2023-2024学年山西重点大学附中高一（上）诊断数学试卷（12月份）（含解析）

2023-2024学年山西重点大学附中高一（上）诊断数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.与函数表示同一个函数的是( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域是( )
A. B.
C. 且 D. 且
4.，，这三个数之间的大小顺序是( )
A. B.
C. D.
5.函数的零点所在的一个区间( )
A. B. C. D.
6.函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
7.某食品加工厂年获利万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从年开始每年比上一年获利增加，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过万元( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
8.已知函数满足，当时，且，若当时，有解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. B. 的次方根是
C. D.
10.已知关于的方程，则( )
A. 当时，方程有两个不相等的实数根
B. 方程无实数根的一个充分条件是
C. 方程有两个不相等的负根的充要条件是
D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是
11.已知，为正实数，满足，则下列判断中正确的是( )
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 函数的最小值为 D. 有最大值
12.已知函数，若方程恰有个不相等的实数根，则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.计算 ______ ．
14.函数的单调递增区间是______ ．
15.已知是定义在上的奇函数，，若，，且时，恒成立，则不等式的解集是______ ．
16.已知函数，若函数存在四个不同的零点，，，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
若的定义域为，求的取值范围．
18.本小题分
已知定义域为的函数，且是奇函数．
求实数的值；
判断的单调性不用说明理由；
若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的值域；
设的最小值为，求的解析式．
20.本小题分
已知函数，函数是的反函数．
若的值域为，求实数的取值范围；
是否存在实数，便得函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，，
所以．
故选：．
由题意，解一元二次不等式以及指数不等式化简所给集合，结合交集的概念即可求解．
本题主要考查一元二次不等式、指数不等式的解法，交集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查同一函数的判断，结合函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键．
分别判断函数的定义域是否是，以及对应法则是否和相同即可．
【解答】
解：函数的定义域为，与的定义域不相同，不是同一函数．
B.，函数的定义域为，与的定义域不相同，不是同一函数．
C.，两个函数的定义域相同，表达式相同是同一函数．
D.，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：定义域满足，
解得且．
故选：．
根据函数定义域得到不等式，解得答案．
本题考查了求函数的定义域问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
故选：．
确定，，这些数值与、的大小即可．
本题主要考查指数、对数综合比较大小的问题，这里注意与特殊值、这些特殊值的比较．
5.【答案】
【解析】解：函数是增函数，
，，
可得．
由零点判定定理可知：函数的零点所在的一个区间．
故选：．
判断函数的单调性，利用与函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．
本题考查零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．
6.【答案】
【解析】解：函数，因为，函数是偶函数，排除；时，，
排除选项A，，
故选：．
利用函数的奇偶性，结合特殊值对应点的位置，判断选项的正误即可．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数经过的特殊点，是判断函数的图象的常用方法，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：设第年获利元，则，是正整数，年是第一年，
故，解得，
故，即从年开始这家加工厂年获利超过万元．
故选：．
根据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可．
本题考查函数在实际问题中的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：取，且即，
因为，
所以，
又当时，有，
所以当时，有，
所以在上单调递增；
而，
又，
所以，
又在上单调递增，
所以，
所以当时，有解，即有解；
令，则，设，
则在上单调递减，
当，即时，，所以．
故选：．
首先根据已知条件导出在上单调递增，再利用已知条件将不等式转化为，根据单调性可知当时，有解，从而根据不等式能成立来求解的取值范围即可．
本题考查抽象函数及其应用，明确解抽象函数不等式一定要联想到函数单调性是关键，考查运算求解能力，属于中档题．．
9.【答案】
【解析】解：负数的次方根是一个负数，，故A错误；
的次方根有两个，为，故B正确；
，故C错误；
是非负数，所以，故D正确．
故选：．
利用根式的定义即可求解．
本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项：当时，，此时，
此时方程没有实数根，故A选项错误；
对于选项：方程无实数根的充要条件是，即，
所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，显然符合，故B选项正确；
对于选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是，
解得：，故C选项正确；
对于选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是，
解得：，故D选项错误．
故选：．
对于选项：利用一元二次方程的判别式即可判断；对于选项：利用一元二次方程无实数根的条件和充分条件的性质即可判断；对于，选项：利用判别式以及韦达定理即可判断；
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，为正实数，满足，
则，当且仅当时取等号，A正确；
因为，则，当且仅当时取等号，即的最大值为，B错误；
由题意得，
令，则，
在上单调递减，没有最小值，C错误；
因为，
所以，
当且仅当且，即，时取等号，
又，D正确．
故选：．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：函数的大致图像如图所示：
令，则方程，即，
方程恰有个不相等的实数根，
即在上有两个不相等的实数根，
则，解得．
故选：．
画出函数的大致图像，把问题转化为在上有两个不相等的实数根，结合二次函数的性质即可求解结论．
本题主要考查函数性质的应用，考查数形结合思想和计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
利用分数指数幂和对数运算法则计算即可．
本题主要考查分数指数幂和对数运算法则，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数的定义域，即或，
令，
则在上单调递增，
要求函数的单调递增区间，由复合函数单调性判断方法“同增异减”，
可知只需求单调递增区间，即，
因此函数的单调递增区间是．
故答案为：．
先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性判断方法“同增异减”，求出函数的单调递增区间．
本题考查了求复合函数的单调区间，也考查了对数函数的性质、二次函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设，因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以为偶函数，
又，，且时，恒成立，
所以在上为减函数，
又 ，可得，所以，得，
在为增函数，由，得，
又，可化为，即，所以，或，
即，或．
故答案为：．
先根据可得的单调性，然后结合单调性可解不等式．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：作出的函数图象如图所示：
由图象可知当时，方程有个解，
设的个零点从小到大为，
由函数图象可知，
即，
，
所以，，
由函数图象的对称性可知，
，，
根据对勾函数单调性，时，递减，
所以的取值范围为
故答案为：
作出的函数图象，根据图象得出和各零点的范围，然后根据函数图象可求出的范围和的值，即可求出答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题．
17.【答案】解：当时，，由不等式，
即，可得，解得或，
所以不等式的解集为．
的定义域为，即对恒成立，
当时，上式恒成立；
当时，有，解得，
综上，的取值范围为．
【解析】由对数函数的性质有，解一元二次不等式求解集；
问题化为对恒成立，讨论、求参数范围．
本题考查了对数函数的性质，对数不等式的解法，是中档题．
18.【答案】解：是定义在上的奇函数，，且，
，
，即；
由问：，易知在上单调递减．
是定义在奇函数，且，
，
在上单调递减，且，
，对任意的恒成立，
，对任意的恒成立，
令，则易判断在单调递增，
，
要使，对任意的恒成立，只需，
故实数的取值范围．
【解析】利用是定义在上的奇函数，计算化简，进而求出实数的值；
对进行常数分离，即可判断；
先用函数的奇函数性质，再用减函数性质变形，然后分离参数，最后构造函数求最小值．
本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，运用常变量分离法、换元法、基本不等式是解题的关键，属于中档题．
19.【答案】解：当时，，
令，因为在上单调递增，所以，
则在单调递减，单调递增，
当时，；当或时，．
所以的值域为．
结合题意：，
令，则，
则，，对称轴为，
当时，即，此时在单调递增，
所以时，；
当时，即，在单调递减，在单调递增，
所以时，；
当时，即，此时在单调递减，
所以时，；
的解析式为：．
【解析】换元后结合二次函数的性质即可求解值域；
转化为二次函数，借助二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论即可．
本题主要考查函数最值的求法，值域的求法，函数解析式的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意函数是的反函数，所以，解得，
由题意若的值域为，
则当且仅当的值域包含，
当时，的值域包含，满足题意，
当时，当且仅当时，的值域包含，
解得，满足题意；
综上所述实数的取值范围为．
由题意，
由复合函数单调性可知，单调递增，
由题意，，，
即问题等价转换为了函数方程在上存在两个不同的解，
即方程有两个不同的解，
而当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以当且仅当时，，
又当时，，当时，，
所以当且仅当时，方程有两个不同的解，
即函数方程在上存在两个不同的解，
所以解得，即满足题意的实数的取值范围为．
【解析】首先由反函数定义求出，进一步根据的值域为，可知的值域包含，对分类讨论即可．
首先将函数表达式化简，然后得出其单调性，故原题等价于是否存在实数，使得函数方程在上存在两个不同的解，即求方程有两个不同的解时，实数的取值范围，根据对勾函数的性质即可得解．
本题考查的知识要点：函数的性质，反函数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
第1页，共1页