2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最小值（含解析）

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最小值
1．如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
(3)在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值；
(3)如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，面积为，当为等腰三角形时，求点N的坐标．
3．如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求直线的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；
（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当时，求二次函数的最大值和最小值；
（3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．
①求的取值范围；
②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围．
5．抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积；
（3）若是对称轴上一定点，是抛物线上的动点，求的最小值（用含的代数式表示）．
6．已知函数的图象如图所示，点在第一象限内的函数图象上．
（1）若点也在上述函数图象上，满足．
①当时，求的值；
②若，设，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线，垂足为P，点P关于x轴的对称点为，过A点作x轴的线，垂足为Q，Q关于直线的对称点为，直线是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．
（1）求、的值；
（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线与轴交于点，顶点为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）平行于轴的直线与抛物线交于两点（点在点的右边），若，求两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点是线段上的动点，经过点的直线与轴交于点，连接，求的面积的最大值和最小值．
10．在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求面积的最小值．
②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
12．如图一，抛物线过三点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围；
（3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结，点为线段的中点，点分别为直线和上的动点，求周长的最小值．
13．如图，直线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，抛物线经过三点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴的交点为点，点关于原点的对称点为，连接，以点为圆心，的长为半径作圆，点为直线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求周长的最小值；
（3）若动点与点不重合，点为⊙上的任意一点，当的最大值等于时，过两点的直线与抛物线交于两点（点在点的左侧），求四边形的面积．
14．在平面直角坐标系中，已知y=﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．
（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
15．坐标综合：

(1)平面直角坐标系中，抛物线：的对称轴为直线，且经过点，求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
(2)将抛物线在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线：，
①如图，设自变量在的范围内取值时，函数的最小值始终等于．此时，若的最大值比最小值大，求的值；
②如图，直线：与轴、轴分别交于、两点过点、点分别作两坐标轴的平行线，两平行线在第一象限内交于点．设抛物线与轴交于、两点（点在左边）．现将图中的沿直线折叠，折叠后的边与轴交于点．当时，若要使点始终能够落在线段（包括两端点）上，请通过计算加以说明：抛物线在向抛物线平移时，沿轴的方向上需要向左还是向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？
16．如图1，抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作交抛物线于点E，交y轴于点P．
(1)点F是直线下方抛物线上点一动点，连交于点G，连，当的面积的最大值时，直线上有一动点M，直线上有一动点N，满足，连，，求的最小值；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点F作轴于点H交于点L，将沿着射线平移到点A与点C重合，从而得到（点A，H，L分别对应点，，），再将绕点逆时针旋转，旋转过程中，边所在直线交直线于Q，交y轴于点R，求当为等腰三角形时，直接写出的长．
17．如图1，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，对称轴直线交抛物线于点D，交x轴于点E，连接，．

(1)求该抛物线的表达式以及m的值；
(2)求四边形的面积；
(3)如图2，作直线，点P为对称轴左侧抛物线上一动点，点Q为直线上一动点．
①连接，，求的最小值；
②若以点C，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标．
18．如图，抛物线交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，直线：，交轴于点，交轴于点，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)证明：对于直线上任意给定的一点，在抛物线上总能存在点，，使得点为的中点；
(3)直线：交抛物线于点，，记为点到直线的距离，为点到直线的距离，判断是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)该抛物线的表达式为y=x2+x+2；
(2)点P的坐标为(1，0)或(2，0)；
(3)线段CD'长度的最小值为1．
【分析】（1）先求得点A(-1，0)，点B(0，2)，利用待定系数法即可求解；
（2）分两种情况讨论：△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD，利用全等三角形的性质求解即可；
（3）按照（2）的结论，分两种情况讨论，当P、D'、C三点共线时，线段CD'长度取得最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：令x=0，则y=2x+2=2，令y=0，则0=2x+2，解得x=-1，
点A(-1，0)，点B(0，2)，
把A(-1，0)，B(0，2)，C(3，0)代入y=ax2+bx+c，
得，解得，
∴该抛物线的表达式为y=x2+x+2；
（2）解：若△AOB和△DPC全等，且∠AOB=∠DPC=90°，
分两种情况：
①△AOB≌△DPC，则AO=PD=1，OB=PC=2，
∵OC=3，
∴OP=3-2=1，
∴点P的坐标为(1，0)；
②△AOB≌△CPD，则OB=PD=2，
∴正方形OPDE的边长为2，
∴点P的坐标为(2，0)；
综上，点P的坐标为(1，0)或(2，0)；
（3）解：①点P的坐标为(1，0)时，
∵△PQD'与△PQD关于PQ对称，
∴PD'=PD，
∴点D'在以点P为圆心，1为半径的圆上运动，
当P、D'、C三点共线时，线段CD'长度取得最小值，最小值为2-1=1；
②点P的坐标为(2，0)时，
∵△PQD'与△PQD关于PQ对称，
∴PD'=PD，
∴点D'在以点P为圆心，2为半径的圆上运动，
当P、C、D'三点共线时，线段CD'长度取得最小值，最小值为2-1=1；
综上，线段CD'长度的最小值为1．
【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，点和圆的位置关系，解题的关键是正确进行分类讨论．
2．(1)
(2)周长的最小值为
(3)N的坐标为或或
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点，连接、、，由对称的性质可知当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度，再证明为等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可；
（3）连接BM，表示出，可证，再求出直线BC的解析式为，直线AM的解析式为，可得M的坐标，设N的坐标为，过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，则得，，，根据等腰三角形的性质，分类讨论①时，②时，③时，分别计算即可．
【详解】（1）∵，在上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点，
连接、、，
由对称的性质可知，，
的周长为，
∴当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度．
令，则，解得，．
∴B的坐标为，
∴，为等腰直角三角形．
∵BC垂直平分，且D的坐标为，
∴．
又∵D、关于x轴对称，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
（3）∵M到x轴的距离为d，，连接BM，
∴．
又∵，
∴，
∴B、N到AM的距离相等．
又∵B、N在AM的同侧，
∴．
设直线BC的解析式为，则，
∴
∴直线BC的解析式为，
∴设直线AM的解析式为．
∵，
∴设直线AM的解析式为，
，解得，，
∴M的坐标．
∵点N在射线BC上，
∴设N的坐标为．
∵，，，
过点M作x轴的平行线l，
过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，
则易得，，，
∵为等腰三角形
①时，，
解得，．
②时，，
解得，．
③时，，解得．
∵N在第一象限，
∴，
∴t的取值为，，，
∴N的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，待定系数法求二次函数解析式，对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求一次函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．（1）；（2）直线的解析式为；（3），此时的最小值为；（4）存在，或．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）设直线的解析式为，然后把点B、C的坐标代入求解即可；
（3）由题意易得点A、B关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得，要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，然后问题可求解；
（4）由题意可设点，然后可分①当AC为对角线时，②当AM为对角线时，③当AN为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．
【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴，
设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（3）由抛物线可得对称轴为直线，由题意可得如图所示：
连接BP、BC，
∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，此时BC与对称轴的交点即为所求的P点，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∵点P在直线BC上，
∴把代入得：，
∴；
（4）存在，理由如下：
由题意可设点，，当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：
①当AC为对角线时，如图所示：
连接MN，交AC于点D，
∵四边形ANCM是平行四边形，
∴点D为AC、MN的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，即，
解得：，
∴；
②当AM为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
③当AN为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
∴综上所述：当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．
4．（1）；（2）最大值为；最小值为－2；（3）①；②或时，与图象交点个数为1，时，与图象有2个交点．
【分析】（1）利用待定系数法求解．
（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．
（3）①由求出取值范围，
②通过数形结合求解．
【详解】解：（1）将，点代入得：
，
解得，
∴．
（2）∵，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线．
∴当时，取最小值为－2，
∵，
∴当时，取最大值．
（3）①，
当时，，的长度随的增大而减小，
当时，，的长度随增大而增大，
∴满足题意，
解得．
②∵，
∴，
解得，
如图，当时，点在最低点，与图象有1交点，
增大过程中，，点与点在对称轴右侧，与图象只有1个交点，
直线关于抛物线对称轴直线对称后直线为，
∴时，与图象有2个交点，
当时，与图象有1个交点，
综上所述，或时，与图象交点个数为1，时，与图象有2个交点．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．
5．（1）；（2）4；（3）
【分析】（1）与轴相交于点，得到，再根据抛物线对称轴，求得，代入即可．
（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，可知、两点关于对称轴对称，是等腰直角三角形得到，设，根据等腰直角三角形的性质求得E点坐标，从而求得的面积．
（3），根据距离公式求得，注意到的范围，利用二次函数的性质，对进行分类讨论，从而求得的最小值．
【详解】解：（1）由抛物线（）与轴相交于点得到
抛物线的对称轴为，即，解得
∴抛物线的方程为
（2）过点E作交AB于点M，过点F作，交AB于点N，如下图：
∵是等腰直角三角形
∴，
又∵轴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
设，则，
∴
又∵
∴
解得或
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意
综上所述：．
（3）设，在抛物线上，则
将代入上式，得
当时，，∴时，最小，即最小
=
当时，，∴时，最小，即最小
，
综上所述
【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公式等知识，熟练掌握距离公式和对代数式的计算是解决本题的关键．
6．（1）①；②；（2）直线与轴交于定点，定点的坐标为．
【分析】（1）①先确定，再根据代入求解即可得；
②先确定，从而可得，再代入可得一个关于的二次函数，利用二次函数的性质即可得；
（2）先分别求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出结论．
【详解】解：（1）①对于二次函数，
在内，随的增大而增大，
，
，
则当时，，解得或（舍去），
当时，，解得；
②，
，
，
则，
化成顶点式为，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取最小值，最小值为；
（2）由题意，设与交于点，画图如下，
在已知函数的第一象限内的图象上，
，即，
轴，轴，点关于轴的对称点为，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
关于直线的对称点为，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，即，
设点的坐标为，
则，解得，即，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
即直线与轴交于定点．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、轴对称等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．
7．（1）；（2）存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为．
【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入求解即可；
（2）设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；
（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D、M、O三点共线时，的值为最小，然后问题可求解．
【详解】解：（1）∵四边形为正方形，，
∴，，
∴，
∴OB=1，
∴，
把点B、D坐标代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线，
∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴由两点距离公式可得，
设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：
①当时，如图所示：
∴由两点距离公式可得，即，
解得：，
∴点F的坐标为或；
②当时，如图所示：
∴由两点距离公式可得，即，
解得：，
∴点F的坐标为或；
综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；
（3）由题意可得如图所示：
连接OM、DM，
由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，，
∴，DM=EM，
∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，
∴，
∴四边形BOMP是平行四边形，
∴OM=BP，
∴，
若使的值为最小，即为最小，
∴当点D、M、O三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：
∵，
∴，
∴的最小值为，即的最小值为，
设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：，
∴线段OD的解析式为，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．
8．（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（，）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），
则，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知：
AP=，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，
∴AE=PE==t，即E（3-t，0），
又Q（-1+t，0），
∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ
=
=
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC=，AB=4，
∴0≤t≤3，
∴当t==2时，四边形BCPQ的面积最小，即为=4；
（3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，
∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，
∴∠PMF=∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，
∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，
∴点M的坐标为（3-2t，4-t），
∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，
解得：t=或（舍），
∴M点的坐标为（，）．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
9．（1）；（2）的坐标是；（3）当时，最小值为，当时，最大值为．
【分析】（1）利用待定系数法把代入即可求解；
（2）设，根据二次函数的对称性和PQ的距离得到二元一次方程组，求解即可；
（3）当直线经过点时，得，当直线经过点时，得，求出临界情况的面积即可．
【详解】（1）把代入，得．
抛物线的解析式为．
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为，
设，依题意，
知，
解得．
把代入抛物线，得，
所以的坐标是．
（3）由（1）知，
当直线经过点时，得，
当直线经过点时，得，
所以的取值范围是：．
设直线的解析式为：，将的坐标代入，
得，所以直线的解析式为：．
设直线交轴于点，则，
．
当时，最小值为，
当时，最大值为．
．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
10．（1）；（2）①4；②点，或点，
【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据等腰直角三角形的性质得到三点的坐标，代入解析式即可得到答案；
（2）①设直线l的解析式为，交点，，联立一次函数与二次函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系得到，利用面积与的函数，得到面积的最小值；②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，利用对称得：列方程求解再求点P的坐标及直线l的一次函数表达式即可．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，
在等腰中，垂直平分，且，
∴．
∴
，
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）①设直线l的解析式为，交点，
由，
可得，
∴，．
∴，
∴．
∴．
∴当时，取最小值4．
∴的最小值是4．
②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，
∴，即
解得：，，，
∵，，（不合题意，舍去．）
当时，点，线段的中点为．
∴，
．
∴直线l的表达式为：．
当时，点，线段的中点为．
∴，
．
∴直线l的表达式为：
综上：点，或点，．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，轴对称的性质，利用因式分解的方法解方程，掌握以上知识是解题的关键．
11．（1）；（2）存在点P，点P坐标为（2＋，1＋）或（2 ，1 ）或（2， 3）；（3）＋
【分析】（1）分别求出A、B坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线，即可得出其解析式；
（2）首先假设存在点P，然后分点P在直线AB上方时和点P在直线AB下方时两种情况讨论，即可得解；
（3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，），则点F（m，m 2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝ （m 2）2＋4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN＝ON，可得MN＋ON＝MN＋KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）由题意，令，即
∴A的坐标为（4,0）
令，即
∴B的坐标为（0，-2）
将A、B、C三点坐标代入抛物线，得
解得
∴抛物线解析式为：；
（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，

∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y＝x，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点P（2＋，1＋）或（2 ，1 ）；
当点P"在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP"∥AB，交抛物线于点P"，连接AP"，BP"，
∴AB∥EP"∥OP，OB＝BE，
∴S△AP"B＝S△ABO，
∵EP"∥AB，且过点E（0， 4），
∴直线EP"解析式为y＝x 4，
联立方程组可得，
解得，
∴点P"（2， 3），
综上所述：点P坐标为（2＋，1＋）或（2 ，1 ）或（2， 3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，

设点M（m，），则点F（m，m 2），
∴MF＝m 2 （）＝ （m 2）2＋2，
∴△MAB的面积＝×4×[ （m 2）2＋2]＝ （m 2）2＋4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2， 3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，

∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN＝ON，
∴MN＋ON＝MN＋KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y＝x，
当x＝2时，点Q（2，2），
∴QM＝2＋3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM＝QM＝＋，
∴MN＋ON的最小值为＋．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，垂线段最短等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键．
12．（1）；（2）点横坐标的取值范围：或；（3）的周长最小值为3.
【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出，即可求出关系式；
（2）可以求出点关于对称轴的对称点的横坐标为：，根据函数的增减性，可以求出当时点横坐标的取值范围；
（3）由于点是的中点，可求出点的坐标，根据对称找出关于直线的对称点，连接两个对称点的直线与的交点，此时三角形的周长最小，周长就等于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求．
【详解】解：（1）∵抛物线过三点
∴ 解得：；
∴抛物线的解析式为：．
（2）抛物线的对称轴为，抛物线上与相对称的点
在该抛物线上，，根据抛物线的增减性得：
∴或
答：点横坐标的取值范围：或．
（3）∵，，
∴，，
∵是的中点，
∴
当点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，直线与、交点为，此时的周长最小，周长为的长，
，点F的纵坐标为，
∴点F到直线CE的距离为，
由对称可得到：点到直线的距离为，
∴，
点F与点关于直线CD对称，则有：⊥CD，
∴易求直线CD为，
∴设直线的解析式为：，
把点F代入解析式得：，
∴设直线的解析式为：，
∴即点，
，
即：的周长最小值为3，
【点睛】考查待定系数法求函数的关系式、二次函数的性质、对称性，勾股定理以及最小值的求法等知识，函数的对称性，点关于直线的对称点的求法是解决问题的基础和关键．
13．（1）；（2）（3）
【分析】（1）直线y=x-3，令x=0，则y=-3，令y=0，则x=3，故点A、C的坐标为（3，0）、（0，-3），即可求解；
（2）过点B作直线y=x-3的对称点B′，连接BD交直线y=x-3于点P，直线B′B交函数对称轴与点G，则此时△BDP周长=BD+PB+PD=BD+B′B为最小值，即可求解；
（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，即可求解．
【详解】解：（1）直线，令，则，令，则，
故点的坐标为、，
则抛物线的表达式为：，
则，解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
（2）过点作直线的对称点，连接交直线于点，
直线交函数对称轴与点，连接，
则此时周长为最小值，
，则点，即：，
即点是的中点，过点，
周长最小值；
（3）如图2所示，连接并延长交圆与点，此时为最大值，
点的坐标为，
则，，
则，
设点，点，
，
解得：，故点，
将点坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点的坐标分别为：
过点分别作轴的垂线交于点，
则.
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，其中（3），确定PQ最值时，通常考虑直线过圆心的情况，进而求解．
14．（1）y=﹣x2+2x﹣1．（2）详见解析；（3）．
【分析】（1）根据点A、点C的坐标易求点B的坐标，然后把A、B的坐标代入y=﹣x2+bx+c得方程组，解方程组即可得b、c的值，也就得到抛物线的函数表达式；
（2）如图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，根据点A、点C的坐标求得直线AC的表达式，再由直线AC的斜率得△P′PM是等腰直角三角形，从而可得得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，进而求得平移后的解析式，再进一步求得抛物线与x轴的交点，与直线AC的交点，即可证得结论；
（3）如图3所示，作点B关于直线AC的对称点B′，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，求得最小值为线段B′F的长度即可．
【详解】（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），
∴点B的坐标为（4，﹣1）．
∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，
∴，
解得：b=2，c=﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：y=﹣x2+2x﹣1．
（2）如图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，
∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），
∴直线AC的解析式为y=x﹣1，
∵直线的斜率为1，
∴△P′PM是等腰直角三角形，
∵PP′=，
∴P′M=PM=1，
∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，
∵y=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣2）2+1，
∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+2，
令y=0，则0=﹣（x﹣3）2+2，
解得x1=1，x=5，
∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），
由，得或，
∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），
∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．
（3）如图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=．
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为．
考点：二次函数综合题．
15．(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为
(2)①的值为或；②抛物线在向抛物线平移时，沿轴的方向上需要向右平移，最少平移个单位，最多平移个单位
【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，再把把代入，即可求解；
（2）①根据配方可得当时，函数有最小值，再由自变量在的范围内取值时，函数的最小值始终等于，可得，然后两种情况讨论，即可求解；②先求出点A，C的坐标，可得点B的坐标，再根据图形折叠的性质可得，在中，根据勾股定理可得，从而得到点M的坐标，继而得到n的取值范围，然后根据点始终能够落在线段（包括两端点）上，可得m取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：的对称轴为直线，
，
解得：，
把代入，得，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：①，
抛物线的对称轴为直线，
当时，函数有最小值，
在的范围内取值时，函数的最小值始终等于，
，
当时，时有最大值为，
，
解得，
；
当时，时有最大值为，
，
解得或舍，
综上所述：的值为或；
②直线：与轴的交点，与轴的交点，
，
沿直线折叠，
，
，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
，
，
当时，解得：或，
，，
点始终能够落在线段上，
，，
，
，，
当时，抛物线沿轴向右平移个单位，向上平移个单位，
当时，抛物线沿轴向右平移个单位，向上平移个单位，
抛物线在向抛物线平移时，沿轴的方向上需要向右平移，最少平移个单位，最多平移个单位．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，轴对称图形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．
16．(1)
(2)或
【分析】（1）作轴交于H．设，求出直线的解析式，联立方程得到时，的值最大，求出答案；作点G关于的对称点T，交于R，连接交于N，作于M，连接，，此时的值最小，求出答案即可；
（2）当是等腰三角形时，易知，易知直线与x轴的夹角为，得到直线的解析式为，进而求出答案，当是等腰三角形，同理求出答案．
【详解】（1）如图1中，作轴交于H．设．
由题意可知，，，
抛物线的对称轴，C，D关于直线对称，
，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
由，解得或，
，，
，的面积为定值，
的面积最大时，的面积最大，
的值最大时，的面积最大，
的值最大时，的面积最大，
，
．开口向下，
时，的值最大，此时．
如图2中，作点G关于的对称点T，交于R，连接交于N，作于M，连接，，此时的值最小．
直线的解析式为：，
由，
解得，
，
，
直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，
．
的最小值为．
（2）如图3中，如图当是等腰三角形时，易知，
易知直线与x轴的夹角为，，
直线的解析式为，
，
．
如图4中，当是等腰三角形，
，
是等边三角形，
同法可得，
综上所述，满足条件的PR的值为或．
【点睛】本题属于二次函数证明题，考查了二次函数的性质，一次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题．
17．(1)；
(2)
(3)①的最小值为5
②点Q的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可，再根据对称轴公式求得对称轴；
（2）利用割补法，代入计算即可；
（3）分类讨论，当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，以及当四边形为平行四边形时，分别计算即可．
【详解】（1）（1）∵抛物线过点，，
∴，
解得，
∴该抛物线的表达式为，
∴．
（2）令，则，
∴点C的坐标为，
当时，，
∴点D的坐标为，
∴，，，．
∴．
（3）①如图1，作点B关于直线的对称点，连接交于点Q，连接，，
由对称性可得，
∴，此时的值最小．
∵点，，
∴．
∴．
∵点B与点关于直线对称，
∴．
在中，．
∴的最小值为5．

②分类讨论：
a．如图2，当四边形为平行四边形时，则．
设直线的表达式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为．
∵，
∴可设直线的表达式为，
将点代入，可得，解得．
∴直线的表达式为．
令，解得（不合题意，舍去），．
∴点P的坐标为．
∵点P和点C的纵坐标相同，
∴点Q在对称轴直线上．
当时，，
∴点Q的坐标为．

b．如图3，当四边形为平行四边形时，则．
过点P作轴，过点Q作于点F，过点C作轴，交于点G．
易得．
∵四边形为平行四边形，
∴，．
∴．
∵轴，轴，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴，．
设点P的坐标为，则点Q的坐标为．
∵点Q在直线上，
∴，
解得（不符合题意，舍去），．
∴．
∴点Q的坐标为．

c．如图4，当四边形为平行四边形时，则．
设点P的坐标为，
∵，点，，
∴由平移可得点Q的坐标为，
又∵点Q在直线上，
∴，
解得（不符合题意，舍去），．
∴，．
∴点Q的坐标为．

综上所述，若以点C，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的性质、线段和差最值问题以及二次函数应用中平行四边形存在性问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
18．(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（）利用与的正切值相等求出，得出A的坐标代入抛物线的表达式；
（）设出点、点，利用中点坐标公式得到E点坐标，把点坐标代入抛物线的表达式，得到关于的方程，说明有解即可；
（）用k表示成的二次函数求最值．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）证明：设点，，
∴代入得，
即，
∴，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，
∴对于直线上任意给定的一点P，在抛物线上总能存在点，；
（3）解：存在最小值，最小值为，
取的中点为，过作轴交直线于点，垂足为，
设，，将直线：与抛物线，联立，
则有：，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴存在最小值，最小值为．

【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，以及探索性题目的证明与求解，解题的关键熟练掌握图象及其性质，设而不求，弄清变量和常数．