2024年中考数学高频考点突破——二次函数与平行四边形（含答案）

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与平行四边形
1．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接，P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作交直线AC于点G，作轴交直线AC于点R，求最大值以及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线AC平移个单位，得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为新抛物线上一点，当以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标，并把求其中一个点N的过程写出来．
2．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点左边）．

(1)请直接写出、、三点的坐标；
(2)点是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点的坐标；
(3)如图，已知点在抛物线上，点在轴上，且四边形为平行四边形，求点的横坐标．
3．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)连接，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？
②设的面积为S，求S与m的函数关系式．
4．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过B，C两点，且与轴的负半轴交于点，动点在二次函数图象上，过点作平行于轴，交直线BC于点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若以M、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；
(3)根据图象，直接写出不等式的解集________．若的横坐标在此范围内时，且，直接写出点的坐标为_______．
5．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，设抛物线的顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接、、，试判断的形状，并说明理由；
(3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，已知，，连接．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图，将绕点逆时针旋转得到，在该抛物线上有一点，在第四象限，求四边形面积的最大值及此时的坐标；
(3)如图，若将原抛物线向左平移个单位，向上平移个单位得到新的抛物线，新的抛物线与轴交于点，点为原抛物线上的一点，且横坐标为，点为新抛物线对称轴上的一点，在新抛物线上确定一点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出新抛物线的解析式和所有满足条件的的坐标．
7．如图，抛物线经过点，，点P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在第一象限，连接．当线段最长时，求的面积；
(3)已知点在直线上，点M在抛物线上，点N在y轴上，在满足（2）的条件下，是否存在这样的点M、N，使以点Q、R、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出点M的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
8．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，点横坐标为2，延长矩形的边交抛物线于．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，求的最大值；
(3)如图3，如果点是抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点C、点D关于抛物线C的对称轴对称．

(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
(2)将抛物线沿水平方向向右平移1个单位得到抛物线，与y轴交于点E，点D平移后的对应点为F，P为抛物线的对称轴上的动点．请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知抛物线与x轴交于，与轴交于点．

(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)在轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点M为抛物线上一动点，在直线上是否存在点Q，使以点O、B、Q、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值；
(3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图1，抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点，，其对称轴为直线．

(1)直接写出抛物线C的解析式；
(2)已知点，点，均在抛物线上（点在点右侧），若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移得到抛物线，使的顶点在原点，过点的两条直线，，它们与轴不平行，都与抛物线只有一个公共点分别为点和点，求证：直线必过定点．
13．如图，在，，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数过．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点为该二次函数第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)为二次函数上一点，为轴上一点，当成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标．
14．如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点B和点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)E是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点E的坐标；
(3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图所示，已知抛物线C：的对称轴为，且经过点，，与x轴交于另一点B．

(1)求抛物线C的解析式；
(2)如图所示，若点M是直线上方抛物线C上的一动点，连接，设所得的面积为S，请结合图象求S的取值范围；
(3)在（2）的条件下，将抛物线C向右平移4个单位长度得到新抛物线，点N是x轴上方抛物线上一点，当的面积S最大时，在x轴是否存在一点P，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数，交于点，两点．

(1)求一次函数和二次函数的解析式．
(2)点P是二次函数图象上一点，且位于直线上方，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，求当面积最大时，点P的坐标．
(3)点M在二次函数图象上，点N在二次函数图象的对称轴上，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
17．如图，抛物线经过，两点．

(1)求此拋物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点，使得值最小，求最小值；
(3)点为轴上一动点，在拋物线上是否存在一点，使以，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；
(3)在直线上有一点，连接，，则的最小值为______；
(4)在（2）的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)抛物线的函数表达式为
(2)的最大值为6，此时P的坐标为
(3)或或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先求得点的坐标，进而得出直线的解析式为，设，则，表示出，证明，根据相似三角形的性质得出，则，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）根据题意得到新抛物线，点，点，点在新抛物线的对称轴上，为新抛物线上一点，分以下三种情况，以为对角线的平行四边形，以为对角线的平行四边形，以为对角线的平行四边形，利用中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴的交点为，，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵与 轴交于点，
令，解得：，则，
设直线的解析式为，
将点代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
依题意，轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
则，
∴，
∴当时，的最大值为；，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴，
∵将抛物线沿射线平移个单位，得到新抛物线，
∴将抛物线向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，
即，
对称轴为直线；
由（2）可得点，又点，
设点，，
分以下三种情况，以为对角线的平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；

以为对角线的平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；

以为对角线的平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；

综上所述，或或．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式、二次函数图象的动点问题、以及二次函数抛物与平行四边形的综合问题．解题的关键是根据抛物线设动点坐标找等量关系以及数形结合求解．
2．(1)，，；
(2)；
(3)或．
【分析】（）令，列式求解即可得到答案；
（）先求出直线的函数解析式，利用二次函数把面积表示出来，根据二次函数的最值就可以求出点的坐标；
（）分别求出两直线的解析式，再求出另一交点，得到的直线，当时求出点的坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
解得：，，
∴，；
（2）如图，过点P作轴于点，交于点，

则，
∵，
∴,
∴，
设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
直线 的解析式为，
设，,
∴，
∴当时，取最大值，即的面积最大，
∴；
（3）设点，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵点在抛物线上，
，
解得：，，
∴M点的横坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用题，解题的关键是根据平行四边形的性质及一次函数与二次函数的交点坐标结合函数性质求解．
3．(1)，，，对称轴
(2)①，②
【分析】（1）已知了抛物线的解析式，当时可求出A，B两点的坐标，当时，可求出C点的坐标．根据对称轴，可得出对称轴；
（2）①的长就是当时，抛物线的值与直线所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出所在直线的解析式，然后将m分别代入直线和抛物线的解析式中，得出两函数的值的差就是的长．根据直线的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出的长，然后让，即可求出此时m的值；
②设直线与x轴交于点M，易得，结合，所以，即，作答即可．
【详解】（1）解：因为与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），
所以当时，即，
解得，，
因为点A在点B的左侧，
所以，，
当时，即，
所以，
因为对称轴，
所以对称轴；
（2）解：如图：连接，

①设直线的函数关系式为，
把，，分别代入得：
解得
所以直线的函数关系式为：．
当时，
∴．
当时，
∴．
在中，当时，．
∴
当时，，
∴
∴线段，
线段，
∵，
∴当时，四边形为平行四边形．
由，
解得：，（此时点P与点E重合，故不合题意，舍去）．
因此，当时，四边形为平行四边形．
②设直线与x轴交于点M，如图

由，，
可得：．
∵，
即，
∴．
因为点P为线段上的一个动点，
所以，
则．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数的解析式，涉及面积，平行四边形等知识内容；根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的基础．
4．(1)二次函数的表达式为
(2)或或
(3)；
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）设，则，根据平行四边形的性质得出，然后列出方程求解即可；
（3）结合函数图象即可确定不等式的解集；作点关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线与点，利用轴对称的性质得出，再由待定系数法确定直线的解析式为，联立求解即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴令时，；令时，；
∴，，
∵二次函数的图像经过两点，且与轴的负半轴交于点，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）由（1）得，
∴，
∵轴即，
∵以M、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
设，则，
∴，
解得：，，，
∴，，，
∴点M的坐标为：或或；
（3）由图象得一次函数与的交点为点，，
∴当一次函数位于二次函数上方时，即，
此时，
如图所示，作点关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线与点，
∴，，
∴，则点为所求点，

∵，
∴，
设直线的解析式为，且，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设所在直线的解析为，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，
∴联立方程组得，解得，或，
∵动点在直线下方的二次函数图像上，即点的横坐标的范围为：，
∴不符合题意，舍去，
∴当时，点的坐标为；
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，二次函数图像的性质，平行四边形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点问题及轴对称的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
5．(1)该抛物线的解析式为．
(2)为直角三角形．理由详见解析．
(3)存在，，，均可满足条件．
【分析】将A、B、C三点坐标分别代入抛物线中即可求出a、b、c的值，从而得出抛物线的解析式；
根据中求出的抛物线解析式得出D的坐标，通过两点间距离公式可求出、、的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形；
利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为、时；两条对角线为、时；两条对角线为、时，即可得出符合条件的P的坐标．
【详解】（1）解：将，，代入抛物线中，
得，
可解得，
抛物线的解析式为．
（2）证：应为直角三角形．证明如下：
由得：抛物线的解析式为，
且D是抛物线的顶点，
又，，
，
，
，
．
故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形．
（3）解：存在，，，均可满足条件．
要使以A、B、Q、P为顶点的四边形为平行四边形，
且平行四边形中对角线互相平分，
对角线的中点为固定值．
Q在抛物线对称轴上，P在抛物线上，
可设，
则可分为以下三种情况进行讨论：
①两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，；
②两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，；
③两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，．
故满足条件的Ｐ点有３个，分别为，，．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、勾股定理逆定理及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平面内两点间距离公式及对角线互相平分，则对角线的中点为固定值，易错点是第题中可能存在考虑不全面的情况，导致符合条件的点未写全．
6．(1)；
(2)四边形面积的最大值为，此时的坐标为；
(3)的坐标为或或．
【分析】()用待定系数法可得抛物线的解析式为；
()连接，求出，，知，，设，可得，由二次函数性质可得答案；
()求出，根据将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位得到新的抛物线，可得新的抛物线的解析式为，新的抛物线对称轴为直线，即可得 ，设，，分三种情况：当， 为对角线时；当 ，为对角线时；当 ，为对角线时，分别列方程组求解可得答案．
【详解】（1）把，的坐标代入 中得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）连接，如图：

∵将绕点逆时针旋转得到，，，
∴,＋，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴当时，取最大值，
∴四边形面积的最大值为，此时的坐标为；
（3）把代入中得 ，
∴，
将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位得到新的抛物线，
∴新的抛物线的解析式，
∴新的抛物线对称轴为直线，
把代入中得，
∴，
设，，
当，为对角线时，
，
解得，
∴；
当，为对角线时，
，
解得，
∴；
当，为对角线时，
，
解得，
∴；
综上所述，的坐标为或或．
【点睛】此题考查了二次函数及四边形，三角形面积，平行四边形的综合应用，运用分类讨论思想和方程思想是解题的关键．
7．(1)
(2)8
(3)，，
【分析】（1）将，代入抛物线，利用待定系数法，即可解答；
（2）连接，求得直线的解析式，线段的长度为点纵坐标减去点纵坐标，即可求出的最大值，再根据的面积为的面积加上的面积，即可解答；
（3）分类讨论，即分别以为对称轴时，根据中点公式，进行解答即可．
【详解】（1）解：将，代入抛物线，
可得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接，
设直线的解析式为，
把，代入可得：，
解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
当时，取最大值为，
此时，的面积为的面积加上的面积，
即；

（3）解：当时，，
，
当时，，
，
设，，
当为对角线时，根据中点公式可得：，
解得，
；
当为对角线时，根据中点公式可得：，
解得，
；
当为对角线时，根据中点公式可得：，
解得，
，
综上所述，点M的坐标为，，．
【点睛】本题考查了根据待定系数法求一次函数和二次函数，平行四边形的性质，二次函数的性质，熟练将平行四边形对角线平分的性质转化成坐标系中的中点公式是解题的关键．
8．(1)
(2)
(3)点或或
【分析】（1）求出点的坐标，代入得出方程，进行计算即可得到答案；
（2）求出点的坐标，求出直线的解析式，设点，，进而得出的关系式，求得最值即可；
（3）分三种情况利用平行四边形的性质进行讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点,点横坐标为2，
，点的横坐标为：，
，
将代入二次函数解析式得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：，
抛物线的对称轴为直线：，
当时，，
，
点和点关于直线对称，
，
设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
设点，则，
，
当时，最大，为；
（3）解：点是抛物线对称轴上一点，
设，
当以、、、为顶点的平行四边形时，
点，，，
点向右平移个单位得到点，
点的横坐标为：，
当时，，
；
当以、、、为顶点的平行四边形时，
同理可得点的横坐标为：，
当时，，
；
当以、、、为顶点的平行四边形时，
可得点的横坐标为：，
当时，，
，
综上所述，点或或．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式、二次函数的图象及其性质、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
9．(1)；
(2)在抛物线上存在点Q，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出顶点坐标即可；
（2）的函数表达式为，点F的坐标为，
设点Q的横坐标为n，分情况讨论：当为边，P在Q的左侧时，当为边，P在Q的右侧时，当为对角线时，分别求出点Q的坐标即可．
【详解】（1）解：将、代入，
得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
令，则，
∴点C的坐标为，
令时，，
解得，，
∴点D的坐标为．
（2）解：存在；
∵，
∴的函数表达式为，
易得点P的横坐标为2，点E的坐标为，
∵点D平移后的对应点为点F，
∴点F的坐标为，
设点Q的横坐标为n，分情况讨论：

①当为边，P在Q的左侧时，，
解得，
∴点的坐标为；
②当为边，P在Q的右侧时，，
解得，
∴点的坐标为；
③当为对角线时，，
解得，
∴点的坐标为．
综上，在抛物线上存在点Q，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合，并注意进行分类讨论．
10．(1)
(2)或,或,或
(3)存在Q, ,，
【分析】（1）运用二次函数交点式解析式，将点坐标代入求解；
（2）设，则，分三种情况讨论：①当时，②当时,③当时,分别构建方程求解；
（3）运用待定系数法确定直线的解析式为，设，分情况讨论： ①以为对角线，②以为对角线，③以为对角线，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，运用中点坐标构建方程求解．
【详解】（1）根据题意，设解析式为，
与轴交于点，则，得
∴．
（2）设，则
当为等腰三角形时，可分为以下几类：
①　当时，, 解得，此时P的坐标为
②　当时,，解得，不能和C重合，故此时P的坐标为
③　当时,，解得或，此时P的坐标为
,或
综上，P的坐标为 或,或,或
（3）存在Q；
设直线的解析式为，则
，解得
∴
设，
①以为对角线，要形成平行四边形，则
解得，
相应的，或
∴Q的坐标为,或 ,
　　　　　
②以为对角线，要形成平行四边形，则
，解得
相应的，或
∴点Q的坐标为，；

③以为对角线，要形成平行四边形，则
，变形得，
此方程无解，故方程组无解，
∴不存在以为对角线的平行四边形．
综上，Q的坐标为, ,，
【点睛】本题考查待定系数法确定二次函数解析式，坐标系内两点间的距离，中点坐标求解，平行四边形的判定；由平行四边形的判定方法构建方程，用方程的思想解决函数问题是解题的关键．
11．(1)
(2)，此时；
(3)存在，或或
【分析】（1）分别将，代入求解即可；
（2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可；
（3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴；
（2）方法一：如图1，
连接，
设点，
∴，
∴
∴当时，，此时；
方法二：如图2，
作于Q，交于点D，设解析式为：
∵，则，解得
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴
∴当时，，此时；
（3）如图3，
当四边形为平行四边形时，，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴点的坐标：
如图4，当四边形为平行四边形时，
作于G，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
综上所述：或或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
12．(1)抛物线的解析式为：．
(2)点的坐标为或，．
(3)见解析
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，可得①，由抛物线可得，；把代入中，得②，由此可得，，；
（2）需要分情况讨论，①若，由点的平移可知，点左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点，设，则，将点代入得，，求解节课得出点的坐标；②若，由点和点的坐标可知，点和点的中点坐标为，，设，则，将点代入得，，求出即可求出点的坐标；
（3）根据题意得，抛物线的解析式为：，设，，则直线可设为，直线可设为，因为直线与抛物线只有一个公共点，所以联立与抛物线，得，得，所以△，解得，可求出直线的解析式为：，同理可得，直线的解析式为：，联立和的解析式可得，，由点，代入可得，所以直线的解析式为：，则直线过定点．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，即①，
抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点，
，，
，
，，
把代入中，得②，
由①②可知，，，
抛物线的解析式为：．
（2）解：若，
四边形是平行四边形，
∴且，
，，
向左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点，
点，都在抛物线上，点在点的右侧，
点左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点，
设，则，
将点代入得，，解得，
，
若，
四边形是平行四边形，
∴且，
，，
的中点坐标为，
设，则，
将点代入得，
，解得或，
点在点的右侧，
．
综上，点的坐标为或；
（3）解：根据题意得，抛物线的解析式为：，
设，，
则直线可设为，
直线可设为，
直线与抛物线只有一个公共点，
联立与抛物线，得，
得，
△，解得，
直线的解析式为：，
同理可得，直线的解析式为：，
联立和的解析式可得，，
，
，
设直线的解析式为：，
将，代入可得，
直线的解析式为：，
直线过定点．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，平行四边形存在性等内容熟练掌握直线与二次函数的交点求法，本题的关键是可以通过直线与抛物线的图象只有一个交点得出直线和直线的与和的关系．
13．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）利用待定系数法解二次函数解析式即可；
（2）设直线的函数解析式为，利用待定系数法解得直线的函数解析式为，然后设点，可得，利用二次函数的图像与性质即可获得答案；
（3）结合平行四边形的性质，分四边形为平行四边形、四边形是平行四边形以及四边形为平行四边形多种情况，分别作出图形求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，将点代入函数，
可得，解得,
∴该二次函数的解析式为；
（2）设直线的函数解析式为，
将点代入，
可得，解得，
∴直线的函数解析式为，
设点，
则
，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值为4，
此时，
即点的坐标为；
（3）点坐标为或或或，理由如下：
对于二次函数，若时，
可有，
解得，，
∴点关于该二次函数图象的对称轴的对称点为，
若四边形是平行四边形，如下图，

则，，
∴，，
∴，
此时，点的坐标为；
若四边形是平行四边形，如下图，

∴，，
∴，
此时，点的坐标为；
设
若四边形为平行四边形，如下图，

则，，
∵点向右平移4个单位长度、向下平移2个单位长度得到点，
∴点向右平移4个单位长度、向下平移2个单位长度得到点，
∴，
∵点为二次函数上一点，
∴，
解得，
∴此时，点坐标为或，如下图所示，

综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的性质等知识，难度较大，解题关键是综合运用数形结合的思想和分类讨论的思想分析问题．
14．(1)
(2)当时，的面积有最大值4，此时
(3)P点坐标为或）或）
【分析】（1）求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过E点作轴交于点G，设，则，可得，即可求出最终结果．
（3）设， ，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式求n的值即可求P点坐标．
【详解】（1）解：当时，，
，
当时，
，
将B、C点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）过E点作轴交于点G，

设，则，
当时，的面积有最大值4，此时．
（3）存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
抛物线的对称轴为直线，
设，
①当为平行四边形的对角线时，，
解得
②当为平行四边形的对角线时，，
③当为平行四边形的对角线时，，
解得，
综上所述：P点坐标为或）或）．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为或或或
【分析】（1）根据二次函数的对称性求出B点坐标，然后用待定系数法求解析式即可；
（2）求出直线的解析式，设点的坐标为，则点，根据列式计算，求出最大值即可得解；
（3）首先求出平移后的二次函数的解析式，设点的坐标为，点，然后分情况讨论：①当、是对角线时；②当、为对角线时；③当、为对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：的对称轴为，，
，
∴抛物线经过三点，，
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，该直线过点，，
则，
解得，
故直线为的表达式为：；
过点作轴交于点，
设点的坐标为，则点，
则
，
，
故的面积存在最大值，
当时，的面积最大值为，
；

（3）解：存在，或或，；
将原抛物线向右平移个单位长度得到新抛物线，
则新抛物线的表达式为，
设点的坐标为，点，
当时，，
∴点的坐标为；
①当、是对角线时，如图：

则的中点即是的中点，
而的中点为，即，
的中点为，
，
解得或，
点的坐标为或；
②当、为对角线时，如图：

此时点在轴下方，故舍去；
③当、为对角线时，如图：

此时，点的纵坐标与点相同，且，
将代入，
解得：，，
即或，
此时的，，
综上，点的坐标为或或，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移以及平行四边形的性质等知识，灵活运用各性质及分类讨论的数学思想是解题的关键．
16．(1)；
(2)
(3)或或
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设点P的横坐标为m，则纵坐标为，根据轴，得出点Q的横坐标也是m，纵坐标为，求出，根据，得出当最大时，的面积最大，根据当时，的面积最大，求出点P的坐标即可；
（3）分情况讨论，当点A平移到点N时，向左平移了2个单位，当点B向右平移到点N时，当为平行四边形的对角线时，分别画出图形，先求出点M的横坐标，再代入二次函数解析式求出纵坐标即可．
【详解】（1）解：把点，代入，得，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
把点，代入，
得，
解得：，
所以二次函数的解析式为：．
（2）解：设点P的横坐标为m，则纵坐标为，
∵轴，
∴点Q的横坐标也是m，纵坐标为，
∴，
∴，
∴当最大时，的面积最大，
∵，
∴当时，的面积最大．
此时点．

（3）解：抛物线的对称轴为直线，点，，
如图2，当点A平移到点N时，向左平移了2个单位，
∴点B平移到点M也得向左平移2个单位，
∴点M的横坐标为2，
把代入得，，
∴；

如图3，∵当点B向右平移到点N时，向右平移了1个单位，
∴点A平移到点M也得向右平移1个单位，
∴点M的横坐标为4，
把代入得，，
∴点；

如图4当为平行四边形的对角线时，的中点坐标为，
∵点N的横坐标为1，
∴点M的横坐标为2，
把代入得，，
∴．

综上，点M的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，并注意进行分类讨论．
17．(1)
(2)
(3)，，
【分析】（1）把，两点代入求出、的值即可；
（2）因为点关于对称轴对称的点的坐标为，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可；
（3）分点在轴下方或上方两种情况进行讨论．
【详解】（1）解：抛物线经过，两点，
，
解得：，，
此拋物线的解析式为；
（2）如图，连接，交对称轴于点，

拋物线的解析式为，
其对称轴为直线，
当时，，
，
又，
设的解析式为，
，
解得：，，
的解析式为，
当时，，
，
；
（3）存在，如图所示：

①当点在轴下方时，
抛物线的对称轴为，，
，
②当点在轴上方时，
如图，过点作轴于点，
在和中，
，
，
，即点的纵坐标为
，
解得：或，
，，
综上所述符合条件的的坐标有，，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
18．(1)
(2)
(3)
(4)存在，点的坐标为：或或
【分析】（1）把、两点坐标代入可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可得答案；
（2）过作轴于，交于，根据抛物线解析式可得点坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，设，根据解析式可表示出点坐标，即可表示出的长，根据的面积列方程可求出的值，即可得点坐标，利用三角形面积公式即可得答案；
（3）根据二次函数的对称性可得点与点关于直线对称，可得为的最小值，根据两点间距离公式计算即可得答案；
（4）根据平行四边形的性质得到，M，分为边和为对角线两种情况，结合点坐标即可得点的坐标．
【详解】（1）∵抛物线与轴相交于，两点，，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）如图，过作轴于，交于，
当时，，
∴，
设的解析式为，则，
解得，
∴的解析式为：，
设，则，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
解得：或3，
∵点在直线右侧的抛物线上，
∴，
∴的面积；

（3）∵抛物线与轴相交于，两点，
∴点与点关于直线l对称，
∴为的最小值，
∵，
∴的最小值．
故答案为：
（4）①当为对角线时，，，
过点作轴于，过当作轴于，
点，
，
在和中，，
，
，
点在轴下方，为对角线，
点在轴上方，
点纵坐标为，
把代入抛物线解析式得：，
解得：，，
∴，

如图，当为边时，，，
∵点，
∴点纵坐标为，
∴，
解得：，（与点重合，舍去），
∴，

综上所述：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为：或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题．