圆方程为：．
（i）若直线斜率不存在，则直线的方程为：或．
不妨取，代入中，则，
不妨取，，，，
∴．
（ii）若直线斜率存在，设直线的方程为：，
联立，化简整理得：，
据题意有，于是有：，
设（），（），
联立，化简整理得：，
，
，，
则
，
∵，所以．
综上可知，为定值.
19．【详解】（1）将点和代入双曲线方程得：
，结合，化简得：，解得，
双曲线的方程为．
（2）（Ⅰ）设关于原点对称点记为，
则．
因为,所以，
又因为，所以，即，
故三点共线．
又因为与互相平分，所以四边形为平行四边形，故，
所以．
由题意知，直线斜率一定存在，
设的直线方程为，代入双曲线方程整理得：
，故，
直线与双曲线上支有两个交点，所以，解得．
由弦长公式得，
代入解得．
（Ⅱ）因为，由相似三角形得，
所以
．
因为
．
所以，故为定值．
20．【详解】（1），
（2）
，
．
21．【详解】（1）证明：当时，，
因为
，
所以当时，能被50整除.
（2）当时，由已知得，
令，得，①
令，得，②
联立①②得，.
令，得，所以.
22．【详解】（1）根据所给的二维条形图得到列联表，
正确 错误 合计
20～30（岁） 10 30 40
30～40（岁） 10 70 80
合计 20 100 120
根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到，
∴有的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．
（2）ξ的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000，
则，
，
，
，
，
ξ的分布列为：
ξ 0 1000 3000 6000 11000
P
ξ的数学期望为：.