2022-2023学年山东省烟台市蓬莱区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市蓬莱区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的横坐标为，当时，的取值范围是( )
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
3.三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是( )
A. B. C. D.
4.如图，在正方形网格中，点，，为网格交点，，垂足为，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是( )
A.
B.
C.
D.
6.下列说法中正确的是( )
A. 平分弦的直径垂直于弦
B. 圆心角是圆周角的倍
C. 三角形的外心到三角形各边的距离相等
D. 从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
7.已知二次函数为常数的图象上一点为，则关于的一元二次方程的两实数根是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道如图所示，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接并延长交于点，当时，的长是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：；方程的两个根是，；；当时，的取值范围是；当时，随增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.函数自变量的取值范围是______ ．
12.从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．
13.已知的直径长为，弦长为，那么弦所对的圆周角的度数等于______．
14.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，直线与交于、两点，则弦的长为______．
15.体育课上小明推铅球，若铅球离开手的水平距离为米、铅球离地面的高度为米，铅球的运行路线为抛物线；当铅球下降过程中高度达到米时，铅球离开手的水平距离为______ 米
16.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，是以点为圆心，半径长为的圆上一动点，连接，为的中点若线段长度的最大值为，则的值为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
如图，图分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点、在线段上，点在上，支杆，：：，，．
请根据以上信息，解决下列问题：
求滑竿的长度；
求拉杆端点到水平滑杆的距离结果精确到参考数据：，，，．
19.本小题分
红日中学落实国家的“双减政策”，实施“五育并举”，开设了围棋、舞蹈、书法、武术四门课外活动课程，学生会干部小美和小丽报名参加负责这四门课外活动课程宣传报道的志愿者工作．
小美被随机分配到武术这门课程做志愿者工作的概率为______；
若小美主动申请不到围棋这门课程做志愿者工作，并得到允许，请用树状图或列表的方法，求出小美和小丽被分配到相同的课外活动课程做志愿者工作的概率．
20.本小题分
如图，在中，，，一次函数交轴于点，交反比例函数于、两点．
求一次函数和反比例函数的解析式；
求的面积；
问：在直角坐标系中，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
如图，点在的平分线上，与相切于点．
求证：直线与相切；
的延长线与交于点若的半径为，求弦的长．
22.本小题分
“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销大米时的台词．所推销大米成本为每袋元，当售价为每袋元时，每分钟可销售袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每分钟可多销售袋，设每袋大米的售价为元为正整数，每分钟的销售量为袋．
求出与的函数关系式；
设“东方甄选”每分钟获得的利润为元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？
“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润不低于元，且让消费者获得最大的利益，求此时大米的销售单价是多少元？
23.本小题分
如图，在中，为的直径，为的弦，点是的中点，过点作的垂线，交于点，交于点，分别连接，．
与的数量关系是______；
求证：；
若，，求阴影部分图形的面积．
24.本小题分
如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为．
求抛物线的解析式；
在轴上找一点，使最大，求出点的坐标；
在轴上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
若点是以为直径的圆上一动点，当三角形面积最大时，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据主视图是从正面看到的图形判定则可．
本题考查了三视图的知识，根据主视图是从物体的正面看得到的视图是解题关键．
【解答】
解：从正面看，主视图为．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点的横坐标为，
点的横坐标为．
观察函数图象，发现：
当或时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
当时，的取值范围是或．
故选：．
由正、反比例的对称性结合点的横坐标即可得出点的横坐标，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是找出点的横坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数的对称性找出两函数交点的横坐标，再根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标解决不等式是关键．
3.【答案】
【解析】解：在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误；
B.在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误；
C.在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确；
D.在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误．
故选：．
三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等且平行．
本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
4.【答案】
【解析】解：方法：如图，连接，
在中，，
，
，
即，
解得，
在中，，
．
方法：由同角的余角相等可得，
，
．
故选：．
先利用等面积法求出，在中，再利用勾股定理求出，利用正切的定义求出即可．
本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．
5.【答案】
【解析】解：正六边形的外角和为，
每一个外角的度数为，
正六边形的每个内角为．
设这个圆锥底面圆的半径是，
根据题意得，
解得，．
故选：．
首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可．
本题考查了正多边形和圆及圆锥的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．此题难度不大．
6.【答案】
【解析】解：、平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以错误；
B、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，所以错误；
C、三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以错误；
D、从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角是正确的．
故选D．
根据切线的性质、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理进行解答．
本题主要考查了切线的性质、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，综合性较强，难度中等．
7.【答案】
【解析】解：，
对称轴为直线，
点关于直线的对称点为，
关于的一元二次方程的两实数根是，，
故选：．
先求出抛物线的对称轴，再求出点的对称点，即可得出关于的一元二次方程的实数根．
本题考查了抛物线与轴的交点，把关于的一元二次方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为：
故选A．
先利用正弦的定义得到，然后利用计算器求锐角．
本题考查了计算器三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．
先根据等腰三角形的性质推出，进而得到，再在中，根据勾股定理求出的长度，最后根据弧长公式即可得出答案．
【解答】
解：，，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，，
，
的长度
故选：．
10.【答案】
【解析】解：利用抛物线与轴的交点得，
开口方向得，
对称轴为直线，得，
即，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
方程的两个根是，，所以正确；
，
，
时，，
，
，即，所以错误；
当时，，所以错误；
当时，随的增大而增大，所以正确，
综上所述：正确，
故选：．
利用抛物线与轴的交点得，开口方向得，对称轴为直线，得，对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则根据抛物线与轴的交点问题可对进行判断；利用对称轴得到，由于时，，则，把代入可对进行判断；利用抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对进行判断；根据二次函数的性质可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：掌握二次函数的性质是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：，
；
故答案为．
根据分式有意义的条件可进行求解．
本题主要考查函数的自变量及分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：画树状图得：
则共有种等可能的结果，
反比例函数中，图象在二、四象限，
，
有种符合条件的结果，
图象在二、四象限，
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了反比例函数的图象与性质．
13.【答案】或
【解析】解：如图，
的直径长为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
首先利用勾股定理逆定理得，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．
本题主要考查了圆周角定理，勾股定理逆定理等知识，明确一条弦对着两种圆周角是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设直线与两坐标轴分别交于、点，过点作于点，连接，如下图
由直线可知点坐标为，点的坐标为
在中，，
由垂径定理可知
故答案为．
根据直线可知直线与两坐标轴的夹角分别为、，于是可根据勾股定理求出到的距离，再根据垂径定理即可求出的长．
本题考查的是一次函数的性质与垂径定理的运用，将一次函数与几何知识的有机结合是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：当时，，
解得或，
当铅球下降过程中高度达到米时，铅球离开手的水平距离为米，
故答案为：．
求出当时，的值即可得到答案．
本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出当时，的值是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：连接，点是的中点，则是的中位线，
当、、三点共线时，最大，则最大，
而的最大值为，故B的最大值为，
则，
设点，则，
解得：，
，
故答案为．
确定是的中位线，的最大值为，故B的最大值为，则，则，即可求解．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，确定是的中位线是本题解题的关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、立方根的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：过点作，垂足为，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
：：，
，
，
滑竿的长度约为；
过点作，交的延长线于点，
，
，
在中，，
，
拉杆端点到水平滑杆的距离约为．
【解析】过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，然后根据已知：：，求出的长，最后利用线段的和差关系求出的长，即可解答；
过点作，交的延长线于点，利用的结论和已知可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：小美被随机分配到武术这门课程做志愿者工作的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中其中小美和小丽被分配到相同的课外活动课程做志愿者工作的结果有种，
小美和小丽被分配到相同的课外活动课程做志愿者工作的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中其中小美和小丽被分配到相同的课外活动课程做志愿者工作的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：作垂直于轴，垂足为点，
，，
，
，，
，
，
点，
设一次函数解析式为，反比例函数解析式为，
将点和代入，
得，，
一次函数的解析式为．
将点代入，
得，
反比例函数的解析式为，
即一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
将两个函数联立得，
整理得，
解得，，
，，
点，
，
即的面积为；
存在，
以为对角线时，
，，，
将点向右平移个单位，向上平移个单位得到点的坐标，
即，
以为对角线时，
，，，
将点向右平移个单位，向上平移个单位得到点的坐标，
即，
以为对角线时，
，，，
将点向左平移个单位，向下平移个单位得到点的坐标，
即，
综上所述，点的坐标为，，．
【解析】作垂直于轴，垂足为点，求出点的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
联立两函数的解析式得出点的坐标，然后根据得出的面积即可；
分为对角线，为对角线，为对角线三种情况求出点的坐标即可．
本题主要考查反比例函数和一次函数的知识，熟练掌握反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．
21.【答案】证明：连接，作于点．
与相切于点，
．
点在的平分线上，，，
．
直线与相切；
解：设交于，连接．
，，
，．
与相切于点，
．
又，
∽，
：：：：．
是直径，
．
设，则．
则，
解得．
则．
【解析】此题考查了切线的判定、相似三角形的性质．注意：当不知道直线与圆是否有公共点而要证明直线是圆的切线时，可通过证明圆心到直线的距离等于圆的半径，来解决问题．
连接，作于点．证明即可．根据角的平分线性质易证；
设交于，连接根据勾股定理得，则证明∽，得：：：根据勾股定理求解．
22.【答案】解：由题意可得：
，
与的函数关系式为；
由题意，得：
，
，抛物线开口向下，
当时，最大，最大值，
答：当销售单价为元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是元；
根据题意得：，
解得，，
为了让消费者获得最大的利益，
，
答：此时大米的销售单价是元．
【解析】根据销售单价每降元，则分钟可多销售袋，写出与的函数关系式；
根据“东方甄选”每分钟获得的利润元等于每袋的利润乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
根据“东方甄选”每分钟获得的利润元等于每袋的利润乘以销售量以及保证捐款后每分钟利润不低于元，列出方程，求出方程的解，再根据让消费者获得最大的利益，进行取值即可．
本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：结论：．
理由：为的直径，点是的中点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：；
证明：连接，
是的直径，是的中点，
，
，
，垂足为点，
，
，
点是的中点，
，
，
，
；
解：连接，，，
，垂足为点，
，
，由得，
，
又，
，
在中，，，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
又，
，
≌，
又，，
．
证得是等腰直角三角形即可得到结论；
根据点是的中点，得出，由，证得，得到，根据题意得到，进一步得到；
先解直角三角形得到，从而得到，证得是等边三角形，则，然后证得≌，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
本题考查了扇形的面积，全等三角形的判定化为性质，圆周角定理，解直角三角形以及等边三角形的判定和性质，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．
24.【答案】解：令时，则，
，
将，的坐标代入，得：
，
解得，
二次函数解析式；
在轴上存在点，使得为直角三角形；理由如下：
当点在轴上时，，要使最大，则．
此时、、三点共线，即在点时，最大；
直线交轴与点，令，则，即，
；
联立一次函数与二次函数解析式得：
，
解得：或，
，
设符合条件的点存在，令：
当为直角顶点时，如图：过作轴于；
，，
，
，
∽，
，
即，
整理得，
解得或；
所求的点的坐标为或，
若点为直角顶点，则有．
即有．
解得，点的坐标为．
若点为直角顶点，则有，
即有，
解得，点的坐标为．
综上所述，满足条件的点有四个，分别是或或或；
联立一次函数与二次函数解析式得：
，
解得：或，
，
设以为直径的圆的圆心为点，
，
点，即，
由二次函数可知对称轴为，
，，
，，
要使的面积最大，则需满足点到的距离最大，即到轴的距离，
根据圆内的所有线段中，直径最大，因此点与圆心、点三点共线，如图所示：
连接，，根据两点距离公式可得，
为圆的直径，
，
，
，
．
【解析】根据直线的解析式，可求得点的坐标，由于、都在抛物线上，那么它们都满足该抛物线的解析式，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
根据三角不等关系可得，然后问题可求解；
由题意可设，然后可分当为直角顶点时，点为直角顶点，点为直角顶点时，进而分类求解即可；
根据题意易得，二次函数的对称轴为直线，则有圆心，，要使的面积最大，则需满足点到的距离最大，即到轴的距离，所以根据圆内的所有线段中，直径最大，因此点与圆心、点三点共线，连接，，然后根据圆的基本性质及两点距离可进行求解．
本题主要考查二次函数的综合、圆的基本性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握二次函数的综合、圆的基本性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
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