2022-2023学年山东省威海市乳山市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省威海市乳山市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二次函数的最小值是( )
A. B. C. D.
2.在中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.如图，该几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知反比例函数
的图象经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，，为的两条切线，点，是切点，交于点，交弦于点下列结论中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
6.不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“”，“”，“”，除数字外三个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为的概率是( )
A. B. C. D.
7.如图，，，为上三点，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.二次函数的图象是抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表：
下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴是直线
C. 抛物线与轴的交点坐标为 D. 当时，随的增大而增大
9.我国航天事业捷报频传，天舟二号于年月日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点处时，在处测得点的仰角为，与两点的距离为千米；它沿铅垂线上升到达处时，此时在处测得点的仰角为，则天舟二号从处到处的距离的长为参考数据：，．( )
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
10.已知抛物线经过点，，若，是该抛物线上的两点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 或
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.如图，河坝迎水坡的坡比为，坝高为，则 ______
12.如图，正方形内接于，点在上，则______度．
13.某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
移植总数
成活数量
成活频率
估计树苗移植成活的概率是 结果保留小数点后一位．
14.如图，在平面直角坐标系中，菱形的面积为，点在轴上，点在反比例函数上的图象上，则的值为______．
15.如图是某几何体的三视图，主视图和左视图都是等边三角形，依据图中信息，可求得该几何体的表面积是______ ．
16.如图，矩形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，点是边上靠近点的三等分点，连接交轴于点，则的面积为______ ．
17.计算：______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
如图是博物馆展出的古代车轮实物．是该车轮的一段圆弧，已知，点是的中点，，，求圆弧即车轮的半径．
19.本小题分
届年级组董老师为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，盘被分成面积相等的个扇形，分别是红、黄、蓝，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．
若小蕊同学转动一次盘，求出她转出红色的概率；
若小津同学同时转动盘和盘，请通过列表或者树状图的方式，求出她赢得游戏的概率．
20.本小题分
济南市响应“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，拟修建一矩形绿地，绿地一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为平方米如图．
求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
求矩形绿地的最大面积．
21.本小题分
在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度如图，在树前的平地上选择一点，测得树的顶端的仰角为，在，间选择一点三点在同一直线上，测得树的顶端的仰角为，间距离为，求这棵树的高度结果保留根号．
22.本小题分
如图，是的半径，点是直径上一点，点在的延长线上，连接，使得．
求证：是的切线；
连接，若，，，求的长．
23.本小题分
如图，直线，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．
求该反比例函数的表达式；
将直线沿轴向上平移个单位后与反比例函数在第一象队内的图象相交于点，与轴交于点，若，求的值．
24.本小题分
如图，直线与轴，轴分别交于点，，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
求该抛物线的解析式及点的坐标；
当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；
连接，点在轴上，是否存在以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
当时，二次函数有最小值，
最小值为：，
故选：．
根据二次函数的性质直接求取即可得到答案．
本题考查二次函数的性质：当时开口向上有最小值，在对称轴处取得最小，当时开口向下，有最大值，在对称轴处取得最大．
2.【答案】
【解析】解：如图，
，，，
在中，，
．
故选：．
已知，，先根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义计算即可．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3.【答案】
【解析】解：从正面看，可得如下图形：
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
故选：．
把点坐标代中即可求出的值．
本题考查了反比例函数上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由切线长定理可得：，，从而，．
因此都正确．
无法得出，可知：是错误的．
综上可知：只有是错误的．
故选：．
利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．
本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．
6.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中两次摸出的小球所标数字之和为的有种结果，
所以两次记录的数字之和为的概率是，
故选：．
利用树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次摸出的小球所标数字之和为的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
7.【答案】
【解析】解：所对的圆周角是，所对的圆心角是，
，
，
，
故选：．
先利用圆周角定理求出的度数，然后再利用等腰三角形的性质求出即可．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
【解答】
解：由表格可知，抛物线与轴交点为，故选项C正确；
抛物线与轴的交点坐标为，，因此该函数的对称轴是直线，故选项B错误；
由上可知，该抛物线开口向上，故选项A错误；
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故选项D错误．
9.【答案】
【解析】解：在中，，千米，，，
千米，千米，
在中，，
千米，
千米，
故选：．
由含角的直角三角形的性质得千米，再由锐角三角函数定义求出、的长，即可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：抛物线经过点，，
，
，
当时，随增大而减小，当，随增大而增大，
，是该抛物线上的两点，且，
根据对称性可得点对称点为，
，
故选：．
根据抛物线经过点，求出对称轴，根据抛物线性质即可得到答案；
本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据与轴的交点求出对称轴结合抛物线增减性求解．
11.【答案】
【解析】解：河坝迎水坡的坡比为，，
，
，
故答案为：．
根据坡比的定义可知，由此可解．
本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握坡比的定义．坡比，即坡面的垂直高度和水平宽度的比，即坡角的正切值．
12.【答案】
【解析】解：连接、，则，
是正方形外接圆的圆心，
，
．
连接、，根据正方形的性质，易得出，根据圆周角定理，可求出．
正确理解圆心角与圆周角的关系是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是，
故答案为：．
根据表格中的数据和概率的含义，可以用树苗移植成活的频率来估计树苗移植成活的概率．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应频率，从而估计概率．
14.【答案】
【解析】解：连接交于，如图，
四边形为菱形，
，，
轴，
，
即，
而，
．
故答案为：．
连接交于，如图，根据菱形的性质得，，再利用反比例函数比例系数的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质确定的值．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．也考查了菱形的性质．
15.【答案】
【解析】解：由三视图可知该几何体是底面直径为，高为的圆锥，
底面半径为，
底面圆周长为，面积为，
高为，
圆锥母线长为，
圆锥侧面积为，
圆锥表面积为，
故答案为：．
先判定该几何体为圆锥，再利用扇形面积公式求出圆锥侧面积，圆的面积公式求出底面面积，相加即可．
本题考查了由常见几何体的三视图判定几何体，根据三视图中数据确定几何体的长宽高等数据，其中会求圆锥的表面积是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设矩形的边长，，
点在反比例函数的图象上，
，
，
点是边上靠近点的三等分点，
，
轴，
∽，
，
，
，
，
．
故答案为：．
设矩形的边长，，即可得到，得到，根据题意得到，通过证得∽，求得，然后根据三角形面积公式即可求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形的面积等，运用相似三角形性质表示出的长是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18.【答案】解：取所在圆的半径，连接，，．
是的中点，，，
，
在中，可得．
即．
解得．
所以圆弧的半径为．
【解析】根据垂径定理求出，再根据勾股定理得到，代入数值计算即可求出半径．
此题考查了垂径定理及勾股定理，在圆中，通常同时利用垂径定理与勾股定理求半径，弦长及弦心距的长度．
19.【答案】解：盘被分成面积相等的个扇形，分别是红、黄、蓝，
小蕊转出红色的概率是；
盘中蓝色扇形区域所占的圆角是，
蓝色区域占整体的，
红色区域占整体的，
盘可看为等分成红、红、蓝个扇形，
根据题意列表如下：
红 红 蓝
红 红，红 红，红 红，蓝
黄 黄，红 黄，红 黄，蓝
蓝 蓝，红 蓝，红 蓝，蓝
由表可知，共有种等可能结果，其中小津同学赢得游戏的有种等可能结果，
则她赢得游戏的概率是．
【解析】根据概率公式直接求解即可；
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果，由表格求得小津同学赢的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：，
，
．
与之间的函数关系式为；
，
当时，有最大值，
矩形空地的面积最大为．
【解析】根据矩形的面积公式列出与之间的函数关系式，并由求出自变量的取值范围即可；
把中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21.【答案】解：如图，作，垂足为，
在中，
，，，
．
，
．
．
是的外角，
，，
．
在中，
，
．
．
在中，，
．
答：这棵树的高度是．
【解析】作，垂足为，根据特殊角三角函数即可求出结果．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
22.【答案】解：连接，
，
．
，
．
是直径，
，
．
．
，
是的切线；
在中，，，，
．
在中，，，，
．
在中，，，，
．
【解析】此题主要考查了切线的判定以及解直角三角形等知识，正确识别图形是解题关键．
连接，根据圆周角定理得到由，得到，根据圆周角定理得到，求得，于是得到结论．
解直角三角形即可得到结论．此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确识别图形是解题关键．
23.【答案】解：点在直线，
，
点，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数的表达式为；
作轴于，轴于．
，
，
，
∽，
，
，
，
，
设的解析式为，
经过点，
．
直线的解析式为，
．
【解析】先确定出点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式；
作轴于，轴于，利用三角形相似求出点坐标，即可根据带等系数法求得平移后的解析式，从而得出结论．
此题主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质，解的关键是求出点的坐标，解的关键是求出点的坐标．
24.【答案】解：将点，代入得：
，
解得：，
，
，
顶点的坐标为：；
在抛物线上取点，连接，，过作轴的垂线，交于点，如图，
设点，则点，
，
，
当时，的面积有最大值，
此时，点的坐标为；
存在；理由如下，
连接，如图，
设，
当时，，
解得，，
，
，，，
，
当时，∽，
，
解得，所以点的坐标为，
当时，∽，
，
解得，所以点的坐标为，
综上所述，点的坐标为，或．
【解析】将点，代入，求出，，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点；
在抛物线上取点，连接，，过作轴的垂线，交于点，设出点，的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案；
根据，，三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类边对应成比例列式解方程即可得到答案．
本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程．
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