陕西省西安高新重点中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（PDF版含答案）

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高一数学参考答案
一、选择题．1-8 题 CBDAADCB
9-12 题：CD ACD AD ABD
二、填空题 13-16 题 -2 4 3 -1
三、解答题：
3
sin( )cos tan( )
2
17.【解析】解：（1） f ( ) =

cos tan(2 + )
2
sin ( sin ) ( tan )
= = sin ，
sin tan
即 f ( ) = sin .
1
（2）因为关于 x 的方程2x
2 bx + = 0的两根为sin 和 cos ，
4
b 1
所以sin + cos = ， sin cos = ，
2 8
2 b
2 5
所以 (sin + cos ) =1+ 2sin cos = = ，所以b = 5 ，
4 4

因为 , ，所以sin 0，cos 0且 sin cos ，所以b = 5 ，
4 2
2 1 3
sin cos = (sin cos ) = 1 2sin cos = 1 2 =
8 2
2
18.【详解】（1）用 x替换条件等式中的 x 得 g ( x)+ 2 x f ( x) = ( x) + 4 x 1，
因为 f (x)为奇函数， g ( x)为偶函数，
所以 f ( x) = f (x)， g ( x) = g (x) x 2 x，所以 g (x) 2 f (x) = x + 4 1，
g (x)+ 2x f (x) = x2
1
与 + 4
x 1 x 2 联立可得: f (x) = 2 , g (x) = x .
2x
1
（2） f (x) = 2x x 在R 上单调递增， 2
f (a2x + ax 1)+ f (4 tax ) 0(a 0, 1)，
即 a2x + ax t + 4 tax 0在R 恒成立.，令a x = s ，则 s 0，
即 s2 + s t + 4 ts 0，
s2 + s + 4 4 4
整理得 t = s +1+ 1 2 (s +1) 1= 3，
s +1 s +1 s +1
4
当且仅当 s +1= ，即 s =1，即 x = 0 时，等号成立，
s +1
所以 t （ ,3] .
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19.【详解】（1）因为
3
1
1 1 3x 1 1 3x x 3 4(1 x)
f (x)+ f = lgx + + lg +
x = lgx + lgx + = = 4，
x x 1 x 1 x 1 1 x x 1 1
x
1 1 1
所以 f (2)+ f + f (3)+ f + + f (21)+ f = 4 20 = 80 .
2 3 21
2
（2） g (x) = f (x)+ 2 = lgx 1 ,
x 1
因为函数 y = lgx在 (1,+ )上单调递增，
2
函数 y = 在 (1,+ )上单调递增，
x 1
所以 g ( x)在 (1,+ )上单调递增，
2 2
又因为 g (10) =1 1 = 0，
10 1 9
2
g (100) =1 0，
99
所以 g (10) g (100) 0，
所以 x0 (10,100) , g (x0 ) = 0，即 g ( x)在 (1,+ )上有且仅有一个零点.
20.
π π
【详解】（1）当 = 时， f (x) = sin 2x + ,
4 4
π π π
所以当2x + = 2kπ + ,k Z，即 x = kπ + ,k Z 时，所以 f (x)max =1,此时
4 2 8
π
x = kπ + ,k Z；
8
π
（2）因为 f (x) = sin (2x+ )(0 π)为偶函数，所以 = ,
2
所以 f (x) = cos2x ,
π π
所以 g(x) = f (x + ) = cos 2x + ，
12 6
π
所以； 2k 2x + 2k ，
6
7
即： k x k -
12 12
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7
所以 g(x) 单调递增区间为; k ，k - ∈ 12 12
π π π
（3）因为 f (x) 过点 ,1 ，所以1= sin + (0 π), =
6 3 6
π
所以 f (x) = sin 2x + ，
6
π π π 7π
又因为 x [0, ] ,所以 2x2 + [ , ] , 2
2 6 6 6
π 1
所以 f (x2 ) = sin 2x2 + ,1 ，
6 2
π π π
又因为对任意的 x1 [ , ]， x [0, ]，都有h(x1) f (x2 ) + 3成立， 2
2 2 2
1 5
所以h(x1)max f (x2 )min +3， h(x ) + 3= 1 max
2 2
2
h(x) = cos2x+ 2asinx == sin2x+ 2asinx+1= a2 +1 (sinx a)
π π
因为 x1 [ , ]，所以 sinx1 [ 1,1]，
2 2
设 t = sinx1 [ 1,1] ,
2
则有 g (t ) = a2 +1 (t a) 图像是开口向下，对称轴为 t = a 的抛物线，
当 a 1时， g (t )在 t [ 1,1]上单调递增，所以 g (t ) = g (1) = 2amax ,
5 5
所以 2a ，解得a
2 4
5
所以1 a ；
4
当 a 1时， g (t )在 t [ 1,1]上单调递减，
所以 g (t ) = g ( 1) = 2amax ,
5 5
所以 2a ，解得a
2 4
5
所以 a 1;
4
当 1 a 1时， g (t ) = g (a) = a
2 +1 ,
max
2 5所以 6 6a +1 ，解得 a 所以 1 a 1 ,
2 2 2
5 5 5 5
综上所述： a 所以实数 a 的取值范围为 ,
4 4 4 4
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