九年级数学期末模拟试卷答案与解析 2024.1.7
1.【答案】
【解析】解：因为方程两边有公因式，
所以应该采用因式分解法解方程．
故选：．
根据因式分解法解方程即可．
本题考查一元二次方程的加法，解题的关键是学会构建方程特点，寻找合适的解方程方法．
2.【答案】
【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用年蔬菜产量年蔬菜产量年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式，故A符合题意；
B、一组数据“，，，，，”的众数是和，平均数是，故B不符合题意；
C、若甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据更稳定，故C不符合题意；
D、“明天下雨概率为”，是指明天下雨的可能性是，故D不符合题意；
故选：．
根据概率的意义，算术平均数，众数，方差，全面调查与抽样调查，概率公式，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，算术平均数，众数，方差，全面调查与抽样调查，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、因为，，所以∽，故该选项不符合题意；
B、因为，与不一定相等，所以不能判定和相似，故该选项符合题意；
C、因为，，所以∽，故该选项不符合题意；
D、因为，，所以∽，故该选项不符合题意；
故选：．
三边成比例、两角对应相等、两边成比例，夹角相等；据此逐项分析，即可作答
本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法：解题的关键是掌握，相似三角形的判定方法．
5.【答案】
【解析】解：∽，
，
．
故选：．
根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
如图，连接，
矩形内接于，
是的直径，
是的切线，切点是，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
根据切线的性质和矩形的性质证明，可得，设，则，利用勾股定理求出，得，，再根据勾股定理求出，进而可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，圆周角定理，切线的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
7.【答案】
【解析】解：把代入方程，可得：，
．
故答案为：．
将代入原方程即可求的值，然后再求代数式的值．
本题考查了一元二次方程的解，此题应注意把当成一个整体．利用了整体的思想．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了比例的性质，代数式的值，正确将比例式变形是解题关键．根据比例的基本性质，分子分母同除以一个不为的数，值不变将比例式变形求解即可．
【解答】
解：，
，
，
．
故答案为．
9.【答案】
【解析】解：是方程的一个根，
，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10.【答案】
【解析】解：作于，连接，作直径，连接，
，
设，，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
∽，
：：：：，
，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
∽，
：：，
：：，
，
的半径是．
故答案为：．
作于，连接，作直径，连接，由锐角的正切定义得到，设，，由勾股定理求出，由圆内接四边形的性质推出，而，即可证明∽，推出：：：：，求出，得到，由勾股定理求出，由∽，得到：：，代入有关数据即可求出，得到的半径是．
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是通过作辅助线，构造相似三角形．
11.【答案】
【解析】解：将，代入扇形弧长公式中，
得，
解得．
故答案为：．
圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解．
本题考查了圆锥的计算．关键是体现两个转化，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．
12.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了黄金分割．一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，据此可以列式求解．注意分两种情况：可能是较长线段，也可能是较短线段．
【解答】
解：根据黄金分割的概念知，为较长的线段时，，为较短的线段时，．
故答案为或．
13.【答案】
【解析】解：与是以原点为位似中心的位似图形，点的纵坐标为，点的纵坐标为，
与的相似比为：，
点的坐标为，
点的坐标为，即，
故答案为：
根据题意求出与的相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换的性质，正确求出两个三角形的相似比是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：过点作于点，与交于点，
则，，
，
，
，
∽，
，
设，则，
，
，
，，
，
，
，
当时，的最小值为，
长的最小值为．
过点作于点，与交于点，证明∽，设，根据相似三角形的相似比，用表示，并求得，进而根据勾股定理，用表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值．
本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
15.【答案】直线
【解析】解：点、的纵坐标都是，
抛物线的对称轴为直线，
故答案为：直线．
先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．
本题考查二次函数的性质，根据题意判断出抛物线上的两点坐标的关系是解答本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：过作，垂足为，过作轴，交轴于点，过作，垂足为，过作，垂足为，设直线交轴于点，交轴于点，
，
，
，
，
，
点，
，
，
，
，
设直线的表达式为，代入点得，
，令得，
，
，，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为，代入点、得，
，
，令得，
，
，
．
先求出，再过作，构造一线三直角模型，求出点，由、两点确定直线的表达式，求出点，由、两点确定直线的表达式，求出点，最后利用求．
本题考查了一次函数表达式的求法，结合了一线三直角模型求点的坐标，关键是确定．
17.【答案】解：设每件衬衫应降价元，可使商场每天盈利元．
则此时每天出售的数量为：，每件的盈利为：元，
根据题意得，
解得，．
因尽快减少库存，故．
答：每件衬衫应降价元．
【解析】商场平均每天盈利数每件的盈利售出件数；每件的盈利原来每件的盈利降价数．设每件衬衫应降价元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．
本题考查了一元二次方程的应用，需要注意的是：盈利下降，销售量就提高，每件盈利减，销售量就加；在盈利相同的情况下，尽快减少库存，就是要多卖，降价越多，卖的也越多，所以取降价多的那一种．
18.【答案】解：原式
；
，
，
或，
解得：；
原式
，
当时，
原式．
【解析】先根据二次根式的性质，零指数幂，特殊角锐角三角函数值化简，再计算，即可求解；
利用因式分解法解答，即可求解；
先把分子分母因式分解，再计算，然后把代入化简后的结果，即可求解．
本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，解一元二次方程，分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：，且相似比为：，
．
如图，即为所求．
如图，即为所求．
【解析】根据相似三角形的性质，将各边缩小倍即可．
根据旋转的性质作图即可．
本题考查作图旋转变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：，；
，
这组数据的平均数为：，
在这组样本数据中，出现次数最多为次，
这组数据的众数为：，
将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是，
这组数据的中位数为：；
在名学生中，捐款金额为元的学生人数比例为，
由样本数据，估计该校名学生中捐款金额为元的学生人数比例为，有，
该校本次活动捐款金额为元的学生约有名．
【解析】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出的值即可；
解：根据条形图人，
，
故答案为，；
利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；
根据样本中捐款元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为元的学生人数．
21.【答案】解：二次函数的图象过点，
，
二次函数的解析式为：，
令，则，
，
设直线的解析式为：，
，解得：，
直线的解析式为：，
抛物线，的对称轴为：，
把代入得，
．
根据函数图象可知：或．
【解析】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
由点、点的坐标求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴方程为，然后将代入直线的解析式，从而可求得点的坐标；
一次函数值大于二次函数值即直线位于抛物线的上方部分的取值范围．
22.【答案】解：，，，
，
，
，
，
在中，，
则，
，
，
答：炎帝塑像的高度约为．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
由三角函数求出，得出，在中，由三角函数得出，即可得出答案．
23.【答案】证明：如图，连接，
为的切线，，
，
，
，
又，
，
；
解：，，
，
，
；
，
．
的半径为．
【解析】本题考查了切线的判定．已知某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，可得垂直，同时考查了三角函数的知识．
如图，连接，由为的切线，得到，于是得到，推出，由于，得到，即可得到结论；
根据三角函数的知识可求出，从而根据勾股定理求出的长，根据三角函数的知识即可得出的半径．
24.【答案】解：上述解答有错误．
若方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程，
且满足，
且；
不存在这样的．
方程的两个实数根，互为相反数，
则，
解得，
经检验是方程的根．
中求得方程有两个不相等实数根，
的取值范围是且，
而不符合题意．
所以不存在这样的值，使方程的两个实数根互为相反数．
【解析】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式及韦达定理，注意：只要是一元二次方程或说方程有两个实数根，则二次项系数不得为；凡是利用根与系数的关系求得未知字母的值时，一定要注意代入原方程，看是否有实数根．
根据题意，应满足两个条件：，二次项系数不等于，显然此解答漏掉了一个条件；
利用根与系数的关系求得字母的值后，还要注意检验原方程是否有实数根．
25.【答案】解：连接．
，，
，
弧弧的长．
，
．
由可知，，
．
又，
点和分别是和的中点，
，
．
，
．
连接、、．
设，则．
，
．
，
，
，
．
垂直平分，
．
，
，
．
【解析】连接由半径弦，可证得，利用垂径定理即可证明弧弧的长；
在中，利用勾股定理求出，再利用中位线定理求出，进而求出，然后在中利用勾股定理即可求出；
设、分别交于点、，连接、、设，则利用平行线的性质和三角形外角的性质证明，利用垂直平分线的性质得到，在中利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求出即可．
本题考查垂径定理和勾股定理等，熟练并灵活利用它们进行计算是本题的关键．
26.【答案】解：当时，，解得或，
，，，
由题意设抛物线的表达式为，
把代入，得，解得，
抛物线的表达式为．
抛物线与是“共根抛物线”，，，
抛物线，的对称轴是直线，
点在直线上，
，如图，当，，共线时，的值最大，
此时点为直线与直线的交点，
设直线的表达式为，
将，代入得，解得
直线的解析式为，
．
由题意得，，，，
，
，，
，
顶点，
由题意，不可能是直角，
第一种情形：当时，
如图，当∽时，，
设，则，
，，
，
，解得或舍去，
如图，当∽时，同法可得，
，
解得或舍去，
第二种情形：当．
如图，当∽时，，
过点作于则∽，
，
由图可知，，，
，，
，
，可得，
如图，当∽时，过点作于．
同法可得，，
，，，
易得∽，
，
，
综上所述，点的坐标为或或或
【解析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
由题意设抛物线的表达式为，利用待定系数法求出即可解决问题；
由题意，如图，当，，共线时，的值最大，此时点为直线与直线的交点，利用待定系数求出直线的表达式即可解决问题；
由题意，顶点，不可能是直角，第一种情形：当时，如图，当∽时．如图，当∽时．第二种情形：当如图，当∽时．如图，当∽时，分别求解即可解决问九年级数学期末模拟试卷 2024.1.7
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.解一元二次方程的最适当的方法是( )
A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法
2.某蔬菜种植基地年蔬菜产量为吨，年蔬菜产量为吨设该基地这两年蔬菜产量的年平均增长率为，根据题意列出的方程是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列说法正确的是( )
A. 为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式
B. 一组数据“，，，，，”的众数和平均数都是
C. 若甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据更稳定
D. “明天下雨概率为”，是指明天有一半的时间可能下雨
4.如图，在中，点和点分别是和上一点，下列条件不能判定和相似的是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在中，点在线段上，且∽，则下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，矩形内接于，过点作的切线分别与的延长线交于点，与的延长线交于点若，，则的长度为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.若是方程的一个根，则代数式的值为______ ．
8.若，则 ．
9.是方程的一个根，则的值为______ ．
10.如图，四边形内接于，其中，分别延长、交于点，若，则的半径为______ ．
11.如果圆锥的底面周长是，侧面展开后所得的扇形的圆心角为，则圆锥的母线长是______．
12.已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长为
13.如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．
14.如图，在矩形中，，，点在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为______ ．
15.已知抛物线经过点、，那么此抛物线的对称轴是______ ．
16.如图，在平面直角坐标系中，与轴正半轴，轴负半轴分别交于点，，点在上，点为的中点，连结并延长交于点，点在轴的正半轴上，联结，交于点，若弧弧，则的面积为______ ．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某商场将进货价为元的某种服装以元售出，平均每天可售件，由季节的变换，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：若每件降价元，则每天可多售件如果每天要盈利元，每件应降低多少元？
18.本小题分
计算：；
解方程：；
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
如图，每个小正方形的边长都是，的顶点都在格点上，请在方格纸上按要求画出格点三角形．
在图中画，使得∽，且相似比为：；
以点为旋转中心，将顺时针旋转，使得点落到点处，点落到点处，在图中画出．
20.本小题分
本题满分分某校学生会向全校名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题：
本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图中的值是 ；
求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为元的学生人数．
21.本小题分
如图，二次函数二次函数的图象过点，与轴交于点，直线与这个二次函数图象的对称轴交于点，
求点的坐标；
根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围．
22.本小题分
数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像的高度．如图所示，炎帝塑像在高的小山上，在处测得塑像底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得塑像顶部的仰角为，求炎帝塑像的高度．精确到参考数据：，，，
23.本小题分
本题满分分如图，为的外接圆，为的直径，为的切线，过点作于．
求证：；
如果，
，求的半径．
24.本小题分
已知关于的方程有两个不相等的实数根，．
求的取值范围；
是否存在实数，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．
解：根据题意，得，解得．
当时，方程有两个不相等的实数根．
存在，如果方程的两个实数根，互为相反数，则，
解得，经检验，是方程的根．
当时，方程的两个实数根与互为相反数．
上述解答过程是否有错误？如果有，请指出错误之处，并解答．
25.本小题分
如图，是的直径，点是上一点，连接，半径弦，
求证：弧弧的长．
在如图上，连接、相交于点，与相交于点，连接，若的半径为，，求的长．
如图，在的延长线上取一点，使，交弧于点若，，求的长．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”如图，抛物线：的顶点为，交轴于点、点在点左侧，交轴于点抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．
若抛物线经过点，求对应的函数表达式；
当的值最大时，求点的坐标；
设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标．
