2023-2024学年湖北省随州市曾都六校高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省随州市曾都六校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.椭圆与椭圆的( )
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等
3.已知直线：，直线：相互平行，则的值为( )
A. 或 B. C. D.
4.一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是( )
A. B. C. D.
5.在正四面体中，棱长为，且是棱中点，则异面直线与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知、为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，且，的延长线与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的顶点都在球的表面上，球的表面积为，在中，，，则当三棱锥的体积最大时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率是
B. 采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为人，则
C. 数据，，，，，，，，，的第百分位数是
D. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
10.已知事件，满足，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 如果，那么
C. 如果与互斥，那么
D. 如果与相互独立，那么
11.已知圆：，点是直线：上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有( )
A. 圆上恰有两个点到直线的距离为
B. 切线长的最小值为
C. 当最小时，直线方程为
D. 直线恒过定点
12.如图，棱长为的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则( )
A. 直线，为异面直线
B. 直线与平面所成角的正切值为
C. 过点，，的平面截正方体的截面面积为
D. 三棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.将一颗质地均匀的正方体骰子每个面上分别写有数字，，，，，先后抛掷次，观察向上的点数，则点数之和是的概率是______．
14.在正四棱台中，，，，则该棱台的体积______ ．
15.原点到直线的距离的最大值为______ ．
16.已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，且，，则的方程为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆心为的圆经过，，这三个点．
求圆的标准方程；
直线过点，若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥，四边形正方形，平面．，，点是的中点．
求证：平面；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，为的中点，且所在的直线方程为．
求顶点，的坐标；
求过点且在轴、轴上的截距相等的直线的方程．
20.本小题分
第届亚运会已于年月日至月日在我国杭州举行为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
求这人中至多有人通过初赛的概率；
求这人都参加市知识竞赛的概率；
某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元求三人奖金总额为元的概率．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且．
证明：平面；
线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在请说明理由．
22.本小题分
已知椭圆：离心率，且经点．
求椭圆的标准方程；
过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，且，设直线，，的斜率分别为，，，若，证明为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设直线的倾斜角为，
因为直线经过，两点，
所以直线的斜率为，
则有，
又，所以．
故选：．
先由直线斜率公式求出直线的斜率，再根据倾斜角的范围以及倾斜角的正切值等于斜率，可求得倾斜角的值．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：椭圆的长轴长为，短轴长为，
离心率为，焦距为，
椭圆的长轴长为，短轴长为，
离心率为，焦距为；
故两个椭圆的焦距相等．
故选：．
分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率和焦距即可判断．
本题主要考查了椭圆的几何性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：直线：，直线：相互平行，
显然，故，解得．
故选：．
根据两直线平行的条件求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：点关于平面的对称点，
一束光线自点发出，
被平面反射后到达点被吸收，
则光线所走的路程是．
故选：．
求出关于平面的对称点的坐标，然后可得光线所走的路程．
本题考查点关于平面对称点的求法，两点的距离公式的应用，考查计算能力．
5.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，连接，，
因为是棱中点，
所以，故或其补角为异面直线与夹角，
又正四面体棱长为，故，
，
故异面直线与夹角的余弦值为．
故选：．
作出图形，取的中点，连接，，则，所以或其补角为异面直线与夹角，根据余弦定理求解即可．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：设圆心到原点的距离为，
则．
故选：．
求出点到原点的距离再加半径即可求出圆心到原点的距离的最大值．
本题主要考查两点间的距离公式，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设，由题意，
则，又，
，
，，
，，
所以，，又，
所以，
，即．
故选：．
在直角三角形中结合椭圆的定义把边长用表示，再利用勾股定理得出关于，的齐次式，从而求得离心率．
本题主要考查了椭圆的性质，考查了学生的计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，设是的外心，则为的中点，且，
由球的表面积为，即，解得，所以，
当，，三点共线，且垂直于面，且和在平面的同侧时，三棱锥的体积最大，
，．
故选：．
设是的外心，即可得到，再根据球的表面积求出球的半径，即可得，当，，三点共线垂直于面且和在平面的同侧时，三棱锥的体积最大，再由勾股定理计算可得．
本题考查三棱锥的体积的最值问题，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：个体被抽到的概率，故A正确；
对于：由题意可得，，解得，故B正确；
对于：，第百分位数第、两数的平均数，即，故C错误；
对于：由题意可得，解得，
这组数据的方差，故D正确．
故选：．
根据简单随机抽样的定义判断，利用分层抽样计算规则判断，按照百分位数计算规则判断，根据平均数、方差计算公式判断．
本题考查分层抽样的应用，考查百分位数，平均数，方差的计算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项：当与相互独立时，，选项错误；
选项：若，则，选项正确；
选项：与互斥，那么，选项正确；
选项：如果与相互独立，那么，选项正确．
故选：．
根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项．
本题考查相互独立事件的应用，考查互斥事件的概率公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由圆：，得圆心，半径圆，
选项：点到直线的距离为，又，即，
所以圆上恰有两个点到直线的距离为，选项正确；
选项：切线长，
所以当取最小值时，切线长最小，，所以，选项错误；
选项：由已知，
所以，
所以当取最小值时最小，此时，
所以，直线方程为，即，
联立，解得，故，则，
所以：，即，选项正确；
选项：由切线的性质可知，在以为直径的圆上，设，
则以为直径的圆的圆心为，半径为，
圆的方程为，即，
又，在圆上，两圆方程相减可得方程为：，
则，解得，
所以恒过定点，选项错误．
故选：．
根据圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，可判断选项，根据切线长的几何意义可判断选项，再根据两圆公共弦方程求法可判断选项．
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想与方程思想，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：选项A，连接，，，因为，分别是，中点，则，又，
所以，所以，，，四点共面，从而直线，为共面直线，A错误；
选项B，连接，由平面知，直线与平面所成角是，
，，B正确；
选项C，延长交的延长于，连接，，，正方体中易证，
因为，是中点，是中点，所以，
从而，，所以是平行四边形，，
所以直线是平面与平面的交线，
因此过点，，的平面截正方体的截面与侧面只有一个公共点，四边形即为截面，
由已知它是一个等腰梯形，腰，，，
因此其面积为，C正确．
选项D，在正方形中，取中点，过作的平行线交于，
而是的垂直平分线，因此是的外心，易得是的四等分点，
由于正方体中侧面，因此作交侧面于，
则且侧面即平面，
所以的中点是三棱锥外接球的球心，
，
所以外接球表面积为，D正确．
故选：．
通过证明判断；证明直线与平面所成角是，并计算其正切值判断；作出过点，，的平面截正方体的截面求出其面积判断；作出三棱锥外接球的球心，求出半径得表面积判断．
本题考查了三棱锥的外接球，直线与平面所成的角，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：将一枚骰子先后抛掷次，观察向上的点数，
基本事件总数，
“点数之和等于”包含的基本事件有：
，，，，，共个，
“点数之和等于”的概率为．
故答案为：．
先求出基本事件总数，再由列举法求出“点数之和等于”包含的基本事件的个数，由此能求出“点数之和等于”的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
14.【答案】
【解析】解：如图，设底面正方形的中心分别为，，连接，，，
则由为正四棱台可知四边形为等腰梯形，
且，，
所以，
所以四棱台的体积．
故答案为：．
根据正四棱台可确定为等腰梯形，进而可得台体的高和体积．
本题考查正四棱台的体积的求解，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：变形为，
令，解得，
即直线恒过定点，
当与直线垂直时，距离最大，
故最大距离为．
故答案为：．
先求出直线过的定点，当与直线垂直时，距离最大，求出即可．
本题考查直线系方程的应用，考查化归与转化思想，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，，线段的中点为，
由，相减可得，
则，
设直线的方程为，
，
，，
，解得，
，
，化为，
，，得，
的方程为，即．
故答案为：．
设，，线段的中点为，利用点差法可得，设直线的方程为，，，得到，，的坐标，可得，进而可得，再利用求出，则可得到的方程．
本题主要考查直线与椭圆的综合，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：设圆的标准方程为，
因为过，，，
所以，解得，
所以圆的标准方程为．
当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意，
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
因为直线被圆截得的弦长为，所以，
即，解得，
直线的方程为，
故直线方程为或．
【解析】设出圆的标准方程，根据过点列出方程组求解即可；
直线斜率不存在讨论，直线斜率存在，设方程，根据圆心到的距离，被圆截得的弦长列方程组即可．
本题主要考查直线和圆的位置关系的判断与应用，点到直线的距离的求法，是中档题．
18.【答案】证明：连接交于点，连接，
底面为正方形，为中点，
点是的中点，，
平面，平面，
平面．
解：因为平面，平面，所以，又四边形为正方形，
所以，又，，平面，
所以平面，平面，所以，
又点是的中点，，，所以，，
，，
所以，
设点到平面的距离为，则，即，
即，解得，
即点到平面的距离为．
【解析】连接交于点，连接，即可得到，从而得证；
依题意可证平面，即可求出、，再根据利用等体积法求出点到面的距离．
本题主要考查线面平行的证明，点面距离的计算等知识，属于中等题．
19.【答案】解：边上的高所在的直线方程为，
则可设直线：，过点，
则，解得，
所以：，
又直线：，
联立方程组，解得，
即，
设，则点在边上的高线上，
所以，
且，
所以，
联立，解得，
所以；
由得，
当直线过坐标原点时，设，
则，解得，
所以直线；
当直线不过坐标原点时，设，
则，解得，
所以，即，
综上所述直线的方程为或，
【解析】根据高线方程可得直线斜率与方程，结合直线方程可得，设点，则满足，根据中点公式可得在直线上，解方程可得；
由确定，分情况讨论当直线过坐标原点时，直接可得方程，当直线不过坐标原点时，利用截距式可得方程．
本题考查了点斜式方程、截距式方程、斜率计算公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可得：人全通过初赛的概率为，
所以这人中至多有人通过初赛的概率为；
甲参加市知识竞赛的概率为，
乙参加市知识竞赛的概率为，
丙参加市知识竞赛的概率为，
所以这人都参加市知识竞赛的概率为；
由题意可得：要使得奖金之和为元，则只有两人参加决赛，
记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为元”为事件，
则．
【解析】计算出人都没有通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
计算出人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件概率公式可求得所求事件的概率；
计算出人中有两人通过初赛的概率，再利用概率加法公式可求得所求事件的概率．
本题考查独立事件的概率计算，属于中档题．
21.【答案】证明：连接，与的交点记为点，因为，
所以，，
所以≌，所以，
因为，
所以，
所以，即，
又因为，且，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为在中，，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面；
解：存在，点为线段的中点．理由如下：
如图，以为原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，即，
则，，
设平面的法向量，由，
取，则，
易知，平面的一个法向量为，
因为二面角的余弦值为，
即，
整理可得，解得舍去或．
故线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时点为线段的中点．
【解析】由题意，≌，得到，进而证明平面，即可得到，即可证明平面；
以为原点建立空间直角坐标系，，求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即可．
本题考查线面垂直的证明和平面与平面所成角，属于中档题．
22.【答案】解：因为椭圆：离心率，且经点，
所以，
又，
联立，解得，，
则椭圆的标准方程为；
证明：易知直线的斜率一定存在，
由知，椭圆的右焦点的坐标为，
不妨设直线方程为，，，，
此时，
联立，消去并整理得，
此时恒成立，
由韦达定理得，
此时，，
所以，
故为定值．

【解析】由题意，根据题目所给信息结合离心率公式和，，之间的关系，解方程求出，，即可得出答案；
设，，直线方程为：，将直线方程与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理，可得，的表达式，由此表示出，再代入化简即可得出答案．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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