重庆市黔江区2023-2024学年高一上学期1月月考
数学
（满分：150分，考试时间：120分钟）
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
2．王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传颂至今：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，最后一句“攻破楼兰”是“返还家乡”的( )条件．
A．充分 B．必要 C．充要 D．既不充分也不必要
3． 已知命题：，是假命题，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 定义域为 B.值域为C. 奇函数 D. 减函数
5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A. B. C. D.
6． 的值域是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在R上是单调函数,且满足对任意,都有,则的值是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．12
8．已知函数，若满足
，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列四组函数中是相同函数的有（ ）
A．；
B．；
C．；
D．；
10．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11．已知，，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 设函数，（），以下说法正确的有（ ）
A．函数的单调递减区间为
B．若函数为偶函数，则
C．若函数定义域为，则
D．，，使得，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数为奇函数，当时，，则__________.
14．秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）（）成正比；药物释放完毕后，与t的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前__________小时进行消毒工作.
15．若正数a，b满足，则 的最小值为________．
16．若函数及的图象分别如下图所示,方程、的实根个数分别为，则 = ．
四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分） （1）计算：
（2）计算：已知，则 =
18.（本小题12分）已知全集为，集合，
集合．
（1）若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围．
19．（本小题12分）已知定义域为的函数 是奇函数．
（1）求 的值； （2）用定义证明 在 上为减函数.
20．（本小题12分）习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.巫山县曲池乡响应号召，因地制宜地将该乡镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：纽荷尔树的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）.已知纽荷尔的市场售价大约为10元，且供不应求.记该单株水果树获得的利润为（单位：元）.（1）求的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？
21．（本小题12分）已知函数在上有意义，且对任意满足.
（1）求的值和判断的奇偶性并证明你的结论；
（2）若在上单调递减，且，请问是否存在实数，使得恒成立，若存在，给出实数的一个取值；若不存在，请说明理由.
22.（本小题12分） 已知函数
（1）若关于x的不等式的解集为，求a，的值；
（2）已知，当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间D，存在，求正数a的最小值.重庆市黔江区2023-2024学年高一上学期1月月考
参考答案
1． B 2． B．3．D 4.C 5. B 6．B 7．C 8． C
9．BC 10．ACD 11．AC 12. BCD
13． 14 1. 15．6 16．10
17．（1）解故为：. （2）答案为 ±2
18.解：是成立的充分不必要条件，
显然可得或，又，或，
的取值范围为
或，，
若，则分类讨论情况比较多，不妨求时a的取值范围，此时满足或，又，或，
当时，a的取值范围为．
19解：（1）因为 为上的奇函数，所以 ，可得.
又因为 ，所以 ，解之得 经检验当且时，
，满足 是奇函数．.6分（对一个给3分，没有检验也满分）
（2）由（1）得 ，任取实数 、 ，且 ,
则 …..9分
因为 ，可得，且
所以 ，即 ，函数 在 上为减函数. .…12分
20.解：（1）由题意可得，即，
所以函数的函数关系式为.......5分
（2）当时，为开口向上的抛物线，
对称轴，当时，..7分
当时，，...10分
当且仅当即时等号成立，此时，..11分 当投入的肥料费用为元时，单株水果树获得的利润最大为元..12分.
21【答案】（1）（2）奇函数，证明见解析（3）不存，理由见解析
【小问1】取得到，故.函数为奇函数，证明如下：
取，，即，
即，函数定义域为，故函数为奇函数.
【小问2】，即，
即，函数单调递减，故，
整理得到：，，则，，，故，这与矛盾，故不存在
22【答案】（1） （2）( ] （3）4 【解析】
【小问1详解】∵不等式的解集为，则方程的根为，且，∴，解得，故.
【小问2详解】令，若，即，
则，∵的开口向上，对称轴为，则在单调递减，在单调递增，且，∴，即，故a的取值范围为(]
【小问3详解】 的开口向上，对称轴为，
∵，根据二次函数的对称性不妨设，则有：
当时，在上单调递增，则可得，即，解得；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则可得，∵，
即；综上所述：，故正数a的最小值为4.
