2023-2024学年甘肃省金昌市永昌重点中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年甘肃省金昌市永昌重点中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，在直线上，则直线的倾斜角的大小为( )
A. B. C. D.
2.椭圆的焦点坐标是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知数列满足，若，则( )
A. B. C. D.
4.若圆的半径为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知点，分别是直线：与直线：上的点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知圆经过点，，且圆心在直线上，若为圆上的动点，则线段为坐标原点长度的最大值为( )
A. B. C. D.
7.定义表示不超过的最大整数，例如：，，若，数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
8.已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆：的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是( )
A. B. C. D.
10.已知直线与直线：平行，且与间的距离为，则的方程可以是( )
A. B. C. D.
11.已知数列的前项和为，若，，则( )
A. 是数列中的项 B. 当最大时，的值只能取
C. 数列是等差数列 D. 当时，的最大值为
12.已知圆，圆，则下列说法正确的是( )
A. 若点在圆的内部，则
B. 若，则圆，的公共弦所在的直线方程是
C. 若圆，外切，则
D. 过点作圆的切线，则的方程是或
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.椭圆的四个顶点围成的四边形的周长等于______．
14.若直线与直线垂直，则实数 ______ ．
15.在公比为的等比数列中，为其前项和，，，且，则 ______ ．
16.年暑期档动画电影长安三万里重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分唐代诗人李颀的边塞诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营“将军饮马”的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知三条直线：，：和：．
若，求实数的值；
若三条直线相交于一点，求实数的值．
18.本小题分
已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且，，．
求数列与数列的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
已知在椭圆上，，分别为的左、右焦点．
求，的值及的离心率；
若动点，均在上，且，在轴的两侧，求四边形的周长及四边形的面积的取值范围．
20.本小题分
已知，，，圆是的外接圆．
求圆的方程；
若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
21.本小题分
已知数列的前项和为，且，
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，证明：．
22.本小题分
已知点，，的方程为，点是上的动点．
求面积的取值范围；
是否存在点，使得？若存在，求出满足条件的点的个数；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以．
故选：．
利用倾斜角和斜率之间的关系计算即可求得倾斜角的大小为．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意得，，
所以，即，
又因为椭圆焦点在轴上，
所以焦点为，，
故选：．
由椭圆的性质求解．
本题主要考查了椭圆性质的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为数列满足，
所以，
以此类推可得数列是以为周期的周期数列，
所以．
故选：．
由已知条件可得数列是以为周期的周期数列，然后求解即可．
本题考查了数列的周期性，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，得，
所以，解得．
故选：．
由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为得出答案．
本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知直线，所以当，且时，有最小值，
其最小值为平行直线 与的距离，
直线的方程可化为：，
所以 ．
故选：．
由两平行直线间的距离定义和公式可求．
本题主要考查两平行线间的距离计算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：点，，线段中点的坐标为，
所以线段的中垂线的斜率为，
所以线段的中垂线的方程为，
又圆心在直线上，所以解得，
所以圆心为．
故选：．
求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解半径，然后求解线段的最大值．
本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
所以当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
所以，
．
故选：．
由的定义，推得当，时，，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列的求和公式，以及的含义，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，，，，
则根据题意可得：，
，又，
，，，
又，当且仅当时，等号成立，
．
故选：．
根据椭圆的几何性质，向量数量积的定义，三角形面积公式，基本不等式，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，向量数量积的定义，三角形面积公式，基本不等式，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：由椭圆方程，
可知，，则，
，即．
结合选项可知，的值可能是，，．
故选：．
由椭圆方程求得与的值，进一步得到，求出的范围，结合选项得答案．
本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆定义的应用，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意，设直线的方程为，
直线：，即，
由题意可得，解得或，
故直线的方程为或．
故选：．
由题意，设直线的方程为，利用两条平行直线的距离公式求解即可．
本题考查两直线平行的性质，考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
则，
令，得，
所以，故A正确；
由等差数列的公差为，可得为递减数列，
当时，，且，当时，，
可得，即当最大时，的值为或，故B错误；
因为，
所以，
所以数列是等差数列，故C正确；
令，则，解得，
所以当时，的最大值为，
故D正确．
故选：．
由等差数列的定义和通项公式、求和公式，解方程和不等式，对各个选项判断可得结论．
本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的前项和的最值，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由点在圆的内部，得，解得，故A错误；
对于，若，则圆，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确；
对于，圆的标准方程为，圆心为，半径，
圆的标准方程为，圆心为，半径，
若圆，外切，则，即，解得，故C正确；
对于，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求，
当的斜率存在时，设的方程为，
圆心到的距离，解得，
所以的方程是，故D正确．
故选：．
根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确，综合可得答案．
本题考查圆方程的综合应用，涉及圆的标准方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：椭圆的四个顶点为，，
顺次连接椭圆的四个顶点，得到的四边形周长为．
故答案为：．
确定椭圆的四个顶点，根据对称性，利用勾股定理，即可求出四边形周长．
本题考查椭圆的性质，正确运用椭圆的对称性是关键．
14.【答案】
【解析】解：因为直线与直线垂直，
所以，解得．
故答案为：．
根据两直线垂直列方程，解方程即可．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，可得，结合，，解得，，
因为，所以，即，解得．
故答案为：．
根据题意，利用等比数列的性质，解关于、的方程组，得到，，进而利用等比数列的前项和公式，列式算出公比的值．
本题主要考查等比数列的性质、等比数列的前项和公式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题可知，在的同侧，
设点关于直线的对称点为，
则，
解得，，即，
将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，
所以直线的方程为，
设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点，
联立，解得，，即．
故答案为：．
由题可知，在的同侧，设点关于直线的对称点为，然后结合对称性可求．
本题主要考查了点关于直线的对称性的应用，属于中档题．
17.【答案】解：因为：，：且．
所以，解得；
经检验，当时，；
由，解得，即与的交点为，
因为三条直线相交于一点，
所以点在上，
所以，解得．
【解析】由两条直线平行的条件求解即可；
先由两条确定的直线求出交点坐标，然后代入直线求解即可．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
18.【答案】解：设数列的公比为，数列的公差为，
因为，，
所以，即，解得或，
因为数列是单调递增的等比数列，且，
所以，所以，
所以，．
由知，，
所以数列的前项和为，
数列的前项和为，
所以数列的前项和．
【解析】设数列的公比为，数列的公差为，结合已知条件与等差、等比数列的通项公式，可得关于和的方程组，解之即可；
采用分组求和法，利用等差、等比数列的求和公式，求解即可．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与求和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：在椭圆上，
，解得，
，椭圆的离心率．
动点，均在上，且，在轴的两侧，
由椭圆的定义，得四边形的周长为，
四边形的面积为
四边形的面积的取值范围是．
【解析】将点、的坐标都代入椭圆的方程，可得出关于、的方程组，求出，的值，再求出椭圆的离心率即可；
根据椭圆的定义，可求得四边形的周长，求出的取值范围，结合三角形的面积公式可求得四边形的面积的取值范围．
本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
20.【答案】解：设圆的一般方程为，因为圆过，，三点，
所以，解得，
所以圆的一般式方程为．
由可知圆心为，半径，
又被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，过点，
所以的方程为，圆心到直线的距离，故满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由点到直线的距离公式可得，解得，直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或．
【解析】设圆的一般方程为，代入点的坐标可得圆的一般式方程为．
由垂径定理可得圆心到直线的距离，分直线的斜率是否存在两种情况讨论可求直线的方程．
本题考查求圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
21.【答案】解：当时，，即，又，所以．
当时，，
又，两式相减，
得，
即，
即，
得，
又，，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以．
证明：因为，所以，
所以，
所以
，
因为，所以．
【解析】由数列的通项与前项和的关系，结合等差数列的定义、通项公式，可得所求；
由等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，计算可得所求和，再由不等式的性质可得证明．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：由的方程为，可得的标准方程为，
所以圆心，的半径，
因为，，
所以，可得直线的方程为，即．
所以圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离，
所以点到直线的距离．
所以，
所以面积的取值范围是．
不妨设点的坐标为，因为，
所以，
整理，得，
即点的轨迹是以点为圆心，半径的圆．
因为，
所以，所以圆与圆相交．
所以在圆上存在点使得，且满足条件的点有个．
【解析】求得的圆心的坐标与半径，进而可求到直线的距离，可得到的距离的范围，进而可求面积的取值范围；
求得的轨迹方程，求得两圆心之间的距离，可得两圆相交，进而可得结论．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
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