2022-2023学年苏州市高一（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年苏州市高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是( )
A. B. C. D.
2.由英文单词“”中的字母构成的集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
3.已知，那么“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.若为第二象限角，则一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.已知为角终边上一点，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值是( )
A. B. C. D.
8.设函数的定义域为，满足，且当时，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
9.在中，，，是其三个内角，下列关系成立的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则( )
A. 是偶函数 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上有四个零点 D. 的值域为
12.已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. 且
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的周长为______ ．
14.写出一个非常数函数同时满足条件：，则 ______ ．
15.已知函数，当时，则实数，之间的大小关系是______ ；若，且，则的取值范围是______ ．
16.已知函数的值域为，侧实数的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，求的值；
已知，求的值；
计算：．
18.本小题分
已知函数．
求的最小正周期及取得最大值时自变量的集合；
记集合，集合，求．
19.本小题分
已知为奇函数．
求的值及的最大值；
若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度单位：可由公式是自然对数的底数求得，其中是一个随着物体与空气接触状况而定的正常数现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是．
求的值；
若要将物体冷却到，求需要冷却的时间：再经多长时间，可以冷却至精确到？
参考数据：，，
21.本小题分
已知函数．
判断函数的单调性，并证明；
若，记，求证：有且只有一个零点．
22.本小题分
已知函数．
当时，求函数的最值；
求函数的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
利用诱导公式把要求的式子化为，从而求得结果．
本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．
【解答】
解：，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由英文单词“”中的字母构成的集合为，集合中含有个元素，
所以该集合的子集为个．
故选：．
首先写出该集合，即可判断集合的元素个数，根据含有个元素的集合的子集个数为个计算可得．
本题主要考查子集个数的求解，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：取，满足，但，推不出，
当时，则，则必有成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断出答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于：为偶函数，但是函数在上不具有单调性，故A错误；
对于：定义域为，函数为非奇非偶函数，故B错误；
对于：定义域为，为非奇非偶函数，故C错误；
对于：，且，故为偶函数，
当，函数单调递增，符合题意，故D正确；
故选：．
根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由为第二象限角，可得，，，
故选：．
由题意，可得可得，，由此利用二倍角公式，可得结论．
本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，二倍角公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，所以，
所以，
所以．
故选：．
根据特殊角的三角函数值得到点坐标，由三角函数的定义求出，再由诱导公式化简，最后根据同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：令，解得．
所以的单调递增区间为．
又在区间上单调递增，
，
，即，则实数的最大值是．
故选：．
根据的单调区间可求．
本题主要考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：当，，解得无实数解，
当，，则由可得，
令，整理得，
解得，
当，，
则由可得，
因为，所以，所以恒成立，
综上所述，不等式的解集是．
故选：．
分，和进行分类讨论，即可求解．
本题主要考查了分段函数的性质，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，，故D错误．
故选：．
结合内角和定理和诱导公式依次讨论各选项，即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：因为，
，
所以，故A错误；
对于：因为在上单调递增且，
所以，故B正确；
对于：在上单调递增，
，所以，故C正确；
对于：因为，，
所以，故D错误．
故选：．
利用诱导公式及特殊角的三角函数值判断，利用幂函数的性质判断，根据正切函数的性质判断，利用指数函数的性质判断．
本题主要考查不等关系的判断，函数性质的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：其定义域为，，即函数是偶函数，故A正确；
对于：时，，，
由正弦函数的单调性可知，在区间上单调递减，故B正确；
对于：时，，，此时，可得或，
因为是偶函数，所以在区间上的零点为，，，故C错误；
对于：当，且，时，，，
当，且，时，，，
又是偶函数，所以函数的值域为，故D正确．
故选：．
由定义判断；由正弦函数的单调性判断；由在上的零点结合奇偶性判断；讨论的值域，结合奇偶性判断．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，方程，因式分解得，
解得，所以，满足，所以选项A正确；
对于选项B，方程，因式分解得，
解得或，所以，不满足，所以选项B错误；
对于选项C，方程，因式分解得，
解得，所以，满足，所以选项C正确；
对于选项D，因为，所以是方程的解，
所以方程变形为，
因为，所以方程无解，
所以方程有唯一解，
所以，满足，所以选项D正确．
故选：．
把三次方程因式分解求根，即可化简集合，然后利用集合关系即可判断．
本题主要考查了集合间的包含关系，考查了元素与集合的关系，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设扇形的半径为，由扇形的面积公式得：，解得，
该扇形的弧长为，故该扇形的周长为．
故答案为：．
由扇形面积公式求出扇形半径，根据扇形弧长公式求出弧长，即可得解．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：因为，，
所以函数周期，函数对称轴为，
故可取函数，
故答案为：答案不唯一．
根据函数所满足的周期性、对称性写出满足条件的函数即可．
本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，
；
画出的图象，如图所示：
由图可知，当时，，
，，
，
，，即，
令，，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
，即．
故答案为：；．
利用对数函数的单调性即可判断；
画出函数图象，整理可得，构造函数，再利用对勾函数的单调性求出的值域即可．
本题主要考查对数函数的性质，考查了对勾函数的单调性，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：对于函数，则，当且仅当时取等号，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，
令，解得或，所以与的两个交点分别为、，
则函数与的图象如下所示：
当时，当时，当时，
显然，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，在时，即，
此时的值域为，符合题意，
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域为，符合题意；
综上可得，即实数的取值范围是
故答案为：
令、，求出函数的最小值及函数的单调性，再求出两函数的交点坐标，最后对分类讨论，分别计算可得．
本题主要考查函数的值域，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，，
所以；
因为，所以，
所以，
所以；
．
【解析】根据指数幂的运算法则计算可得；
将两边平方求出，再平方即可求出的值；
根据对数的运算法、换底公式及对数的运算性质计算可得．
本题主要考查了指数与对数的运算性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：因为，
所以，
当，即时，函数取得最大值，
所以此时自变量的集合为；
因为，所以，
所以，
所以．
因为，所以
由，可得，
所以
所以，
所以．
【解析】根据周期公式计算即可，由，解出自变量的集合即可；
根据，求出函数的值域，即得集合，由正切函数的性质，解出集合，由交集的定义求解即可．
本题主要考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题意得函数定义域为，
为奇函数，
，即，整理得，即，
，则，
，当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为；
为奇函数，
关于的不等式恒成立，转化为，
，，
关于的不等式恒成立，即，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为．
【解析】由题意得函数定义域为，利用奇函数的性质可得，求出，则，表示出，利用基本不等式，即可得出答案；
题意转化为，即，则，转化为关于的不等式恒成立，分类讨论，，即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可知，，，当时，，
于是，
所以．
当时，，
所以，由可知，所以，
所以，
当时，，
所以，所以，所以，
故要将物体冷却到，需要冷却：再经时间，可以冷却至．
【解析】把，，，代入公式即可；
把数据代入公式，结合中的，即可求得结果．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：由，所以，所以的定义域，
判断：在上单调递增．
证明如下：任取，且，
所以，
又，，，，，
所以，所以，即，
所以在上单调递增．
证明：因为在上单调递增；在上单调递减；
当时，；
此时，，所以在上没有零点；
当时，递增，故递增，
则在上单调递增，
又，
所以在上有唯一的零点，
综上，在上有且只有一个零点．
【解析】求出函数定义域，判断单调性，根据函数单调性的定义即可证明结论；
先判断的单调性，当时，推出，可判断无零点；当时，判断的单调性，结合零点存在定理可判断零点情况，综合即可证明结论．
本题主要考查函数单调性的判断与证明，函数零点个数问题的证明，考查逻辑推理能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为，所以当时，，
又因为，所以，
当时，的最小值为；
当时，的最大值为．
因为，
令，，
所以，，
当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当时，
(ⅰ)当时，此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以；
(ⅱ)当时，此时在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
所以；
(ⅲ)当时，此时在上单调递减，在上单调递增，
所以．
综上可得．
【解析】首先得到，再根据平方关系及二次函数的性质计算可得；
根据平方关系得到，令，转化为关于的二次函数其中，对参数分类讨论，分别求出函数的最小值．
本题主要考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
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