信阳市高中2023-2024学年高二上学期元旦测试
数学试题
分值：150分 时长：120分钟
一、单选题
1.已知复数,则
A.
B.
C.
D.
2.点集表示的曲线总长度等于
A.
B.
C.
D.
3.神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空,在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务,期间进行了很多空间实验,目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限,要通过回收水的方法制造可用水,回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水,循环使用.净化水的过程中,每过滤一次可减少水中杂质,要使水中杂质减少到原来的以下,则至少需要过滤的次数为（参考数据：）
A.19
B.20
C.21
D.22
4.已知点是第二象限的点,则的终边位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5.陀螺又称陀罗,是中国民间最早的娱乐健身玩具之一,在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆雉与一个圆柱的组合体,其中圆柱的底面半径为2,圆雉与圆柱的高均为2,若该陀螺是由一个球形材料削去多余部分制成,则该球形材料的体积的最小值为
A.
B.
C.
D.
6.已知等差和的前项和分别为，若，则
A.
B.
C.
D.
7.在等腰中,上运动,则的最小值为
A.
B.
C.
D.
8.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇,定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：已知点在圆上,点在直线上,则的最小值为
A.
B.
C.
D.
二、多选题
9.已知,直线，且
A.
B.
C.
D.
10.在三棱锥中,与都是边长为的正三角形,且二面角为直角,则下列结论正确的有
A.
B.与平面所成角为
C.上存在一点,使得为钝角
D.三棱雉的外接球表面积为
11.已知两点的距离为定值4,平面内一动点,记的内角的对边分别为,面积为,下面说法正确的是
A.若,则最大值为2
B.若,则最大值为
C.若,则最大值为
D.若,则最大值为1
12.已知抛物线的准线与轴相交于点,过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点,且两点在准线上的投影点分别为M、N，则下列结论正确的是
A.
B.的最小值为4
C.为定值
D.
三、填空题
13.已知数列的项和为，则数列的通项公式为 .
14.已知函数是定义域为的奇函数,且,若对任意的,且,都有成立,则不等式的解集为 .
15.若对于一个实常数,恰有三组实数对满足关系式,则 .
16.已知分别是双曲线的左.右焦点,点在双曲线上，,圆,直线与圆相交于两点,直线与圆相交于$M,N$两点.若四边形的面积为,则的离心率为 .
四、解答题
17. 已知三个顶点的坐标分别为.
（1）求边中线所在直线的方程；
（2）求外接圆的一般方程.
18.已知数列满足,记.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设数列的前项和为,求数列的前项的和.
19.记的内角A，B，C所对的边分别为，点在边上，且.
（1）求证：；
（2）若,求的面积.
20.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍瞢者,下有衣有广,而上有表无广,刍,是茅草屋顶."现有一个刍营如图所示,四边形为正方形,四边形,为两个全等的等腰梯形,.
（1）当点为线段的中点且时,求证：直线平面；
（2）当点在线段上时（包含端点）,求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围.
21.在2023年成都大运会的射击比赛中,中国队取得了优异的比赛成绩,激发了全国人民对射击运动的热情.某市举行了一场射击表演赛,规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行,每次只能有一位选手射击,用抽签的方式确定第一次射击的人选,甲、乙两人被抽到的概率相等；若中靶,则此人继续射击,若未中靶,则换另一人射击.已知甲每次中靶的概率为,乙每次中靶的概率为,每次射击结果相互独立.
（1）若每次中靶得10分,未中靶不得分,求3次射击后甲得20分的概率；
（2）求第次射击的人是乙的概率.
22.在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且右焦点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆上的任一点,从原点向圆引两条切线,设两条切线的斜率分别为,
（i）求证：为定值；
（ii）当两条切线分别交椭圆于时,求证：为定值.河南省信阳市高中2023-2024学年高二上期元旦测试
数学答案
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