广东省佛山市人教版2024年中考数学二轮复习几何背景下的综合探究专题课件（47张ppt）
文档属性
| 名称 | 广东省佛山市人教版2024年中考数学二轮复习几何背景下的综合探究专题课件（47张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-09 13:14:24 | ||
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文档简介
(共47张PPT)
e7d195523061f1c0f0ec610a92cff745ee13794c7b8d98f8E73673273C9E8BE17CC3D63B9B1D6426C348A354AD505654C28F453CD7C8F90EADD06C08281DAED7140E5AAAED5880ECE414DFB6A93B82BE019406867034C3A8500A4827DCF3FBF74A471B736410707E336A01C9ADC9BE02ACCB8DF2121D81636A067B8AE80C6AB6F014154F4E7B7247
广东省佛山市人教版2024中考数学二轮复习模拟训练
几何背景下的综合探究专题
几何背景下的综合探究专题
目 录
2
类型一 点动型探究
3
类型二 线动型探究
4
类型三 形动型探究
1
专题解读
5
课后作业
几何背景下的综合问题，通常是研究图形在运动变化过程中的数量关系、位置关系，探究图形的变化规律.这类问题集代数与几何于一体，蕴含丰富的数学思想，如分类讨论思想、方程和函数思想、转化思想等.该类题型在广东近5年没有直接考查，但它是研究几何和代数综合的必经之路.
专题解读
类型一 点动型探究
1. 如图1，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG = AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A C G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒.
（1）△ACG的形状是 等腰直角三角形 ，其周长是 ，面积是 4 .
等腰直角三角形
4
（2）如图2，连接BM，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
解题通法
动点问题常伴随着分类讨论的思想，随着动点的运动，一些图形的形状会随之发生变化.如何描述变量的变化规律呢？
1. 分类讨论判断等腰三角形存在性的方法：确定顶角，找准两腰.
比如第（2）题中，判断等腰三角形ABM时，通常分为三种情况：
①∠A为顶角时， AM=AB ；
②∠B为顶角时， BM=BA ；
③∠M为顶角时， MA=MB .
（有时等腰三角形不容易确定时，
可以用“两圆一线”的方法作图分析）
AM = AB
BM = BA
MA = MB
由题可知AM = t.
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB = BC = 2，∠ABC = ∠ADC = 90°.
∴AC = = 2，∠BAC = 45°.
∵△ACG是等腰直角三角形，
∴AC = CG = 2.
解：存在，理由如下，
（2）如图2，连接BM，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
根据等腰三角形的顶角不同分三种情况讨论：
①当∠BAM为顶角，即AM = AB时，t = 2；
②当∠ABM为顶角，即BM = BA时，点M与点C重合，则t = AM = AC = 2；
③当∠AMB为顶角，即MA = MB时，点M在AB的垂直平分线上.
（2）如图2，连接BM，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
∴AE = BE，∠AEM2 = 90°.
∵∠ABC = ∠AEM2 = 90°，
∴BC∥EM2.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD.
（2）如图2，连接BM，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
如答图1，作AB的垂直平分线交AC于点M1，交CG于点M2.
∴BC∥EM2∥AG.
∴.
∴AM1 = CM2 = .
∴t = 或3.
综上所述，当t = ，3或 2，2时，△ABM为等腰三角形.
（2）如图2，连接BM，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
（3）如图3，过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值.
解题通法
2. 用函数（或方程）表示图形面积（或线段长）的方法.
第（3）题中，随着点M的运动，矩形AEMF与△ACG
重叠部分是不断变化的.
①定性分析，分别画图确定重叠部分的图形形状.
②明确本题分两种情况：当点M在AC上时，重叠部分为 △AMF ；
当点M在CG上时，重叠部分为 直角梯形AJMF .
△AMF
直角梯形AJMF
③定量刻画，分别研究不同情况下，相关线段长以及图形的面积表示.
④处理细节，比如用自变量的取值范围来界定分类，呈现答案时，冠以“综上所述”字样等.
（3）如图3，过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值.
解：分两种情况，
①当M在AC上，即0 ＜ t ≤ 2时，
重叠部分为△AMF.
∵AM = t，MF⊥AD，∠CAD = 45°，
∴AF = FM = t.
（3）如图3，过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值.
∴S = AF·FM = × t × t = t2.
当t = 2时，
S的最大值 = × （2）2 = 2.
②如答图2，当M在CG上，即2 ＜ t ＜ 4时，重叠部分为四边形AJMF.
CM = t - AC = t - 2，MG = 4 - t.
∵四边形AEMF是矩形，
∴EM∥AF，∠MFA = 90°.
∴∠CJM = ∠CAG = 45°，
∠CMJ = ∠G = 45°.
（3）如图3，过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值.
∴△JCM是等腰直角三角形.
（3）如图3，过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值.
= （4 - t）· = 4 - t.
∵∠G = 45°，
∴△MFG为等腰直角三角形.
∴FG = MG·cos 45°
= 4 - -
= - t2 + 4t - 8 = - + .
∴当t = 时，S的最大值为.
= × 4 × 2 - × CM × CJ - × FM × FG
∴S = S△ACG - S△CMJ - S△FMG
（3）如图3，过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值.
综上所述，
当0 ＜ t ≤ 2时，S = t2，
当2 ＜ t ＜ 4时，S = - t2 + 4t - 8，
S的最大值为.
（3）如图3，过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值.
类型二 线动型探究
2. 如图1，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC于点D，BC = 10 cm，AD = 8 cm，点P从点B出发，在线段BC上以3 cm/s的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线l从底边BC所在直线出发，以2 cm/s的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于点E，F，H.当点P到达点C时，点P与直线l同时停止运动，设运动时间为t s（t ＞ 0）.
（1）如图2，当t = 2时，连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形.
证明：∵EF∥BC，
∴△AEF ∽ △ABC.
∴.
∵AB = AC，∴AE = AF.
∴△AEF是等腰三角形.
∵AD⊥BC，EF∥BC，
∴∠AHF = ∠ADC = 90°.
∴AH⊥EF.∴EH = HF.
（1）如图2，当t = 2时，连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形.
当t = 2时，DH = 4.
∵AD = 8，
∴AH = 4.
∴AH = DH.
又∵EH = FH，
∴四边形AEDF是平行四边形.
又∵AD⊥EF，
∴四边形AEDF为菱形.
（2）当t = 2时，求△PEF的面积.
∵△AEF ∽ △ABC，
∴，即，解得EF = 5.
∵EF∥BC，
∴△PEF的EF边上的高等于DH的长.
∴S△PEF
（cm2）.
解：由（1）得t = 2时，AH = DH = 4.
解题通法
1. 研究动态问题时，有时会沿着“从特殊到一般”的路径展开研究.比如第（1）、第（2）题取特殊位置时，可能会出现特殊图形，且线段、面积等数量关系相对容易确定.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
解题通法
2. 分类讨论判断直角三角形存在性的方法：确定直角，找准三边.判断直角三角形时，通常分为三种情况（请在图析中画图）：
（1）如图析1，当∠PEF = 90°时.
（2）如图析2，当∠EFP = 90°时.
（3）如图析3，当∠PEF = 90°时.
解题通法
作图时可以用“两线一圆”的方法分别画图，然后“化整为零”将问题转化为三个小题研究.通常会用到三角形相似、勾股定理等，与直角三角形有关的相似常常有“A字型”相似和“一线三垂直”相似.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
解：存在.分三种情况讨论，
①如答图1，当∠PEF = 90°时，
∵△ABC是等腰三角形，
AD⊥BC，BC = 10，
∴BD = CD = 5.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
由题意得，四边形PEHD是矩形，BP = 3t，PE = DH = 2t.
∴AD∥PE.
∴△BPE ∽ △BDA.
∴，即.
解得t = 0，不符合题意，舍去.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
②如答图2，当∠EFP = 90°时，
由题意得，四边形DPFH是矩形，
PF = DH = 2t，CP = 10 - 3t.
∴AD∥PF.∴△CFP ∽ △CAD.
∴，即，解得.
当时，△PEF为直角三角形.
③如答图3，当∠EPF = 90°时，
过点E，F分别作BC的垂线，垂足分别为G，M，则∠EGP = ∠PMF = 90°.
∵GE∥AD，∴△BGE ∽△BDA.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
∴，即，解得BG = .
∴GP = BP - BG = .
∵AB = AC，∴∠B = ∠C.
∴BG = CM = .
∴PM = BC - BP - CM = 10 - .
又∵∠BGE = ∠CMF = 90°，EG = FM，
∴△BEG ≌ △CFM（AAS）.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
∵∠FMP = 90°，
∴∠MFP + ∠MPF = 90°.
∵∠EPF = 90°，
∴∠EPG + ∠FPM = 90°.
∴∠MFP = ∠GPE.
又∵∠EGP = ∠PMF = 90°，
∴△EGP ∽△PMF.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
∴，即.
整理得，
解得t = 0（舍去）或.
综上，当或时，
△PEF为直角三角形.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
类型三 形动型探究
3. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AB = 8 cm，正方形DEFG的边长为3 cm，边DE和边AB都在直线l上，点E和点A重合，正方形DEFG以2 cm/s的速度沿直线l向右运动，当点G运动到边AC上时，停止运动.设正方形DEFG的运动时间为t（s），正方形DEFG与△ABC的重叠部分的面积为S（cm2）.
（1）当t = 1 s时，S = 2 cm2.
（2）当点G运动到边AC上时，
t = 3 s.
2
3
（3）求S与t之间的函数解析式.
3. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AB = 8 cm，正方形DEFG的边长为3 cm，边DE和边AB都在直线l上，点E和点A重合，正方形DEFG以2 cm/s的速度沿直线l向右运动，当点G运动到边AC上时，停止运动.设正方形DEFG的运动时间为t（s），正方形DEFG与△ABC的重叠部分的面积为S（cm2）.
1. 形动类的问题与其他动态型问题一样，在问题设计风格上呈现低起高落.如第（1）题，第（2）题以特例开始探究.
2. 研究动态类问题的常见步骤：化动为静—化整为零—分类讨论.
（1）化动为静：研究运动中重叠部分图形形状的变化时刻，以及对应时间段内具有的相同变化规律.
（2）化整为零：将整个运动过程根据不同的时间节点拆分为多个问题.
解题通法
解题通法
（3）分类讨论：根据图象确定对应取值范围，要求“不重不漏”，并在对应范围内分析计算.
①如图析1，当重叠部分为△AEM时，t的取值范围是 0＜t≤ ，AE的长为 2t .
0＜t≤
2t
解题通法
②如图析2，当重叠部分为五边形MDEFN时，
t的取值范围是 ，AD的长为 2t-3 .
2t - 3
＜ t ≤
解题通法
③如图析3，当重叠部分为六边形MDEKHN时，
t的取值范围是 ，EB的长为 8-2t .
＜t≤3
8 - 2t
（3）求S与t之间的函数解析式.
解：表示正方形DEFG与△ABC的重叠部分面积分三种情况讨论.
①如答图1，当0 ＜ t ≤ 时，EF与AC交于点M.
∵∠C = 90°，AC = BC，
∴∠CAB = ∠B = 45°.
∵四边形DEFG是正方形，∴∠AEM = 90°.
∴∠AME = ∠MAE = 45°.∴AE = ME.
∴S = AE·EM = × 2t × 2t = 2t2.
（3）求S与t之间的函数解析式.
②如答图2，当 ＜ t ≤ 时，GD与GF分别与AC交于点M，N.
∵∠AMD = 45°，∴∠GMN = ∠AMD = 45°.
∵∠G = 90°，∴∠GNM = ∠GMN = 45°.
∵MD = AD = 2t - 3，
∴GM = GN = DG - MD = 3 - （2t - 3） = 6 - 2t.
∴S = S正方形DEFG - S△GMN
= 32 - × （6 - 2t）2 = -2t2 + 12t - 9.
（3）求S与t之间的函数解析式.
③如答图3，当 ＜ t ≤ 3时，FG与FE分别交BC于点H，K，GF与GD分别交AC于点N，M.
∵∠KEB = 90°，∠ABF = 45°，
∴∠EKB = 90° - 45° = 45° = ∠ABF.
∴EK = EB = 8 - 2t.
∴∠HKF = ∠EKB = 45°.
∵∠F = 90°，
∴∠FHK = ∠HKF = 45°.
∴KF = HF = EF - EK = 3 - （8 - 2t） = 2t - 5.
（3）求S与t之间的函数解析式.
与②同理可知S△GMN = （6 - 2t）2，
∴S = S正方形DEFG - S△GMN - S△HFK
= 32 - × （6 - 2t）2 - × （2t - 5）2
= -4t2 + 22t - .
综上，S =
e7d195523061f1c0f0ec610a92cff745ee13794c7b8d98f8E73673273C9E8BE17CC3D63B9B1D6426C348A354AD505654C28F453CD7C8F90EADD06C08281DAED7140E5AAAED5880ECE414DFB6A93B82BE019406867034C3A8500A4827DCF3FBF74A471B736410707E336A01C9ADC9BE02ACCB8DF2121D81636A067B8AE80C6AB6F014154F4E7B7247
广东省佛山市人教版2024中考数学二轮复习模拟训练
几何背景下的综合探究专题
几何背景下的综合探究专题
目 录
2
类型一 点动型探究
3
类型二 线动型探究
4
类型三 形动型探究
1
专题解读
5
课后作业
几何背景下的综合问题，通常是研究图形在运动变化过程中的数量关系、位置关系，探究图形的变化规律.这类问题集代数与几何于一体，蕴含丰富的数学思想，如分类讨论思想、方程和函数思想、转化思想等.该类题型在广东近5年没有直接考查，但它是研究几何和代数综合的必经之路.
专题解读
类型一 点动型探究
1. 如图1，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG = AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A C G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒.
（1）△ACG的形状是 等腰直角三角形 ，其周长是 ，面积是 4 .
等腰直角三角形
4
（2）如图2，连接BM，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
解题通法
动点问题常伴随着分类讨论的思想，随着动点的运动，一些图形的形状会随之发生变化.如何描述变量的变化规律呢？
1. 分类讨论判断等腰三角形存在性的方法：确定顶角，找准两腰.
比如第（2）题中，判断等腰三角形ABM时，通常分为三种情况：
①∠A为顶角时， AM=AB ；
②∠B为顶角时， BM=BA ；
③∠M为顶角时， MA=MB .
（有时等腰三角形不容易确定时，
可以用“两圆一线”的方法作图分析）
AM = AB
BM = BA
MA = MB
由题可知AM = t.
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB = BC = 2，∠ABC = ∠ADC = 90°.
∴AC = = 2，∠BAC = 45°.
∵△ACG是等腰直角三角形，
∴AC = CG = 2.
解：存在，理由如下，
（2）如图2，连接BM，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
根据等腰三角形的顶角不同分三种情况讨论：
①当∠BAM为顶角，即AM = AB时，t = 2；
②当∠ABM为顶角，即BM = BA时，点M与点C重合，则t = AM = AC = 2；
③当∠AMB为顶角，即MA = MB时，点M在AB的垂直平分线上.
（2）如图2，连接BM，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
∴AE = BE，∠AEM2 = 90°.
∵∠ABC = ∠AEM2 = 90°，
∴BC∥EM2.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD.
（2）如图2，连接BM，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
如答图1，作AB的垂直平分线交AC于点M1，交CG于点M2.
∴BC∥EM2∥AG.
∴.
∴AM1 = CM2 = .
∴t = 或3.
综上所述，当t = ，3或 2，2时，△ABM为等腰三角形.
（2）如图2，连接BM，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
（3）如图3，过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值.
解题通法
2. 用函数（或方程）表示图形面积（或线段长）的方法.
第（3）题中，随着点M的运动，矩形AEMF与△ACG
重叠部分是不断变化的.
①定性分析，分别画图确定重叠部分的图形形状.
②明确本题分两种情况：当点M在AC上时，重叠部分为 △AMF ；
当点M在CG上时，重叠部分为 直角梯形AJMF .
△AMF
直角梯形AJMF
③定量刻画，分别研究不同情况下，相关线段长以及图形的面积表示.
④处理细节，比如用自变量的取值范围来界定分类，呈现答案时，冠以“综上所述”字样等.
（3）如图3，过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值.
解：分两种情况，
①当M在AC上，即0 ＜ t ≤ 2时，
重叠部分为△AMF.
∵AM = t，MF⊥AD，∠CAD = 45°，
∴AF = FM = t.
（3）如图3，过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值.
∴S = AF·FM = × t × t = t2.
当t = 2时，
S的最大值 = × （2）2 = 2.
②如答图2，当M在CG上，即2 ＜ t ＜ 4时，重叠部分为四边形AJMF.
CM = t - AC = t - 2，MG = 4 - t.
∵四边形AEMF是矩形，
∴EM∥AF，∠MFA = 90°.
∴∠CJM = ∠CAG = 45°，
∠CMJ = ∠G = 45°.
（3）如图3，过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值.
∴△JCM是等腰直角三角形.
（3）如图3，过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值.
= （4 - t）· = 4 - t.
∵∠G = 45°，
∴△MFG为等腰直角三角形.
∴FG = MG·cos 45°
= 4 - -
= - t2 + 4t - 8 = - + .
∴当t = 时，S的最大值为.
= × 4 × 2 - × CM × CJ - × FM × FG
∴S = S△ACG - S△CMJ - S△FMG
（3）如图3，过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值.
综上所述，
当0 ＜ t ≤ 2时，S = t2，
当2 ＜ t ＜ 4时，S = - t2 + 4t - 8，
S的最大值为.
（3）如图3，过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值.
类型二 线动型探究
2. 如图1，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC于点D，BC = 10 cm，AD = 8 cm，点P从点B出发，在线段BC上以3 cm/s的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线l从底边BC所在直线出发，以2 cm/s的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于点E，F，H.当点P到达点C时，点P与直线l同时停止运动，设运动时间为t s（t ＞ 0）.
（1）如图2，当t = 2时，连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形.
证明：∵EF∥BC，
∴△AEF ∽ △ABC.
∴.
∵AB = AC，∴AE = AF.
∴△AEF是等腰三角形.
∵AD⊥BC，EF∥BC，
∴∠AHF = ∠ADC = 90°.
∴AH⊥EF.∴EH = HF.
（1）如图2，当t = 2时，连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形.
当t = 2时，DH = 4.
∵AD = 8，
∴AH = 4.
∴AH = DH.
又∵EH = FH，
∴四边形AEDF是平行四边形.
又∵AD⊥EF，
∴四边形AEDF为菱形.
（2）当t = 2时，求△PEF的面积.
∵△AEF ∽ △ABC，
∴，即，解得EF = 5.
∵EF∥BC，
∴△PEF的EF边上的高等于DH的长.
∴S△PEF
（cm2）.
解：由（1）得t = 2时，AH = DH = 4.
解题通法
1. 研究动态问题时，有时会沿着“从特殊到一般”的路径展开研究.比如第（1）、第（2）题取特殊位置时，可能会出现特殊图形，且线段、面积等数量关系相对容易确定.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
解题通法
2. 分类讨论判断直角三角形存在性的方法：确定直角，找准三边.判断直角三角形时，通常分为三种情况（请在图析中画图）：
（1）如图析1，当∠PEF = 90°时.
（2）如图析2，当∠EFP = 90°时.
（3）如图析3，当∠PEF = 90°时.
解题通法
作图时可以用“两线一圆”的方法分别画图，然后“化整为零”将问题转化为三个小题研究.通常会用到三角形相似、勾股定理等，与直角三角形有关的相似常常有“A字型”相似和“一线三垂直”相似.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
解：存在.分三种情况讨论，
①如答图1，当∠PEF = 90°时，
∵△ABC是等腰三角形，
AD⊥BC，BC = 10，
∴BD = CD = 5.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
由题意得，四边形PEHD是矩形，BP = 3t，PE = DH = 2t.
∴AD∥PE.
∴△BPE ∽ △BDA.
∴，即.
解得t = 0，不符合题意，舍去.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
②如答图2，当∠EFP = 90°时，
由题意得，四边形DPFH是矩形，
PF = DH = 2t，CP = 10 - 3t.
∴AD∥PF.∴△CFP ∽ △CAD.
∴，即，解得.
当时，△PEF为直角三角形.
③如答图3，当∠EPF = 90°时，
过点E，F分别作BC的垂线，垂足分别为G，M，则∠EGP = ∠PMF = 90°.
∵GE∥AD，∴△BGE ∽△BDA.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
∴，即，解得BG = .
∴GP = BP - BG = .
∵AB = AC，∴∠B = ∠C.
∴BG = CM = .
∴PM = BC - BP - CM = 10 - .
又∵∠BGE = ∠CMF = 90°，EG = FM，
∴△BEG ≌ △CFM（AAS）.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
∵∠FMP = 90°，
∴∠MFP + ∠MPF = 90°.
∵∠EPF = 90°，
∴∠EPG + ∠FPM = 90°.
∴∠MFP = ∠GPE.
又∵∠EGP = ∠PMF = 90°，
∴△EGP ∽△PMF.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
∴，即.
整理得，
解得t = 0（舍去）或.
综上，当或时，
△PEF为直角三角形.
（3）如图3，连接EP，FP，是否存在t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
类型三 形动型探究
3. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AB = 8 cm，正方形DEFG的边长为3 cm，边DE和边AB都在直线l上，点E和点A重合，正方形DEFG以2 cm/s的速度沿直线l向右运动，当点G运动到边AC上时，停止运动.设正方形DEFG的运动时间为t（s），正方形DEFG与△ABC的重叠部分的面积为S（cm2）.
（1）当t = 1 s时，S = 2 cm2.
（2）当点G运动到边AC上时，
t = 3 s.
2
3
（3）求S与t之间的函数解析式.
3. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AB = 8 cm，正方形DEFG的边长为3 cm，边DE和边AB都在直线l上，点E和点A重合，正方形DEFG以2 cm/s的速度沿直线l向右运动，当点G运动到边AC上时，停止运动.设正方形DEFG的运动时间为t（s），正方形DEFG与△ABC的重叠部分的面积为S（cm2）.
1. 形动类的问题与其他动态型问题一样，在问题设计风格上呈现低起高落.如第（1）题，第（2）题以特例开始探究.
2. 研究动态类问题的常见步骤：化动为静—化整为零—分类讨论.
（1）化动为静：研究运动中重叠部分图形形状的变化时刻，以及对应时间段内具有的相同变化规律.
（2）化整为零：将整个运动过程根据不同的时间节点拆分为多个问题.
解题通法
解题通法
（3）分类讨论：根据图象确定对应取值范围，要求“不重不漏”，并在对应范围内分析计算.
①如图析1，当重叠部分为△AEM时，t的取值范围是 0＜t≤ ，AE的长为 2t .
0＜t≤
2t
解题通法
②如图析2，当重叠部分为五边形MDEFN时，
t的取值范围是 ，AD的长为 2t-3 .
2t - 3
＜ t ≤
解题通法
③如图析3，当重叠部分为六边形MDEKHN时，
t的取值范围是 ，EB的长为 8-2t .
＜t≤3
8 - 2t
（3）求S与t之间的函数解析式.
解：表示正方形DEFG与△ABC的重叠部分面积分三种情况讨论.
①如答图1，当0 ＜ t ≤ 时，EF与AC交于点M.
∵∠C = 90°，AC = BC，
∴∠CAB = ∠B = 45°.
∵四边形DEFG是正方形，∴∠AEM = 90°.
∴∠AME = ∠MAE = 45°.∴AE = ME.
∴S = AE·EM = × 2t × 2t = 2t2.
（3）求S与t之间的函数解析式.
②如答图2，当 ＜ t ≤ 时，GD与GF分别与AC交于点M，N.
∵∠AMD = 45°，∴∠GMN = ∠AMD = 45°.
∵∠G = 90°，∴∠GNM = ∠GMN = 45°.
∵MD = AD = 2t - 3，
∴GM = GN = DG - MD = 3 - （2t - 3） = 6 - 2t.
∴S = S正方形DEFG - S△GMN
= 32 - × （6 - 2t）2 = -2t2 + 12t - 9.
（3）求S与t之间的函数解析式.
③如答图3，当 ＜ t ≤ 3时，FG与FE分别交BC于点H，K，GF与GD分别交AC于点N，M.
∵∠KEB = 90°，∠ABF = 45°，
∴∠EKB = 90° - 45° = 45° = ∠ABF.
∴EK = EB = 8 - 2t.
∴∠HKF = ∠EKB = 45°.
∵∠F = 90°，
∴∠FHK = ∠HKF = 45°.
∴KF = HF = EF - EK = 3 - （8 - 2t） = 2t - 5.
（3）求S与t之间的函数解析式.
与②同理可知S△GMN = （6 - 2t）2，
∴S = S正方形DEFG - S△GMN - S△HFK
= 32 - × （6 - 2t）2 - × （2t - 5）2
= -4t2 + 22t - .
综上，S =
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